導(dǎo)數(shù)練習(xí)答案

已知曲線yx2的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為<A）1.42A．1B．2C．3D．42.曲線yex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為<D）Ａ．9e2Ｂ．2e2Ｃ．e2Ｄ．e2423.f(x)是f(x)1x32x1的導(dǎo)函數(shù)，則f(1)的值是＿＿＿＿．334.已知函數(shù)f(x)x312x8在區(qū)間[3,3]上的最大值與最小值分別為M,m，則Mm＿＿．325.已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f12，則(1))處的切線方程是yx2f(1)f(1)＿＿＿＿．36.．若點(diǎn)P在曲線yx33x2(33)x3上移動，經(jīng)過點(diǎn)P的切線的傾斜角為，4則角的取值范圍是<）A．[0,)B．[0,)[2,)C．[2,)D．[0,)(2,2]2233237.函數(shù)f(x)x3x21的圖象大致是y2yyy8.已知f(x)2x36x2m<m為常數(shù)）在[2，2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[2，2]上的最小值為OxOxOA.5B.11C.37xO1x29D.9.曲線yx32x24x2在點(diǎn)(1，3)處的切線方程是＿＿＿＿．5xy20<A）<B）<C）<D）設(shè)f(x)是函數(shù)

f(x)

的導(dǎo)函數(shù)，將

y

f(x)和

y

f(x)

的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是

<D

）10.設(shè)函數(shù)f(x) ax3 bx c(a 0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn) (1,f(1))處的切線與直線x 6y 7 0垂直，導(dǎo)函數(shù) f'(x)的最小值為 12．<Ⅰ）求a，b，c的值；<Ⅱ）求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù) f(x)在[ 1,3]上的最大值和最小值．解讀：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，以及推理能力和運(yùn)算能力．<Ⅰ）∵f(x)為奇函數(shù)，∴f( x) f(x)即 ax3 bx c ax3 bx c∴c 0f'(x)3ax2b的最小值為12∴b12又直線x6y70的斜率為16因此，f'(1)3ab6∴a2，b12，c0．<Ⅱ）f(x)2x312x．f'(x)6x2126(x2)(x2)，列表如下：x(,2)2(2,2)2(2,)f'(x)00f(x)極大極小所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(,2)和(2,)∵f(1)10，f(2)82，f(3)18∴f(x)在[1,3]上的最大值是f(3)18，最小值是f(2)82．2/23已知函數(shù)f(x)2axa21(xR)，其中aR．11.x21<Ⅰ）當(dāng)a1時，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；<Ⅱ）當(dāng)a0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法．滿分12分．b5E2RGbCAP<Ⅰ）解：當(dāng)a1時，f(x)2x1，f(2)4，x25又f(x)2(x21)·22x2，f(2)6．2x2x(x21)2(x21)225所以，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y46(x2)，525即6x2y320．<Ⅱ）解：f(x)2a(x21)2x(2axa21)2(xa)(ax1)．(x21)2(x21)2由于a0，以下分兩種情況討論．<1）當(dāng)a0時，令f(x)0，得到x11，x2a．當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)a的變化情況如下表：x∞，111，aa(a，∞)aaaf(x)00f(x)極小值極大值所以f(x)在區(qū)間∞，1，(a，∞)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間1，a內(nèi)為增函aa數(shù)．