簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞人教A版高中數(shù)學(xué)選修

1.3

簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的含義;2.掌握用邏輯聯(lián)結(jié)詞改寫命題的方法;3.掌握判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的方法;4.掌握根據(jù)命題真假求參數(shù)取值范圍的方法.【思考】(1)觀察三個(gè)命題:①5是10的約數(shù);②5是15的約數(shù);③5是10的約數(shù)且是15的約數(shù),它們之間有什么關(guān)系?從集合的角度如何理解“且”的含義.(2)觀察三個(gè)命題:①3>2;②3=2;③3≥2,它們之間有什么關(guān)系?從集合的角度談?wù)剬?duì)“或”的含義的理解.提示:(1)命題③是將命題①,②用“且”聯(lián)結(jié)得到的新命題,“且”與集合運(yùn)算中交集的定義A∩B={x|x∈A,且x∈B}中“且”的意義相同,表示“并且”“同時(shí)”的意思.“且”作為邏輯聯(lián)結(jié)詞,與生活用語(yǔ)中“既……,又……”相同,表示兩者都要滿足的意思,在日常生活中經(jīng)常用“和”“與”代替.(2)命題③是命題①,②用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)得到的新命題.“或”與集合中并集定義A∪B={x|x∈A或x∈B}中“或”意義相同,是邏輯聯(lián)結(jié)詞,與日常用語(yǔ)中的“或”意義有所不同,而邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”含有“同時(shí)兼有”的意思.“p或q”有三層意思:要么只是p,要么只是q,要么是p和q,即兩者中至少要有一個(gè).1.用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成新命題

使用的邏輯聯(lián)結(jié)詞命題形式讀法且p∧qp且q或p∨qp或q非

?p

非p名師點(diǎn)撥

1.對(duì)于邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”,可以分別結(jié)合集合中的“交集”“并集”“補(bǔ)集”來進(jìn)行理解.2.簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題:不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的命題是簡(jiǎn)單命題,由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題是復(fù)合命題,因此就有“p∨q”“

p∧q”“

?p”形式的復(fù)合命題,其中p,q是簡(jiǎn)單命題,由簡(jiǎn)單命題構(gòu)成復(fù)合命題的關(guān)鍵是對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”

“非”的理解.特別提醒

一個(gè)命題的否定與命題的否命題不同,以下從三個(gè)角度分析二者的區(qū)別:(1)概念:命題的否定是直接對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行否定;而否命題是對(duì)原命題的條件和結(jié)論同時(shí)進(jìn)行否定.(2)構(gòu)成:原命題“若a,則b”的否定是“若a,則?b”;而其否命題為“若?a,則?b”.(3)真假:命題p與其否定?p的真假性相反;而命題p與其否命題的真假性沒有直接聯(lián)系.【做一做1】

指出下列各個(gè)命題分別運(yùn)用了哪個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞:(1)函數(shù)f(x)=sinx+3不是周期函數(shù);(2)a2+b2≥2ab;(3)有兩個(gè)角是45°的三角形是等腰直角三角形.答案:(1)非

(2)或

(3)且2.含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷名師點(diǎn)撥

注意以上真值表的逆用:當(dāng)p∧q為真時(shí),p和q都必須是真命題;當(dāng)p∨q為真時(shí),p和q中至少有一個(gè)是真命題;當(dāng)p∨q為假時(shí),p和q都必須是假命題;當(dāng)p∧q為假時(shí),p和q中至少有一個(gè)是假命題.pqp∨qp∧q?p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真【做一做2】

已知命題p:對(duì)任意x∈R,總有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要條件.則下列命題為真命題的是(

