北京市第十二中學(xué)高三下學(xué)期第三次模擬練習(xí)數(shù)學(xué)試題-1

北京市第十二中學(xué)2022屆高三下學(xué)期第三次模擬練習(xí)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C． D．73．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B． C． D．4．在等差數(shù)列中，若，則（

）A． B． C． D．5．已知直線l過(guò)圓的圓心，且與直線2x＋y－3＝0垂直，則l的方程為（

）A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝06．將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)在拋物線上，若以點(diǎn)P為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切，且與x軸相交的弦長(zhǎng)為6，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為（

）A．4 B． C．5 D．8．設(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件9．若函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．如圖，一次移動(dòng)是指：從某一格開(kāi)始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動(dòng)路線，則從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線條數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題11．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．12．己知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)__________.13．已知等比數(shù)列滿足，且其前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是___________.（寫出一個(gè)符合條件的即可）14．為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為_(kāi)__________.15．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P是對(duì)角線的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與不重合），則下列結(jié)論正確的有___________.①存在點(diǎn)P，使得平面平面；②存在點(diǎn)P，使得平面；③分別是在平面，平面上的正投影圖形的面積，對(duì)任意的點(diǎn)P都有；④對(duì)任意的點(diǎn)P，的面積都不等于.三、解答題16．的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.(1)求角的大??；(2)從以下4個(gè)條件中選擇2個(gè)作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求的面積.條件①：；條件②：；條件③：；條件④：.17．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面是正三角形，平面平面.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.18．某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號(hào)電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”，收集了使用該型號(hào)電動(dòng)汽車1年以上的部分客戶的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到他們的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”.從年齡在40歲以下的客戶中抽取10位歸為A組，從年齡在40歲及以上的客戶中抽取10位歸為B組，將他們的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成下圖，其中“+”表示A組的客戶，“⊙”表示B組的客戶.注：“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”是指電動(dòng)汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值.(1)記A，B兩組客戶的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值分別為m，n，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，試比較m，n的大?。ńY(jié)論不要求證明）；(2)從抽取的20位客戶中隨機(jī)抽取2位，求其中至少有1位是A組的客戶的概率；(3)如果客戶的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于350，那么稱該客戶為“駕駛達(dá)人”，現(xiàn)從該市使用這種電動(dòng)汽車的所有客戶中，隨機(jī)抽取年齡40歲以下和40歲以上的客戶各1位，記“駕駛達(dá)人”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.(1)求橢圓M的方程；(2)已知直線在x軸上方交橢圓M于B，C（異于點(diǎn)A）兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB，AC分別與y軸交于點(diǎn)P?Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求a的取值范圍.21．給定正整數(shù)m，數(shù)列，且.對(duì)數(shù)列A進(jìn)行T操作，得到數(shù)列.(1)若，，，，求數(shù)列；(2)若m為偶數(shù)，，且，求數(shù)列各項(xiàng)和的最大值；(3)若m為奇數(shù)，探索“數(shù)列為常數(shù)列”的充要條件，并給出證明.參考答案：1．C【解析】【分析】結(jié)合一元二次不等式的解法,求出集合B,根據(jù)集合的并集運(yùn)算求得答案.【詳解】,故,故選:C2．B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，所以，所以z的虛部為-1，故選：B3．B【解析】【分析】分析各選項(xiàng)中函數(shù)的定義域、奇偶性、在上的單調(diào)性即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)定義域是，不是偶函數(shù)，A不是；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，B是；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，C不是；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，D不是.故選：B4．C【解析】根據(jù)，利用“”法求解.【詳解】在等數(shù)列中，，所以，解得，所以，故選：C5．D【解析】【分析】利用配方法求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合垂直直線之間斜率的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€2x＋y－3＝0的斜率為，所以與直線2x＋y－3＝0垂直的直線l的斜率為，所以l的方程為：，故選：D6．B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得到平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，，由此求得的值．【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后得到的圖象，根據(jù)所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得，，,，故選：．7．A【解析】【分析】設(shè)，由條件結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系結(jié)論列方程求其坐標(biāo)值即可.【詳解】設(shè)，設(shè)圓的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，以點(diǎn)P為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切，所以,圓與x軸相交的弦長(zhǎng)為6，所以，所以，又，所以，故，,所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，故選：A.8．A【解析】【分析】由，，可得，得，利用基本不等式即證，反之可以取值舉反例.【詳解】先證充分性成立，，，，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以“”是“”的充分條件；再證必要性不成立，由，，，即令，，得成立，但，所以“”是“”的不必要條件；綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.9．