獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想及應(yīng)用

2023/5/91.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué)選修1-2

第一章統(tǒng)計(jì)案例2023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/92023/5/9學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解變量的兩種分類方式；2.能用等高條形圖反映兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系；3.能根據(jù)條件列出2×2列聯(lián)表，并會(huì)用公式求K2值；4.能知道獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法。2023/5/9我們經(jīng)常聽到這些說(shuō)法：身高與體重有關(guān)；體重與身體內(nèi)脂肪含量有關(guān)；人的身高與年齡；產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量；商品的銷售額與廣告費(fèi)；家庭的支出與收入。吸煙對(duì)患肺癌有影響；數(shù)學(xué)好的人物理一般也很好；性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系；人的血型會(huì)決定人的性格；星座與人的命運(yùn)之間有某種聯(lián)系；2023/5/9獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題。在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。2023/5/9不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

說(shuō)明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%探究2023/5/9不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)98749199651、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小。從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通過(guò)圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：2023/5/9不吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例。練：打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)，下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問(wèn)：每晚都打鼾與患心臟病有關(guān)嗎？用圖加以分析.患心臟病未患心臟病合計(jì)每晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合計(jì)5415791633

學(xué)習(xí)目標(biāo)

預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接

解析：利用等高條形圖定性分析兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系，圖形如下：

通過(guò)數(shù)據(jù)和圖形分析，得到結(jié)論是：吸煙與患肺癌有關(guān)，那么這種判斷是否可靠呢？我們可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析回答這個(gè)問(wèn)題.假設(shè)H0：吸煙與患肺癌之間沒(méi)有關(guān)系,

吸煙與患肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d

如果“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，那么吸煙樣本中不患肺癌的比例應(yīng)該與不吸煙樣本中相應(yīng)的比例差不多.即︱ad-bc︱越小，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱，︱ad-bc︱越大，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強(qiáng).2023/5/9

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量-----卡方統(tǒng)計(jì)量（1）根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到K2的觀測(cè)值為：那么這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？（2）

獨(dú)立性檢驗(yàn)已知在成立的情況下，

即在成立的情況下，K2的觀測(cè)值大于6.635的概率非常小，近似為0.010，是一個(gè)小概率事件.思考：這個(gè)值到底告訴我們什么呢？現(xiàn)在K2的觀測(cè)值k≈56.632，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于6.635，所以有理由斷定H0不成立，即認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.0.50.40.250.150.10.050.0250.010.0050.001ko0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828卡方臨界值表：則有99.9%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；（1)若觀測(cè)值K2＞10.828.（3)若觀測(cè)值K2＞2.706，（4)若觀測(cè)值K2＜2.706，（2)若觀測(cè)值K2＞6.635，則有99%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；則有90%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；則沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒(méi)有關(guān)系。獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義

利用隨機(jī)變量K2來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟（1）假設(shè)兩個(gè)分類變量X與Y沒(méi)有關(guān)系；（2）計(jì)算出K2的觀測(cè)值k；（3）把k的值與臨界值比較確定X與Y有關(guān)的程度或無(wú)關(guān)系.

設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為

y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d在一次獨(dú)立性相關(guān)檢驗(yàn)中，若能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為兩個(gè)分類變量X與Y有關(guān)系，則k的取值范圍是（）A.[5.024,6.635)B.[6.635,7.879)C.[7.879,10.828)D.[7.879,+)D【即時(shí)訓(xùn)練】練習(xí)：某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表： 試用你所學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下，認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？體育文娛總計(jì)男生212344女生62935總計(jì)275279