函數(shù)f(x)在x11處取得極小值f1，且f1a2，aaa函數(shù)f(x)在x21處取得極大值f(a)，且f(a)1．a(chǎn)3/23<2）當(dāng)a0時，令f(x)0，得到x1a，x21，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)a的變化情況如下表：x∞，aa，111，+∞aaaf(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在區(qū)間(∞，a)，1，+∞內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間，1內(nèi)為減函aa數(shù)．函數(shù)f(x)在x1a處取得極大值f(a)，且f(a)1．函數(shù)f(x)在x21處取得極小值f1，且f1a2．a(chǎn)aa12.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)1x22ax，g(x)3a2lnxb，其中2a0．設(shè)兩曲線yf(x)，yg(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．<I）用a表示b，并求b的最大值；<II）求證：f(x)≥g(x)<x0）．本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．解：<Ⅰ）設(shè)yf(x)與yg(x)(x0)在公共點(diǎn)(x0，y0)處的切線相同．∵f(x)x2a，g(x)3a2，由題意f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)．x122，即2x02ax03alnx0b3a23a<舍去）．3a2由x02a得：x0a，或x0x02a，x0x0即有b1a22a23a2lna5a23a2lna．22令h(t)5t23t2lnt(t0)，則h(t)2t(13lnt)．于是24/231當(dāng)t(13lnt)0，即0te3時，h(t)0；1當(dāng)t(13lnt)0，即te3時，h(t)0．11故h(t)在 0，e3 為增函數(shù)，在 e3，∞ 為減函數(shù)，12于是h(t)在(0，∞)的最大值為he33e3．2<Ⅱ）設(shè)F(x)f(x)g(x)1x22ax3a2lnxb(x0)，2則F(x)x3a2(xa)(x3a)(x0)．2axx故F(x)在(0，a)為減函數(shù)，在(a，∞)為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0，∞)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0．故當(dāng)x0時，有f(x)g(x)≥0，即當(dāng)x0時，f(x)≥g(x)．13.用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？p1EanqFDPw<20）<本小題12分）解：設(shè)長方體的寬為 x<m），則長為2x(m>，高為h1812xx＜x＜3.44.53(m)02故長方體的體積為Vx)2x2(4.53x9x2x33)＜x＜32從而V(x)18x18x2(4.53x)18x(1x).令V′<x）＝0，解得x=0<舍去）或x=1，因此x=1.當(dāng)0＜x＜1時，V′<x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時，V′<x）＜0，3故在x=1處V<x）取得極大值，并且這個極大值就是 V<x）的最大值。從而最大體積 V＝V′<x）＝9×12-6×13<m3），此時長方體的長為 2m，高為1.5m.5/23答：當(dāng)長方體的長為2m時，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大體積為3m3。14.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間 (a,b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)<A）A．1個B．2個C．3個D．4個

