安徽省蒙城一中渦陽一中等五校高三下學期第二次聯(lián)考數(shù)學（理）試題

2022屆安徽省蒙城一中、渦陽一中等五校高三下學期第二次聯(lián)考數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知集合，或，則（

）A．或 B． C．或 D．【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調性求集合，再由集合交運算求.【詳解】由題意，而或，故.故選：B2．已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，化簡復數(shù)得到，結合模的性質，即可求解.【詳解】根據(jù)復數(shù)的運算法則，可得，所以.故答案為：A.3．下列函數(shù)中，在其定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)初等函數(shù)的單調性和奇偶性逐一判斷即可得結果.【詳解】是奇函數(shù)，但整個定義域內不是減函數(shù)，故A錯誤；在定義域（0，+∞）上是減函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故B錯誤；在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，故C正確；在R上是奇函數(shù)但不是單調函數(shù)，故D錯誤.故選：C.4．設為等差數(shù)列{}的前n項的和，若，，則=（

）A．-27 B．-9 C．9 D．27【答案】D【分析】由，代入即可求出答案.【詳解】.故選：D.5．設，，.則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別根據(jù)對數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)和指數(shù)的性質，求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質，可得，由正弦函數(shù)的性質，可得，由指數(shù)函數(shù)的性質，可得，所以.故選：B.6．我國古代數(shù)學專著《九章算術》中介紹“塹堵”為：底面為直角三角形的直棱柱，如下圖所示，塹堵可以分割成一個陽馬（底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐）和一個鱉儒（四個面都為直角三角形的四面體），已知鱉儒體積為6，AB=3，AF=4，則陽馬中AC與DF夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件可求出，然后將該三棱柱補全為長方體，然后可求出答案.【詳解】，，由得，得，將該三棱柱補全為長方體，則AC與DF的夾角即為AC與CG的夾角，即為∠ACG，易得，，，由余弦定理得，故選：C7．為進一步做好新冠疫情防控工作，某地組建一只新冠疫苗宣傳志愿者服務隊，現(xiàn)從2名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取2人作為隊長，則在“抽取的2人中至少有一名女志愿者”的前提下“抽取的2人全是女志愿者”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用條件概率求解即可.【詳解】設抽取的2人全是女志愿者為事件A，抽取的2人中至少有一名女志愿者為事件B，則，，所以，故選：D8．若的展開式中各項系數(shù)的和為2，則展開式中的常數(shù)項為（

）A． B． C． D．1080【答案】C【分析】由題意求得，求得二項式展開式的通項公式為，進而求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】令，則有，解得，所以展開式的通項公式為，（其中），所以展開式中的常數(shù)項為,即展開式的常數(shù)項為.故選：C.9．已知為奇函數(shù)，且當時，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出時函數(shù)解析式，再求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；【詳解】解：當時，，則，所以，又，故切線方程為，即.故選：A10．已知函數(shù)在區(qū)間[0，]上有且僅有3條對稱軸，則的取值范圍是（

）A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）【答案】C【分析】求出函數(shù)的對稱軸方程為，，原題等價于有3個整數(shù)k符合，解不等式即得解.【詳解】解：，令，，則，，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上有且僅有3條對稱軸，即有3個整數(shù)k符合，，得，則，即，∴.故選：C.11．已知空間四邊形ABCD，，，，二面角A-BD-C是，若A?B?C?D四點在同一球面上，則該球的表面積是（

）A．15 B．18 C．21 D．24【答案】C【分析】設直角三角形BCD外接圓圓心為，則為斜邊BCABD外接圓圓心為，則為等邊三角形ABD延長交BD于E點，分別過，點作平面BCD與平面ABD的垂線，交于O點，則O點即為該外接球的球心.利用勾股定理求出外接圓的半徑，即可求出球的表面積.【詳解】設直角三角形BCD外接圓圓心為，則為斜邊BC的中點.設等邊三角形ABD外接圓圓心為，則為等邊三角形ABD延長交BD于E點，分別過，點作平面BCD與平面ABD的垂線，交于O點，則O點即為該外接球的球心.連接，OE.在等邊三角形ABD中，.因為為等邊三角形ABD的中心，所以E為BD的中點，且,所以，.在直角三角形BCD中，，，為中位線，所以.因為,所以為二面角的平面角，所以.如圖示：因為,,，所以.因為，所以，所以所以該外接球.所以該球的表面積是.故選：C12．已知點P為雙曲線上任意一點，?為其左?右焦點，OP向雙曲線兩漸近線作垂線，設垂足分別為M?N，則下列所述錯誤的是（