D【解析】【分析】由時(shí)，，由題意，當(dāng)時(shí)，，對(duì)分和兩種情況討論即可求解.【詳解】解：由時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以當(dāng)時(shí)，，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，所以只需，解得，所以；②當(dāng)時(shí)，，所以只需，顯然成立，所以.綜上，的取值范圍是.故選：D.10．B【解析】【分析】分類分步排列即可.【詳解】由題意1和7是不能漏掉的，所以由以下路線：（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6條，故選：B.11．【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可得到答案；【詳解】，當(dāng)時(shí)，，常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12．【解析】【分析】根據(jù)離心率求得b求解.【詳解】解：己知雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線C的漸近線方程為，故答案為：13．（符合條件的一個(gè)即可）【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式可得若，則、，舉例即可.【詳解】由題意知，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，若，則，由得，所以，則可滿足上述條件.故答案為：.14．【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及余弦函數(shù)的有界性可求得的最小值.【詳解】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，且，則為的中點(diǎn)，故，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.15．①②④【解析】【分析】當(dāng)為直線與平面的交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)面面平行的判定定理即可判斷①正確；當(dāng)為直線與平面的交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)線面垂直的判定定理即可判斷②；計(jì)算出的條件即可判斷③；求出△的面積的最小值即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，如圖，因?yàn)?，所以平面平面，?dāng)直線交平面于點(diǎn)時(shí)，有平面平面，故①正確；對(duì)于②，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，則，有，，所以，，又平面，所以平面，當(dāng)直線交平面于點(diǎn)時(shí)，有平面，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)樵O(shè)（其中），則△在平面的正投影面積為，又△在平面上的正投影圖形的面積與在平面的正投影圖形面積相等，所以，若，則，解得或，因?yàn)?，所以，故存在點(diǎn)，使得；故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由于固定不變，只要找上的點(diǎn)到的距離最短即可，取中點(diǎn)，連接，由②的分析可證得平面，由平面得；又平面，平面，所以，所以為直線與的公垂線，此時(shí)△的面積最??；因?yàn)樵谡襟w中，易知，又，所以，因此，；所以對(duì)任意點(diǎn)，△的面積都不等于,故④正確.故答案為：①②④16．(1)(2)答案不唯一，見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）選①②，利用余弦定理可判斷不唯一；選①③或②③或③④，利用三角形的內(nèi)角和定理可判斷唯一，利用正弦定理結(jié)合三角形的面積可判斷的面積；選①④，直接判斷唯一，再利用三角形的面積公式可求得的面積；選②④，利用余弦定理可判斷唯一，再利用三角形的面積公式可求得的面積.(1)解：由及正弦定理可得，、，則，，，故.(2)解：若選①②，由余弦定理可得，即，解得，此時(shí)，不唯一；若選①③，已知，，，且，則，所以，，則唯一，，，由正弦定理可得，所以，；若選①④，已知，，，此時(shí)唯一，；若選②③，已知，，，且，則，所以，，則唯一，，，由正弦定理可得，所以，；若選②④，已知，，，由余弦定理可得，可得，，解得，此時(shí)，唯一，；若選③④，已知，，，且，則，所以，，則唯一，，，由正弦定理可得，.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可證明平面；(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面法向量和的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算即可；(3)直接利用空間向量法即可求出點(diǎn)到平面的距離.(1)四邊形為正方形，則，平面平面，平面平面，平面；(2)如圖，取的中點(diǎn)為，連接，在正中，，平面平面，平面平面，平面，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨取，則，，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，，，因此直線與平面所成角的正弦值為.(3)由(2)知，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以.18．(1)；(2)；(3)分布列答案見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）由圖可知組整體數(shù)值比組小；（2）利用古典概型及排列組合即可求出“從抽取的20位客戶中隨機(jī)抽取2位，至少有1位是A組的客戶的概率”；（3）依題意，可得該市使用這種電動(dòng)汽車的所有客戶中，在年齡40歲以下的客戶中隨機(jī)抽取位，該客戶為“駕駛達(dá)人”的概率為，在年齡40歲以上的客戶中隨機(jī)抽取位，該客戶為“駕駛達(dá)人”的概率為；可知的所有可能值為，，，分別求出相應(yīng)的概率，由此求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.(1)；由圖可知，“實(shí)際平均里程續(xù)航數(shù)”在附近或小于的組有個(gè)，組有個(gè)，且組這些數(shù)據(jù)整體大于組；“實(shí)際平均里程續(xù)航數(shù)”大于的組有個(gè)，組有個(gè)，且組數(shù)據(jù)也整體大于組，所以組的數(shù)據(jù)總和大于組數(shù)據(jù)總和，即A組客戶的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值n小于組客戶的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值；(2)設(shè)“從抽取的20位客戶中隨機(jī)抽取2位，至少有1位是A組的客戶”為事件，則，所以從抽取的20位客戶中隨機(jī)抽取2位，至少有1位是A組的客戶的概率是；(3)由題圖，知組“駕駛達(dá)人”的人數(shù)為人，組“駕駛達(dá)人”的人數(shù)為人，則可估計(jì)該市使用這種電動(dòng)汽車的所有客戶中，在年齡40歲以下的客戶中隨機(jī)抽取位，該客戶為“駕駛達(dá)人”的概率為，在年齡40歲以上的客戶中隨機(jī)抽取位，該客戶為“駕駛達(dá)人”的概率為；依題意，所有可能取值為，，.則，，，所以隨機(jī)變量的分布列為012故數(shù)學(xué)期望為.19．(1)(2)【解析】【分析】（1）直接由點(diǎn)坐標(biāo)及離心率求得橢圓方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓求得，再表示出直線AB，AC的方程，求得P?Q坐標(biāo)，再計(jì)算即可.(1)由題意知：，則，，則橢圓M的方程為；(2)聯(lián)立直線與橢圓，整理得，，即，又直線在x軸上方交橢圓M于B，C（異于點(diǎn)A）兩點(diǎn)，則；設(shè)，則，，，易得直線AB，AC斜率必然存在，則，令，得，則，同理可得，且，則.20．(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求得，設(shè)，得到，求得的單調(diào)性，結(jié)合，根據(jù)題意，列出不等式組或，即可求解.(1)解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)解：由，可得，設(shè)，則，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，且，顯然，若在上存在極值，則滿足或，解得，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上存在極值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．(1)(2)(3)，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用已知條件先求出，將，，，代入：，，，即可求解；（2）由，得到，進(jìn)而有，