(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)y y f(x)15.曲線y1和yx2在它們交點(diǎn)處的兩條bx3.aOx切線與x軸所圍成的三角形面積是416.已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在點(diǎn)x0處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)yf'(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，(2,0)，如圖所示.求：<Ⅰ）x0的值；<Ⅱ）a,b,c的值.17.已知函數(shù)f(x)x28x,g(x)6lnxm.<I）求f(x)在區(qū)間t,t1上的最大值h(t);<II）是否存在實(shí)數(shù)m,使得yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由。DXDiTa9E3d23．本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力。滿分12分。RTCrpUDGiT解：<I）f(x)x28x(x4)216.當(dāng)t14,即t3時，f(x)在t,t1上單調(diào)遞增，h(t)f(t1)(t1)28(t1)t26t7;當(dāng)t4t1,即3t4時，h(t)f(4)16;當(dāng)t4時，f(x)在t,t1上單調(diào)遞減，h(t)f(t)t28t.t26t7,t3,綜上，h(t)16,3t4,t28t,t4<II）函數(shù)yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)，即函數(shù)(x)g(x)f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點(diǎn)。(x)x28x6lnxm,'(x)2x862x28x62(x1)(x3)(x0),xxx當(dāng)x(0,1)時，'(x)0,(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(0,3)時，'(x)0,(x)是減函數(shù)；當(dāng)x(3,)時，'(x)0,(x)是增函數(shù)；6/23當(dāng)x1,或x3時，'(x)0.(x)最大值(1)m7,(x)最小值(3)m6ln315.當(dāng)x充分接近0時，(x)0,當(dāng)x充分大時，(x)0.要使(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點(diǎn)，必須且只須(x)最大值m70,即7m156ln3.(x)最小值m6ln3150,所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為(7,156ln3).11.<Ⅰ）x0=1。<Ⅱ）a2,b9,c1218.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x3x2xa．<Ⅰ）求f(x)的極值；<Ⅱ）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線yf(x)與x軸僅有一個交點(diǎn)．21.極大、小值分別為f(15a,f(1)a1)27319.已知函數(shù)f(x>＝lnx，g(x>＝1ax2＋bx，a≠0.2<Ⅰ）若b＝2，且h(x>＝f(x>－g(x>存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；<Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x>的圖象C1與函數(shù)g(x>圖象C2交于點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1，C2于點(diǎn)M、N，證明C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.5PCzVD7HxA解：<I）b2時,h(x)lnx1ax22x，2則h(x)1ax2ax22x1.xx因?yàn)楹瘮?shù)h(x>存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h(x)<0有解.又因?yàn)閤>0時，則ax2+2x－1>0有x>0的解.①當(dāng)a>0時，y=ax22總有x>0的解；+2x－1為開口向上的拋物線，ax+2x－1>0②當(dāng)a<0時，y=ax2+2x－1為開口向下的拋物線，而ax2+2x－1>0總有x>0的解；則△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此時，－1<a<0.綜上所述，a的取值范圍為<－1，0）∪<0，+∞）.<II）證法一設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是<x1,y1），<x2,y2），0<x1<x2.則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為xx1x2,2C1在點(diǎn)M處的切線斜率為k11|xx22,xx1x1x227/23C2在點(diǎn)N處的切線斜率為a(x1x2)k2axb|x1x2.bx22假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則k1=k2.2a(x1x2)即x22b，則x12(x2x1)a(x22x12)b(x2x1)a(x22bx2)(ax12bx1)x1x2222=y2y1lnx2lnx1.所以lnx22(x21)x2,則lnt1),tx1.設(shè)t2(t1.①x11x2x11tx1令r(t)lnt2(t1),t1.則r(t)14(t1)21tt(t1)2t(t1)2.因?yàn)閠1時，r(t)0，所以r(t)在[1,）上單調(diào)遞增.故r(t)r(1)0.則lnt2(t1).這與①矛盾，假設(shè)不成立.t故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.證法二：同證法一得(x2x1)(lnx2lnx1)2(x2x1).因?yàn)閤10，所以(x21)lnx22(x21).x1x1x1令tx2，得(t1)lnt2(t1),t1.②x1令r(t)(t1)lnt2(t1),t1,則r(t)lnt11.1)11t1t1)0.因?yàn)?lnt，所以t1時，(lntttt2t2t故lnt1)上單調(diào)遞增.從而lnt10，即r(t)0.在[1，+1tt于是r(t)在[1，+)上單調(diào)遞增.故r(t)r(1)0.即(t1)lnt2(t1).這與②矛盾，假設(shè)不成立.故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.8/2320.已知函數(shù)的切線方程為

