(易錯(cuò)題精選)初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的易錯(cuò)題匯編含答案

（易錯(cuò)題精選）初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的易錯(cuò)題匯編含答案一、選擇題1．如圖，點(diǎn)O為△ABC邊AC的中點(diǎn)，連接BO并延長到點(diǎn)D,連接AD、CD，若BD=12，AC=8，∠AOD＝120°，則四邊形ABCD的面積為（）A．2 B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】分別過點(diǎn)A、C作BD的垂線，垂足分別為M、N，通過題意可求出AM、CN的長度，可計(jì)算三角形ABD和三角形CBD的面積，相加即為四邊形ABCD的面積.【詳解】解：分別過點(diǎn)A、C作BD的垂線，垂足分別為M、N，∵點(diǎn)O為△ABC邊AC的中點(diǎn)，AC=8，∴AO=CO=4，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB=60°，∠COD=60°，∴，，∴AM=，CN=，∴,，∴故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的內(nèi)容，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.2．如圖，為了加快開鑿隧道的施工進(jìn)度，要在小山的兩端同時(shí)施工．在上找一點(diǎn)，取，，，要使，，成一直線，那么開挖點(diǎn)離點(diǎn)的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知利用∠D的余弦函數(shù)表示即可．【詳解】在Rt△BDE中，cosD=，∴DE=BD?cosD=500cos55°．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．3．如圖，是的弦，直徑交于點(diǎn)，若，，則的長為()A． B．4 C．6 D．【答案】D【解析】【分析】連接．證明是等邊三角形即可解決問題．【詳解】如圖，連接．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．4．如圖，在中，，是邊上一條運(yùn)動(dòng)的線段（點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)不與點(diǎn)重合），且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在從左至右的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)，的面積減去的面積為，則下列圖象中，能表示與的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)a＝BC，∠B＝∠C＝α，求出CN、DM、EN的長度，利用y＝S△BMD?S△CNE，即可求解．【詳解】解：設(shè)a＝BC，∠B＝∠C＝α，則MN＝a，∴CN＝BC?MN?BM＝2a?a?x＝a?x，DM＝BM·tanB＝x·tanα，EN＝CN?tanC＝（a?x）·tanα，∴y＝S△BMD?S△CNE＝（BM·DM?CN·EN）＝，∵為常數(shù)，∴上述函數(shù)圖象為一次函數(shù)圖象的一部分，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積等知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵是深刻理解動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義，理解動(dòng)點(diǎn)的完整運(yùn)動(dòng)過程．5．菱形ABCD的周長為20cm,DE⊥AB,垂足為E,sinA=,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）①DE=3cm;②BE=1cm;③菱形的面積為15cm2;④BD=2cm．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及已知對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案【詳解】∵菱形ABCD的周長為20cm∴AD=5cm∵sinA=∴DE=3cm（①正確）∴AE=4cm∵AB=5cm∴BE=5﹣4=1cm（②正確）∴菱形的面積=AB×DE=5×3=15cm2（③正確）∵DE=3cm,BE=1cm∴BD=cm（④不正確）所以正確的有三個(gè)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵6．如圖，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)且速度相同，（長度不變，在上方，在左邊），當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，圖中陰影部分面積的大小變化情況是（）A．一直減小 B．一直不變 C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】B【解析】【分析】連接GE，過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，過點(diǎn)G作GN⊥AB于N，設(shè)AE=BG=x，然后利用銳角三角函數(shù)求出GN和EM，再根據(jù)S陰影=S△GDE＋S△EGF即可求出結(jié)論．【詳解】解：連接GE，過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，過點(diǎn)G作GN⊥AB于N設(shè)AE=BG=x，則BE=AB－AE=AB－x∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB∴S陰影=S△GDE＋S△EGF=DE·GN＋GF·EM=DE·（x·sinB）＋DE·[（AB－x）·sinB]=DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB]=DE·AB·sinB∵DE、AB和∠B都為定值∴S陰影也為定值故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是銳角三角函數(shù)和求陰影部分的面積，掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．7．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將如圖那樣折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)題意，BE=AE．設(shè)BE=x，則CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，解得x=，故CE=8-=，∴tan∠CBE=.