高考數(shù)學(xué) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)總結(jié)（含解析）

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)單元總結(jié)1．判斷集合與元素的關(guān)系首先要明確集合中元素的特征，其次要看元素是否滿(mǎn)足集合中元素的公共屬性，滿(mǎn)足即為屬于關(guān)系，不滿(mǎn)足即為不屬于關(guān)系．2．集合的表示列舉法是把集合中的元素一一列舉出來(lái)，他適合元素較少或元素較多時(shí)但有一定規(guī)律性的情況；描述法把集合中的元素所具有的特征表示出來(lái)，具有抽象、概括、普遍性的特點(diǎn)；圖表示集合的好處在于易引起清晰地視覺(jué)形象，能直觀地表示集合中元素的構(gòu)成以及集合間的關(guān)系．3．判斷集合相等對(duì)于元素較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來(lái)，若兩個(gè)集合中的元素完全相同，說(shuō)明兩個(gè)集合相等；若為無(wú)限集，則需要同時(shí)說(shuō)明,．4．有限集的子集個(gè)數(shù)若有限集合A中含有個(gè)元素，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為，真子集的個(gè)數(shù)為，非空子集為，非空真子集為．5．空集空集是一個(gè)特殊且很重要的集合，它不含任何元素，在解題過(guò)程中容易被忽略，特別是在題設(shè)中隱含有空集參與的集合問(wèn)題時(shí)，往往忽視空集的特殊性而導(dǎo)致錯(cuò)誤．6．集合子集的寫(xiě)法在寫(xiě)集合的子集和真子集時(shí)，一般是按照集合中元素的個(gè)數(shù)的多少，遵循由少到多的原則，這樣做，這樣做可以做到不重不漏．需要特別注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．因此，在寫(xiě)集合的子集和真子集的時(shí)候，不要遺漏空集．7．集合中字母參數(shù)范圍的求解對(duì)于已知集合間的關(guān)系求參數(shù)的問(wèn)題，一般是先觀察集合間元素的關(guān)系，在列方程（組）求解．另外，在處理含有參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，以滿(mǎn)足集合中元素的互異性．8．集合的基本運(yùn)算口訣交集元素仔細(xì)找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切記重復(fù)只去一；全集U是大范圍，U中去掉A元素，剩余就成A補(bǔ)集．9．補(bǔ)集思想在解答一些較復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，如果從正面直接解決情況較多、較復(fù)雜，可以用“補(bǔ)集”思想，考慮問(wèn)題的方面，再求結(jié)果的補(bǔ)集，從而可以較簡(jiǎn)單的解答．10、命題的概念可以真假的語(yǔ)句叫做命題.一般可以用小寫(xiě)英文字母表示.其中判斷為真的語(yǔ)句叫真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫假命題.11.全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)命題全稱(chēng)量詞：在指定范圍內(nèi)，表示整體或者全部的含義的量詞稱(chēng)為全稱(chēng)量詞.如“所有的”、“任意一個(gè)”、“每一個(gè)”、“一切”、“任給”等.全稱(chēng)命題：含有全稱(chēng)量詞的命題，叫做全稱(chēng)命題.符號(hào)表示為，12.存在量詞與存在性命題存在量詞：表示個(gè)別或一部分的含義的量詞稱(chēng)為存在量詞.如“有一個(gè)”，“存在一個(gè)”,“至少有一個(gè)”，“有的”,“有些”等.存在性命題：含有存在量詞的命題，叫做存在性命題.符號(hào)表示為，.13.充分條件、必要條件、充要條件對(duì)于“若p則q”形式的命題：①若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；②若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；③若既有pq，又有qp，記作pq，則p是q的充分必要條件（充要條件）.判斷命題充要條件的三種方法（1）定義法：（2）等價(jià)法：由于原命題與它的逆否命題等價(jià)，否命題與逆命題等價(jià)，因此，如果原命題與逆命題真假不好判斷時(shí)，還可以轉(zhuǎn)化為逆否命題與否命題來(lái)判斷．即利用與；與；與的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.如圖：“”“，且”是的充分不必要條件.“”“”是的充分必要條件.14、對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定（1）對(duì)含有一個(gè)量詞的全稱(chēng)命題的否定