f(x) x3 bx2 cx d的圖象過點(diǎn) P<0，2），且在點(diǎn) M<－1，f<－1））處6x y 7 0.<Ⅰ）求函數(shù)yf(x)的解讀式；<Ⅱ）求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間.解：(Ⅰ>由f(x)x3bx2cxd的圖象過點(diǎn)P<0，2）,d=2知,所以f(x)x3bx2cx2,f(x>=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1>>處的切線方程是6x-y+7=0,知jLBHrnAILg-6-f(-1>+7=0,即f(-1>=1,f(-1>=6,∴32bc6,即bc0,解得b=c=-3.1bc22bc3,1,故所求的解讀式為f(x>=x3-3x-3+2,(Ⅱ>f2222,x2=1+2,xHAQX74J0X(x>=3x-6x-3,令3x-6x-3=0即x-2x-1=0,解得x1=1-當(dāng)x<1-2或x>1+2時,f(x>>0。當(dāng)1-2<x<1+2時,f(x><0∴f(x>=x3-3x2-3x+2在(1+2,+∞>內(nèi)是增函數(shù),在(-∞,1-2>內(nèi)是增函數(shù),在(1-2,1+2>內(nèi)是減函數(shù).LDAYtRyKfE21.已知函數(shù)f(x)x33x29xa.<Ⅰ）求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；<Ⅱ）若f(x)在區(qū)間[－2，2].上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.【答案】【詳解】解：<I）f'(x)3x26x9.令f'(x)0,1或x3,解得x所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,1),(3,).<II）因?yàn)閒(2)81218a2a,f(2)81218a22a,所以f(2)f(2).9/23因?yàn)樵?1,3)上f'(x)0,所以f(x)在[1,2]單調(diào)遞增,又由于f(x)在[2,1]上單調(diào)遞減,因此f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間[2,2]上的最大值和最小值.于是有22a20,解得a2.故f(x)x33x29x2.因此f(1)13927.即函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,2]上的最小值為7.22.設(shè)函數(shù)f(x)2x33(a1)x26ax8,其中aR.<1）若f(x)在x 3處取得極值，求常數(shù) a的值；<2）若f(x)在(,0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍.解：<Ⅰ）()626(1)66()(1).fxxaxaxax因f(x)在x3取得極值，所以f(3)6(3a)(31)0.解得a3.經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)a3時,x3為f(x)為極值點(diǎn).<Ⅱ）令f(x)6(xa)(x1)0得x1a,x21.當(dāng)a1時,若x(,a)(1,),則f(x)0,所以f(x)在(,a)和(1,)上為增函數(shù)，故當(dāng)0a1時,f(x)在(,0)上為增函數(shù).當(dāng)a1時,若x(,1)(a,),則f(x)0,所以f(x)在(,1)和(a,)上為增函數(shù)，從而f(x)在(,0]上也為增函數(shù).綜上所述，當(dāng)a[0,)時,f(x)在(,0)上為增函數(shù)23.已知x1是函數(shù)f(x)mx33(m1)x2nx1的一個極值點(diǎn)，其中m,nR，m0.<1）求m與n的關(guān)系表達(dá)式；<2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解：(I>f(x)3mx26(m1)xn∵x1是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn)10/23∴f(1) 0,即3m 6(m 1) n 0n3m6<II）由<I）知，f(x)3mx26(m1)x3m6=3m(x1)x12m當(dāng)m0時，有112(x)的變化如下表：，當(dāng)x變化時，f(x)與fmx,12212,111,1mmmf(x)00000f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故有上表知，當(dāng)m0時，f(x)在,12單調(diào)遞減，在(12,1)單調(diào)遞增，在m m(1, )上單調(diào)遞減.<III）解法一：由已知得 f(x) 3m，即mx2 2(m 1)x 2 0m0∴x22(m1)x20即x22(m1)x20,x1,1①mmmm設(shè)g(x)x22(11)x2，其函數(shù)開口向上，由題意知①式恒成立，mmg(1)012220解之得44mmm又m0所以m0∴0g(1)1033即m的取值范圍為(4,0)3解法二：由已知，得f'(x)>3m，即3m(x－1>［x－(1+2>］>3m∵m<0m∴(x－1>［x－(1+2>］<1(*>m1°x=1時，(*>化為0<1恒成立，∴m<02°x≠1時，∵x［－1,1］，∴－2≤x－1<0(*>式化為21<(x－1>－x1m1令t=x－1，則t［－2,0>，記g(t)t，則g(t)在區(qū)間［－2,0>是單調(diào)增函數(shù)t∴g(t)ming(2)21322由(*>式恒成立，必有234m，又m<0，則40m23m311/23綜合1°、2°得40m324.已知函數(shù)f(x)mx3x2xmR33,.