故選C.考點(diǎn)：銳角三角函數(shù).8．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點(diǎn)D是CB延長線上的一點(diǎn)，且AB＝BD，則tanD的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解決問題．【詳解】設(shè)AC＝m，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．9．如圖，是的外接圓，是的直徑，若的半徑是4，，則線段的長是（）．A．2 B．4 C． D．6【答案】A【解析】【分析】連結(jié)CD如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ACD＝90，∠D＝∠B，則sinD＝sinB＝，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可計(jì)算出AC的長．【詳解】連結(jié)CD，如圖，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90，∵∠D＝∠B，∴sinD＝sinB＝，在Rt△ACD中，∵sinD＝＝，∴AC＝AD＝×8＝2．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了解直角三角形．10．如圖，菱形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B、D在反比例函數(shù)y=的圖象上，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)O，已知點(diǎn)A（1，1），∠ABC=60°，則k的值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【答案】C【解析】分析：根據(jù)題意可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可以求得k的值．詳解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BA=BC，AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵點(diǎn)A（1，1），∴OA=，∴BO=，∵直線AC的解析式為y=x，∴直線BD的解析式為y=-x，∵OB=，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（?，），∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴，解得，k=-3，故選C．點(diǎn)睛：本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．11．某同學(xué)利用數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量建筑物DEFG的高度．他從點(diǎn)出發(fā)沿著坡度為的斜坡AB步行26米到達(dá)點(diǎn)B處，用測(cè)角儀測(cè)得建筑物頂端的仰角為37°，建筑物底端的俯角為30°，若AF為水平的地面，側(cè)角儀豎直放置，其高度BC=1.6米，則此建筑物的高度DE約為(精確到米，參考數(shù)據(jù)：，)（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】【分析】如圖，設(shè)CB⊥AF于N，過點(diǎn)C作CM⊥DE于M，根據(jù)坡度及AB的長可求出BN的長，進(jìn)而可求出CN的長，即可得出ME的長，利用∠MBE的正切可求出CM的長，利用∠DCM的正切可求出DM的長，根據(jù)DE=DM+ME即可得答案．【詳解】如圖，設(shè)CB⊥AF于N，過點(diǎn)C作CM⊥DE于M，∵沿著坡度為的斜坡AB步行26米到達(dá)點(diǎn)B處，∴，∴AN=2.4BN，∴BN2+（2.4BN）2=262，解得：BN=10（負(fù)值舍去），∴CN=BN+BC=11.6，∴ME=11.6，∵∠MCE=30°，∴CM==11.6，∵∠DCM=37°，∴DM=CM·tan37°=8.7，∴DE=ME+DM=11.6+8.7≈26.7（米），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形并熟練掌握三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中點(diǎn)為圓心，OA的長為半徑作半圓交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】連接OD，過點(diǎn)O作OH⊥AC，垂足為H，則有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，繼而可求得OH、AH長，根據(jù)圓周角定理可求得∠BOC=60°，然后根據(jù)S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】連接OD，過點(diǎn)O作OH⊥AC，垂足為H，則有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，∴∠A=30°，∴OH=OA=，AH=AO?cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=，∴S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，扇形面積，解直角三角形等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.13．如圖，兩根竹竿和斜靠在墻上，量得，，則竹竿與的長度之比為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系分別表示出AB，AD的長，即可得出答案．【詳解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=，則AB=2AC，∴cos70°=，∴AC=AD?cos70°，AD=，∴=2cos70°．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確表示出各邊長是解題關(guān)鍵．14．如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于點(diǎn)M，CN⊥AN于點(diǎn)N.則DM+CN的值為（用含a的代數(shù)式表示）()A．a(chǎn) B．a(chǎn) C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“AN平分∠DAB，DM⊥AN于點(diǎn)M，CN⊥AN于點(diǎn)N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=，所以DM+CN=CDcos45°；再根據(jù)矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．