）A．為定值B．O?P?M?N四點一定共圓C．·的最小值為D．存在點P滿足P?M?三點共線時，P?N?三點也共線【答案】D【分析】對于A，設，表示出，即可判斷A；對于B，由題目可得，M，N兩點在以OP為直徑的圓上，故可判斷B；對于C，由雙曲線的對稱性可知，由，故可判斷C；對于D，利用雙曲線的對稱性，不妨設直線垂直一條漸近線，垂足為N；直線垂直另一條漸近線且交雙曲線于點P，易知直線與直線的交點始終落在y軸上，可判斷D.【詳解】設，點到漸近線的距離為，同理，則，∵，即，∴（定值），故A正確；∵，∴△OMP和△ONP均為直角三角形，M，N兩點在以OP為直徑的圓上，故B正確；由雙曲線的對稱性可知，其中，∵∴成立，故C正確；如圖利用雙曲線的對稱性，不妨設直線垂直一條漸近線，垂足為N；直線垂直另一條漸近線且交雙曲線于點P，易知直線與直線的交點始終落在y軸上，故D不正確.故選：D.二、填空題13．已知向量?滿足，則___________.【答案】1【分析】對兩邊同時平方可得，可知，即可得出的值,【詳解】，兩邊同時平方得，可得，所以，故.故答案為：1.14．若實數(shù)x?y滿足約束條件，則的最大值為___________.【答案】2【分析】畫出不等式組表示的區(qū)域，然后由可得，然后結合圖形可得答案.【詳解】不等式組表示的區(qū)域如圖：由可得，所以當直線過點時最小，最小值為2，故答案為：215．已知拋物線，過焦點F且斜率為k的直線交此拋物線于A?B兩點，點?分別為過兩點A?B向直線作的垂線的垂足，則直線與直線斜率之積為___________.【答案】-1【分析】設直線，，，則，，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，所以，表示出，代入即可得出答案.【詳解】設直線，，，則，，F(xiàn)（1，0），所以，整理得∴，又∵，∴.故答案為：.16．已知數(shù)列{}的前n和，且，則的最大值為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意求得，當時，，得到或，分是公差為2的等差數(shù)列，且和且是公差為2的等差數(shù)列時，兩種情況求得的值，即可求解.【詳解】當時，，當時，，整理得，解得或，當最小時，即是公差為2的等差數(shù)列，且時，此時，可得，最小，最大，此時；當最大時，即且是公差為2的等差數(shù)列時，此時，可得，最大，最大，此時，綜上可得：的最大值為.故答案為：.三、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，.(1)求角B的大??；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）邊換角，然后利用展開化簡可得；（2）由正弦定理可得，由和差公式可得，然后由面積公式可得.【詳解】(1)因為，且由正弦定理得，在中，因為中，，所以，即.又所以.(2)由正弦定理得為銳角∴∴.18．如圖所示，在多面體ABCDEF中，，，，，，.(1)證明：AB⊥平面AFC；(2)若，點P在棱CD上且，求平面CBF與平面APF夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）證明，，原題即得證；（2）以A點為原點，分別以AB?AC?AF所在直線為x?y?z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求平面CBF與平面APF夾角的余弦值.【詳解】(1)證明：∵，∴CD⊥平面ADEF，∴，又由，，平面ABCD.∴平面ABCD.∴，又在直角三角形ACD中，∴又由，平面AFC.∴AB⊥平面AFC.(2)以A點為原點，分別以AB?AC?AF所在直線為x?y?z軸建立空間直角坐標系.則A（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），F(xiàn)（0，0，1），又易得，由，得P（-，，0），∴，設平面CBF得法向量為，又，得，取，得到平面CBF的一個法向量為.同理求得平面APF的一個法向量為由，∴平面CBF與平面APF夾角的余弦值為.19．第24屆冬季奧林匹克運動會（XXIVOlympicWINTERGames），即2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.北京冬季奧運會共設7個大項，15個分項，109個小項.