<1）若函數(shù) f(x)在x 1處取得極值，試求 m的值，并求 f(x)在點(diǎn)M(1,f(1))處的切線方程；<2）設(shè)m 0，若函數(shù) f(x)在<2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求 m的取值范圍.<1）解：f(xmx2x3.)36因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x1處取得極值，所以f(1)0,解得m3.于是函數(shù)f()3x33x23,f(1)3,f()9x263.xxxx函數(shù)f(x)在點(diǎn)M<1，3）處的切線的斜率kf(1)12.則f(x)在點(diǎn)M處的切線方程為12xy906分<2）當(dāng)m0時，f(x)3x26x3是開口向下的拋物線，要使f(x)在<2，+∞）上存在子區(qū)間m0,使f(x)0，應(yīng)滿足12,m1f(0.)mm0,蔌12,mf(2)01m0,或3m1解得4，22所以m的取值范圍是(3,0)14分425.已知函數(shù)f(x)lnxax2(a1)x，aR，且a≥0．212/23<f(2)1a<a0f(x)< f(x).<(0,)f(x)1ax(a1).xf(2)1a332<f(x)lnxxf(x)11x1xxf(x)1x00x1f(x)1x0x1xxf(x)(0,1)(1,).x1f(x)(0,+?)x1f(x)f(1)17<f(x)1ax(a1)ax2(a1)x1(ax1)(x1)xxx<1a0f(x)1x.f(x)1x00x1xx<2a0(ax1)(x1)0x11.xxa110a1<aax2(a1)x10x0ax2(a1)x10x0x1x1a13/2311即a1時，<ⅱ）當(dāng)a因?yàn)閤0，f(x)x22x1(x1)2x≥0恒成立.x<ⅲ）當(dāng)1即a1ax2(a1)x1x0得1時，由x0，及aax2(a1)x10，解得0x1；，或x1a綜上所述，當(dāng)a 0時，函數(shù) f(x)的遞增區(qū)間是 (0,1)；當(dāng)0a1時，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(0,1)，(1)；,a當(dāng)a1時，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(0,)；當(dāng)a1時，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(0,1).14分)，(1,a26.已知橢圓M:x2y21(ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)．在橢a2b2圓M中有一內(nèi)接三角形ABC，其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(3,1)，AB所在直線的斜率為3．Zzz6ZB2Ltk3<Ⅰ）求橢圓M的方程；<Ⅱ）當(dāng)ABC的面積最大時，求直線AB的方程．··F1F219.解：<Ⅰ）由橢圓的定義知2a(23)21(23)21.解得a26，所以b2a2c22.所以橢圓M的方程為x2y21．4分62<Ⅱ）由題意設(shè)直線AB的方程為y3xm，314/23x2y21,62由得2x223mx3m260．3xm,3因?yàn)橹本€AB與橢圓M交于不同的兩點(diǎn)A,B，且點(diǎn)C不在直線AB上，12m224(m22)0,所以133m.解得2m2，且m0．3設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，則x1x23m，x1x23m26，y13x1m，y23x2m．233所以|AB|(x2x1)2(y2y1)24[(x1x2)24x1x2]24m2.3點(diǎn)C(3,1)到直線y3xm的距離d3|m|.32于是ABC的面積S1|AB|d3|m|4m2≤3m2(4m2)3，2222當(dāng)且僅當(dāng)|m|4m2，即m2“”時成立.所以m2時ABC的面積最大，此時直線AB的方程為y3x2.3即為x3y60．13分27.已知函數(shù)f(x)lnxa(aR）.x<1）若曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線xy10平行，求a的值；<2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；<3）當(dāng)a1，且x1時，證明：f(x)1.解：<I）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x0},所以f(x)1lnxa.x2又曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線xy10平行，15/23所以f(1) 1 a 1,即a 0. 4分<II）令f(x) 0,得x e1a.當(dāng)x變化時， f(x),f(x)的變化情況如下表：x(0,e1a)e1a(e1a,)f(x)+0—f(x)極大值由表可知：f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e1a)，單調(diào)遞減區(qū)間是(e1a,)所以f(x)在xe1a處取得極大值，f(x)極大值f(e1a)en1.9分<III）當(dāng)a1時,f(x)lnx1.xlnx1由于x1,,要證f(x)1,x只需證明lnx1x.令h(x)xlnx1,則h(x)11x1.xx因?yàn)閤1，所以h'(x)0,故h(x)在1,上單調(diào)遞增，當(dāng)x1時,h(x)h(1)0,即lnx1x成立。故當(dāng)x1時，有l(wèi)nx11,即f()1.13分xx28.