【詳解】∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于點(diǎn)M，CN⊥AN于點(diǎn)N，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，∴=CD，在矩形ABCD中，AB=CD=a，∴DM+CN=acos45°=a.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解題關(guān)鍵在于得到cos45°=15．如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AM，作DE⊥AM于點(diǎn)E，BF⊥AM于點(diǎn)F，連接BE，若AF＝1，四邊形ABED的面積為6，則∠EBF的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先證明△ABF≌△DEA得到BF=AE；設(shè)AE=x，則BF=x，DE=AF=1，利用四邊形ABED的面積等于△ABE的面積與△ADE的面積之和得到?x?x+?x×1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，則EF=x-1=2，然后利用勾股定理計(jì)算出BE，最后利用余弦的定義求解．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∵DE⊥AM于點(diǎn)E，BF⊥AM于點(diǎn)F，∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，在△ABF和△DEA中∴△ABF≌△DEA（AAS），∴BF＝AE；設(shè)AE＝x，則BF＝x，DE＝AF＝1，∵四邊形ABED的面積為6，∴，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），∴EF＝x﹣1＝2，在Rt△BEF中，，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．會(huì)運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解決線段相等的問題．也考查了解直角三角形．16．如圖，基燈塔AB建在陡峭的山坡上，該山坡的坡度i＝1：0.75．小明為了測(cè)得燈塔的高度，他首先測(cè)得BC＝20m，然后在C處水平向前走了34m到達(dá)一建筑物底部E處，他在該建筑物頂端F處測(cè)得燈塔頂端A的仰角為43°．若該建筑物EF＝20m，則燈塔AB的高度約為（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）（）A．46.7m B．46.8m C．53.5m D．67.8m【答案】B【解析】【分析】根據(jù)山坡的坡度i＝1：0.75，可得＝，設(shè)BD＝4x，CD＝3x，然后利用勾股定理求得BD＝4x＝16m，CD＝3x＝12m；再利用矩形的性質(zhì)求出FG＝DE＝46m，BG＝DG﹣DB＝4m，最后利用三角函數(shù)解直角三角形即可．【詳解】解：如圖，∵∠ADC＝90°，i＝1：0.75，即＝，∴設(shè)BD＝4x，CD＝3x，則BC＝＝5x＝20m，解得：x＝4，∴BD＝4x＝16m，CD＝3x＝12m，易得四邊形DEFG是矩形，則EF＝DG＝20m，F(xiàn)G＝DE＝DC+CE＝12+34＝46（m），∴BG＝DG﹣DB＝4m，在Rt△AFG中，AG＝FG·tan∠AFG＝46·tan43°≈46×0.93＝42.78（m），∴AB＝AG+BG＝42.78+4≈46.8（m），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角和俯角問題、坡度坡比問題，靈活運(yùn)用三角函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.．17．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，且BE⊥AC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AF＝CFB．∠DCF＝∠DFCC．圖中與△AEF相似的三角形共有5個(gè)D．tan∠CAD＝【答案】D【解析】【分析】由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以，故A正確，不符合題意；過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故B正確，不符合題意；根據(jù)相似三角形的判定即可求解，故C正確，不符合題意；由△BAE∽△ADC，得到CD與AD的大小關(guān)系，根據(jù)正切函數(shù)可求tan∠CAD的值，故D錯(cuò)誤，符合題意．【詳解】解：A、∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，故A正確，不符合題意；B、過D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，故B正確，不符合題意；C、圖中與△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5個(gè)，故C正確，不符合題意．D、設(shè)AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有＝．∵tan∠CAD＝＝＝，故D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．已知B港口位于A觀測(cè)點(diǎn)北偏東45°方向，且其到A觀測(cè)點(diǎn)正北風(fēng)向的距離BM的長為10km，一艘貨輪從B港口沿如圖所示的BC方向航行4km到達(dá)C處，測(cè)得C處位于A觀測(cè)點(diǎn)北偏東75°方向，則此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離AC的長為（）km．A．8 B．9 C．6 D．7【答案】A【解析】【分析】【詳解】解：∵∠MAB=45°，BM=10，∴AB===20km，過點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC的延長線于D，在Rt△ADB中，∠BAD=∠MAC﹣∠MAB=75°﹣45°=30°，tan∠BAD==，∴AD=BD，BD2+AD2=AB2，即BD2+（BD）2=202，∴BD=10，∴AD=10，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，BC=4，∴CD=2，∴AC=AD﹣CD=10﹣2=8km，答：此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離AC的長為8km．故選A．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）A．