北京某中學研究小組為了研究該校學生參加冰雪運動與性別的關系，隨機對學校500名學生進行了跟蹤調查，其中喜歡冰雪運動的學生有200人，在余下的學生中，女生占到，根據(jù)數(shù)據(jù)制成了下圖所示的列聯(lián)表男生女生合計喜歡150200不喜歡合計500(1)根據(jù)題意，完成上述列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為喜歡冰雪運動和性別有關？(2)將頻率視為概率，用樣本估計總體，若從全市所有的中學生中，采用隨機抽樣的方法抽取4名學生，記被抽取的4名學生為男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.，其中.k【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，有99.9%的把握認為喜歡冰雪運動和性別有關(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：【分析】（1）由題意，分別求得男生中不喜歡的人數(shù)和女生中部喜歡的人數(shù)，得出的列聯(lián)表，利用公式求得的值，結合附表，即可求解；（2）根據(jù)題意求得抽取的學生為男生的概率為，得出隨機變量的取值，求得相應的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.【詳解】(1)解：由題意，隨機對學校500名學生進行了跟蹤調查，其中喜歡冰雪運動的學生有200人，在余下的學生中，女生占到，可得剩余的300人中，有150名女生不喜歡，150名男生不喜歡，可如下的的列聯(lián)表：男生女生合計喜歡15050200不喜歡150150300合計300200500則，所以有99.9%的把握認為喜歡冰雪運動和性別有關.(2)解：根據(jù)題意，被抽取的學生為男生的概率為，所以隨機變量的取值可以為0，1，2，3，4可得，，，，.故隨機變量的分布列為：01234P所以.20．已知橢圓的離心率為，以橢圓上一點和短軸兩個端點為頂點的三角形面積的最大值為2(1)求橢圓方程；(2)直線l與橢圓相交于不同兩點C?D，點P（4，0），若為定值，證明：直線l過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）設直線（斜率不為0），，用“設而不求法”表示出，由為定值，或，即可判斷直線l過定點（6，0）或（，0）.【詳解】(1)由題意可知，解得，故橢圓的方程為.(2)設直線（斜率不為0），，則，整理得：.所以，由知，因為，所以，又，代入上式得：為定值.即為為定值，只需，解得或，均可滿足，且（定值）.所以直線或.當直線l過定點（6，0）或（，0）斜率為0時亦成立，即直線l過定點（6，0）或（，0）.21．已知函數(shù)(1)若在定義域上單調遞增，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當時，對于函數(shù)，滿足方程有兩個不同的實數(shù)根，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）等價于在上恒成立，即在上恒成立，求出二次函數(shù)的最大值即得解；（2）等價于的兩實數(shù)根為，即，是方程的兩實根，得到韋達定理，求出，設，證明即得證.【詳解】(1)解：，（）因為在定義域上單調遞增，所以在上恒成立.所以在上恒成立，即，所以.(2)解：因為，所以，因為，所以的兩實數(shù)根為，所以，是方程的兩實根，所以，即，由得，，令，由得，設.所以，函數(shù)在上遞增，從而令則所以，函數(shù)在上遞增，得，所以，函數(shù)，因此，即.【點睛】關鍵點睛：解答本題有兩個關鍵，其一是能想到換元得到的解析式；其二是求出后想到構造函數(shù)，求函數(shù)的最小值.22．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.(1)求曲線C與直線l的直角坐標方程；(2)求曲線C上的點到直線的距離的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)，求得曲線C直角坐標方程；根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式，即可求解直線的直角坐標方程；（2）設曲線C上的任意一點坐標，利用點到直線的距離公式，結合三角函數(shù)的性質