全稱(chēng)命題p：

，他的否定：

。全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題。

（2）對(duì)含有一個(gè)量詞的特稱(chēng)命題的否定

特稱(chēng)命題p：

，他的否定：

。特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題。類(lèi)型1運(yùn)用集合中元素的性質(zhì)解題考題1設(shè)P,Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合,若,則中元素的個(gè)數(shù)是【解析】因?yàn)?，所以?duì)分別取中的元素，一一列出集合中的元素．于是，依次分別取，并分別求和，注意到集合中元素的互異性，則，故共有8個(gè)元素．【答案】8考題2由實(shí)數(shù)所組成的集合中，最多含有元素的個(gè)數(shù)為（）A．2B．3C．4D．5【解析】本題主要考查集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是從集合中元素的互異性入手考慮，若是相同的元素，在集合中只能用同一個(gè)元素表示．由于，，因此當(dāng)時(shí)，這幾個(gè)實(shí)數(shù)均為0，當(dāng)時(shí)，它們分別是；當(dāng)時(shí)，它們分別是，均最多表示兩個(gè)不同的數(shù)．故集合中的元素最多有2個(gè)．【答案】A【題型小結(jié)】集合元素的性質(zhì)包括：確定性、互異性、無(wú)序性．確定性即集合中的元素必須是確定的，對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出來(lái)它是或者不是所給集合中的元素；互異性即集合中任意兩個(gè)元素都是不相同的；無(wú)序性即集合與組成它的元素的順序無(wú)關(guān)．在解題時(shí)，常常因忽略集合中元素的性質(zhì)而出錯(cuò)，所以要加強(qiáng)對(duì)集合中元素性質(zhì)的理解．類(lèi)型2求子集的元素之和問(wèn)題考題3已知集合，則集合的所有子集的元素之和為．【解析】集合的所有子集分別是，，，注意到中的每個(gè)元素出現(xiàn)在的4個(gè)子集之中，即在其和中出現(xiàn)4次．故所求之和為．【答案】36【探究】中的每個(gè)元素出現(xiàn)在的4個(gè)子集之中，這是在寫(xiě)出的子集后觀察出來(lái)的結(jié)果，能否不寫(xiě)出的子集也得出這樣的結(jié)論呢？注意到中的元素1，出現(xiàn)在的子集中，如果在這些子集中排除這個(gè)數(shù)1，剩下來(lái)的元素依次組成的集合集合，，也就是除元素1組成集合的子集，即有個(gè)．因此，利用“整體思想”可知，再求其和的過(guò)程中，1出現(xiàn)了4次，同理3出現(xiàn)了4次，5出現(xiàn)了4次．故所求的和為．推廣到一般，即已知，求的所有子集的元素之和．類(lèi)似上面的推導(dǎo)可知，出現(xiàn)在中，即在其和中出現(xiàn)的次數(shù)等價(jià)于集合的子集個(gè)數(shù)（即個(gè)）．同理在其和中也出現(xiàn)了次，在其和中也出現(xiàn)了次，…,在其和中也出現(xiàn)了次,故所求的和為．【題型小結(jié)】在求解子集個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意問(wèn)的是“子集的個(gè)數(shù)”還是“真子集的個(gè)數(shù)”或者是“非空真子集的個(gè)數(shù)”，同時(shí)關(guān)注子集應(yīng)滿(mǎn)足的相應(yīng)條件．類(lèi)型3集合的運(yùn)算及其應(yīng)用考題4若全集為，集合是的子集，定義與的運(yùn)算：，則（）A．B．C．D．【解析】由題可知,,,從而，即【答案】B考題5（1）若全集,集合，，則=()A．B．C．D．（2）已知，，，，則有（）A．B．C．D．【解析】（1）集合都是點(diǎn)集，集合的關(guān)系式可以變?yōu)椋膸缀我饬x是直線上去掉點(diǎn)后所有的點(diǎn)的集合；集合表示直線外所有點(diǎn)的集合．可知，表示直線外所有點(diǎn)及直線上點(diǎn)的集合；，表示直線外所有點(diǎn)的集合．從而可得只有一個(gè)元素．（2）因?yàn)?，?所以．【答案】（1）B(2)A【題型小結(jié)】解答集合問(wèn)題的一般步驟：先認(rèn)清集合元素的屬性，然后依據(jù)元素的不同屬性采用不同的方法求解．一般的規(guī)律表現(xiàn)為“若給定的集合是不等式的解集，則用數(shù)軸求解，特別要注意端點(diǎn)的取值；若給定的集合是則用數(shù)形結(jié)合法求解；若給定的集合是抽象集合，則用圖象法（Venn圖）求解”．類(lèi)型4充分條件與必要條件的理解及判定考題6已知：，，：關(guān)于的方程有兩個(gè)小于1的正實(shí)根，試判斷是的什么條件．分析：判斷是的什么條件，要對(duì)和進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化，根據(jù)得出的結(jié)果作出相應(yīng)的判斷．解：若關(guān)于的方程有兩個(gè)小于1的正實(shí)根，則，即．設(shè)方程的兩根為，，則，，有，且．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有，解得．所以，，且，即有．反之，取，，那么方程變?yōu)椋藭r(shí)方程無(wú)實(shí)根，所以．綜上所述，是的必要不充分條件．解后反思：若，但，則是的充分不必要條件；若，但，則是的必要不充分條件；若，則是的充要條件；若，且，則是的既不充分也不必要條件．考題7設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：方法1：當(dāng)時(shí)，直線：與直線：顯然平行；若直線與直線平行，則有，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合．故是充分不必要條件．方法2：把命題“”看作集合，把由命題“直線：與直線：平行”得出的值的集合看作，易知是的真子集，所以是充分不必要條件．答案：A解后反思：一般地，如果條件甲為,條件乙為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，甲是乙的充分條件；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，甲是乙的必要條件；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，甲是乙的充要條件．類(lèi)型5全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題考題8命題“對(duì)任意，都有”的否定為（）A．對(duì)任意，都有B．不存在，使得C．存在，使得D．存在，使得解析：題設(shè)命題為全稱(chēng)命題，它的否定為特稱(chēng)命題．需先變換量詞，再否定結(jié)論，即存在，使得．答案：D解后反思：寫(xiě)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的否定時(shí)，先變換量詞，再否定結(jié)論．考題9已知，，若同時(shí)滿(mǎn)足條件：①或；②，則的取值范圍是．解析：當(dāng)滿(mǎn)足條件①時(shí)，由，得要使或，必須使時(shí)，恒成立．而當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足條件，所以二次函數(shù)必須開(kāi)口向下，也就是．