已知橢圓C:x2y261(ab0)的離心率為，橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩個3a2b2焦點(diǎn)的距離之和為6。<I）求橢圓C的方程；<II）設(shè)直線l:ykx2與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P<0，1），且|PA|=|PB|，求直線l的方程。解：<I）由已知2a6,c6，3分a3解得a3,c64分所以橢圓C的方程為x2y21.5分9316/23x2y21得,(13k2)x2<III9312kx30ykx2144k212(13k2)0,k21.79A(x1,y1),B(x2,y2)x1x212k,x1x23813k23k21y1y2k(x1x2)4k12k4,13k2413k2ABE(6k2,22),103k13k1|PA|=|PB|PEABkPEkAB1,2113k2k1126k13k2k 1 13lxy20或xy20.1429f(x)x2a.<Ig(x)xf(x)[01]<IIa0yf(x)P(x1,f(x1))(x1a)l,lxA(x2,0)x1x2a.19<Ig(x)x3ax,g(x)3x2a.2a0時,g(x)為R上的增函數(shù),g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為g(0) 0 417/23a 0時,g(x)x(,a(aaa),)(,)3333g(x)+—+g(x)在(,a),(a)3,3(a,a63)3a1,即0a33g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為g(a)=-2a3a;739a1,即a3時,g(x)[01]g(1)1a.83a0時,g(x)[01]g(0)0;當(dāng)0a時的最小值為2a3a;3,g(x)9當(dāng)a時,g(x)的最小值為1a.3<IIyf(x)在點(diǎn)P(x1,f(x2))(x1a)y(x12a)2x1(xx1),y0,得x2x12a102x12x2 x1 a x1,因?yàn)閤1 a,2x12a x1 0,x2 x1. 112x1因?yàn)閤x1aa,所以,122x118/23x2x12ax1;aa,132x122x1x1x2a.1430.f(x)(x2mxm)ex,mRIf(x)mIIm0f(x)f(x)<Ifx有零點(diǎn)即函數(shù)gxx2mxm(),()240,解得4或0.3mmmm<IIf(x)(2xmex(x2mxm)exxxm2)ex,5)(f(x)0,得x0或xm2,m0時,所以m20,當(dāng)x(,m時,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;2)當(dāng)x(m時(x)0,函數(shù)單調(diào)遞減;2,0),ff(x)當(dāng)x(0,)時,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.7f(x).8f(x)f(0)m0.9f(x)f(x)(m2,)m10f(x)=0f(x)x1mm24m和x2mm24m22f(x)(x2mxm)ex(,x1)和(x2,)上,f(x)0.11m0,所以x10x2,x1(m2)mm24mm2m4m24m2219/23m4m24m4m4|m2|m4(2m)10,222x1m2,13(,x1)和(x2,)上,f(x)0,f(x)在區(qū)間(m2,)mm<0m<0f(x)m.14已知函數(shù)f(x)1x31ax2bx在區(qū)間[11)，，(13]，內(nèi)各有一個極值點(diǎn)．32<I）求a24b的最大值；<II）當(dāng)a24b8時，設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線為l，若l在點(diǎn)A處穿過函數(shù)yf(x)的圖象<即動點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線yf(x)運(yùn)動，經(jīng)過點(diǎn)A時，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)f(x)的表達(dá)式．dvzfvkwMI1解：<I）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)1x31ax2bx在區(qū)間[11)，，(13]，內(nèi)分別有一個極值32點(diǎn)，所以f(x)x2axb0在[11)，，(13]，內(nèi)分別有一個實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為x，x<xx），則x2x1a24b，且0x2x≤4．于是121210a24b≤4，0a24b≤16，且當(dāng)x11，x23，即a2，b3時等號成立．故a24b的最大值是16．<II）解法一：由 f(1) 1 a b知f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線l的方程是yf(1)f(1)(x1)，即y(1ab)x21a，32因?yàn)榍芯€l在點(diǎn)A(1，f(x))處空過yf(x)的圖象，所以g(x)f(x)[(1ab)x21a]在x1兩邊附近的函數(shù)值異號，則321不是g(x)的極值點(diǎn)．而g(x)1x31ax2bx(1ab)x21a，且3232g(x)x2axb(1ab)x2axa1(x1)(x1a)．20/23若11a，則x1和x1a都是g(x)的極值點(diǎn)．所以11a，即a2，又由a24b8，得b1，故f(x)1x3x2x．21a]3解法二：同解法一得g(x)f(x)[(1ab)x321(x1)[x2(13a)x(23a)]．322因?yàn)榍芯€l在點(diǎn)A(1，f(