)A.p∧q B.?p∧?qC.?p∧q D.p∧?q解析:因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)?0,+∞),所以對(duì)任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p為真命題;因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí),x>2不一定成立,反之當(dāng)x>2時(shí),一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分條件,故q為假命題,則p∧q、?p為假命題,?q為真命題,?p∧?q、?p∧q為假命題,p∧?q為真命題,故選D.答案:D探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)造新命題例1分別寫出由下列命題構(gòu)成的“p∨q”“p∧q”“?p”形式的復(fù)合命題:(1)p:π是無(wú)理數(shù),q:e不是無(wú)理數(shù);(2)p:周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等,q:面積相等的兩個(gè)三角形全等;(3)p:方程x2+4x+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,q:方程x2+4x+3=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根.分析先確定兩個(gè)簡(jiǎn)單命題p,q,再根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義寫出新命題.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)p∨q:π是無(wú)理數(shù)或e不是無(wú)理數(shù);p∧q:π是無(wú)理數(shù)且e不是無(wú)理數(shù);?p:π不是無(wú)理數(shù).(2)p∨q:要么周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等,要么面積相等的兩個(gè)三角形全等;p∧q:周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等,面積相等的兩個(gè)三角形也全等;?p:周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形不全等.(3)p∨q:方程x2+4x+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根;p∧q:方程x2+4x+3=0有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)根;?p:方程x2+4x+3=0沒有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟1.用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)造新命題的兩個(gè)步驟:(1)確定兩個(gè)簡(jiǎn)單命題p,q;(2)分別用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”將p和q聯(lián)結(jié)起來,即得新命題.2.用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題,關(guān)鍵是正確理解這些詞語(yǔ)的意義及在日常生活中的同義詞,選擇合適的聯(lián)結(jié)詞,有時(shí)為了語(yǔ)法的要求及語(yǔ)句的通順也可進(jìn)行適當(dāng)?shù)氖÷院妥冃?3.辨別復(fù)合命題的構(gòu)成形式時(shí),應(yīng)根據(jù)組成復(fù)合命題的語(yǔ)句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞,或語(yǔ)句的意義確定復(fù)合命題的形式,準(zhǔn)確理解語(yǔ)義應(yīng)注意抓住一些關(guān)鍵詞.如“是…也是…”,“兼”,“不但…而且…”,“既…又…”,“要么…,要么…”等.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1指出下列命題的構(gòu)成形式,以及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題:(1)1是質(zhì)數(shù)或合數(shù);(2)他是運(yùn)動(dòng)員兼教練;(3)不等式|x-2|≤0沒有實(shí)數(shù)解;(4)這部作品不僅藝術(shù)上有缺點(diǎn),政治上也有錯(cuò)誤.解:(1)這個(gè)命題是“p∨q”形式,其中p:1是質(zhì)數(shù),q:1是合數(shù);(2)這個(gè)命題是“p∧q”形式,其中p:他是運(yùn)動(dòng)員,q:他是教練員;(3)這個(gè)命題是“?p”形式,其中p:不等式|x-2|≤0有實(shí)數(shù)解;(4)這個(gè)命題是“p∧q”形式,其中p:這部作品藝術(shù)上有缺點(diǎn),q:這部作品政治上有錯(cuò)誤.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷例2分別指出由下列簡(jiǎn)單命題所構(gòu)成的“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命題的真假:(1)p:2是奇數(shù),q:2是合數(shù);(2)p:函數(shù)f(x)=3x-3-x是偶函數(shù),q:函數(shù)f(x)=3x-3-x是單調(diào)遞增函數(shù);(3)p:點(diǎn)(1,2)在直線2x+y-4=0上,q:點(diǎn)(1,2)不在圓x2+(y-3)2=2上;(4)p:不等式x2-x+2<0沒有實(shí)數(shù)解,q:函數(shù)y=x2-x+2的圖象與x軸沒有交點(diǎn).分析分析判斷出每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假,然后結(jié)合真值表得到每個(gè)復(fù)合命題的真假.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)由于p是假命題,q是假命題,所以p∧q是假命題,p∨q是假命題,?p是真命題;(2)由于p是假命題,q是真命題,所以p∧q是假命題,p∨q是真命題,?p是真命題;(3)由于p是真命題,q是假命題,所以p∧q是假命題,p∨q是真命題,?p是假命題;(4)由于p是真命題,q是真命題,所以p∧q是真命題,p∨q是真命題,?p是假命題.反思感悟判斷“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命題真假的步驟:第一步,確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式;第二步,判斷簡(jiǎn)單命題p,q的真假;第三步,根據(jù)真值表作出判斷.其中特別要注意:一真“或”為真,一假“且”即假.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2分別指出下列各組命題構(gòu)成的“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命題的真假:(1)p:梯形有一組對(duì)邊平行;q:梯形有一組對(duì)邊相等;(2)p:1是方程x2-4x+3=0的根;q:3是方程x2-4x+3=0的根;(3)p:不等式x2-2x+1>0的解集為R;q:不等式x2-2x+2≤1的解集為?.解:(1)由于p是真命題,q是假命題,所以p∧q是假命題,p∨q是真命題,?p是假命題;(2)由于p和q均是真命題,所以p∧q是真命題,p∨q是真命題,?p是假命題;(3)由于p和q均是假命題,所以p∧q是假命題,p∨q是假命題,?p是真命題.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)已知復(fù)合命題的真假求參數(shù)范圍例3已知p:關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)根,q:關(guān)于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求m的取值范圍.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟根據(jù)命題的真假求參數(shù)范圍的步驟(1)求出p,q均為真時(shí)參數(shù)的取值范圍;(2)根據(jù)命題p∧q,p∨q的真假判斷命題p,q的真假;(3)根據(jù)p,q的真假求出參數(shù)的取值范圍.延伸探究

本例題條件不變,試求p∨q與p∧q分別為真命題時(shí)m的取值范圍.解:由例題知,當(dāng)p為真時(shí),m>2,當(dāng)q為真時(shí),1<m<3,則當(dāng)p∨q為真命題時(shí),m>1,當(dāng)p∧q為真命題時(shí),2<m<3.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)命題的否定的真假應(yīng)用典例已知命題p:方程x2+2ax+1=0有兩個(gè)大于-1的實(shí)數(shù)根,命題q:關(guān)于x的不等式ax2-ax+1>0的解集為R,若“p∨q”與“?q”同時(shí)為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛

由真值表可判斷p∨q,p∧q,?p命題的真假,反之,由p∨q,p∧q,?p命題的真假也可判斷p,q的真假情況.一般求滿足p假成立的參數(shù)范圍,應(yīng)先求p真成立的參數(shù)的范圍,再求其補(bǔ)集.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練已知命題p:|x2-x|≤2,q:x∈Z,若“p∧q”與“?p”同時(shí)為假命題,則x的取值范圍為

.

解析:由p得-1≤x≤2,又q:x∈Z,得p∧q:x∈{-1,0,1,2}.?p:x<-1,或x>2,因?yàn)椤皃∧q”與“?p”同時(shí)為假,所以p真且q假,故-1<x<2,且x≠0,1.答案:{x|-1<x<2,且x≠0,1}探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)1.有下列命題:①2012年10月1日是國(guó)慶節(jié),又是國(guó)際音樂日;②6的倍數(shù)一定是3的倍數(shù);③3不是質(zhì)數(shù);④方程x2=1的解是x=±1.其中使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析:①中使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”;②中沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞;③中使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”;④中使用但省略了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”.答案:C探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)A.p∧q B.(?p)∧(?q)C.(?p)∧q D.p∧(?q)解析:對(duì)于命題p,f(x)=的減區(qū)間是(0,+∞)和(-∞,0),不能寫成并集,故命題p為假命題.對(duì)于命題q,g(x)=-sin

x為奇函數(shù),故命題q為真命題.所以(?p)∧q為真