天津市第三中學(xué)高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題

2022屆天津市第三中學(xué)高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用集合交的運(yùn)算法則即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選:C2．設(shè)、是非零向量，“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由可求得、的夾角，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】設(shè)非零向量、的夾角為，若，則，又，，所以，.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，同時也考查了向量垂直的數(shù)量積表示，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.3．函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性和時可排除錯誤選項(xiàng).【詳解】由得：，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱；，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除AC；當(dāng)時，，，，可排除D.故選：B.A城到B城實(shí)際通行所需時間，隨機(jī)抽取了臺車輛進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果顯示這些車輛的通行時間（單位：分鐘）都在內(nèi)，按通行時間分為，，，，五組，頻率分布直方圖如圖所示，則這臺車中通行時間少于分鐘的共有（

）A．臺 B．臺 C．臺 D．臺【答案】A【解析】根據(jù)直方圖計(jì)算通行時間少于分鐘的頻率，然后利用頻率乘以樣本總數(shù)計(jì)算.【詳解】由頻率分布直方圖可知，通行時間少于分鐘的共有臺.故選：A.5．，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法即可得出，，三個數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】，，，所以．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式、對數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6．已知正四面體的表面積為，其四個面的中心分別為，設(shè)四面體的表面積為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)檎拿骟w四個面都是正三角形，其中心到頂點(diǎn)的距離等于到對邊距離的一半，通過作出輔助線，可得兩四面體的邊長比，由面積比是邊長比的平方，可得出答案．【詳解】解：如圖所示，正四面體四個面的中心分別為、、、，四面體也是正四面體．連接并延長與交于點(diǎn)，連接并延長與交于點(diǎn)．、分別為面的中心，．．又，．面積比是相似比的平方，兩四面體的面積比為；．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的面積比是邊長比的平方，本題關(guān)鍵是求邊長比是多少；類似的有體積比是邊長比的立方，三角形的高，中線，角平分線的比等于邊長的比，屬于基礎(chǔ)題．7．設(shè)直線與函數(shù)、、的圖象在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是、、，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線與函數(shù)，，的圖像在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，得到，再利用兩角和的三角函數(shù)的公式求解.【詳解】因?yàn)橹本€與函數(shù)，，的圖像在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，所以，所以，所以，所以.故選：A.8．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)．若點(diǎn)在拋物線上，且，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知可得，可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的幾何意義可得出，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知可得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則，可得，則，故點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則即為在方向上的投影長，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：A.9．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對任意的，且，恒有，則稱函數(shù)具有對稱性，其中點(diǎn)為函數(shù)的對稱中心，研究函數(shù)的對稱中心，求（

）A．2022 B．4043 C．4044 D．8086【答案】C【分析】令函數(shù)，得出函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，進(jìn)而求得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，得到當(dāng)時，再結(jié)合倒序相加法，即可求解.【詳解】令函數(shù)，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，即當(dāng)，可得，設(shè)，所以所以.故選：C.二、填空題10．已知復(fù)數(shù)，則___________.【答案】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以；故答案為?1．若的展開式常數(shù)項(xiàng)為，則________．【答案】【分析】求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，可得出方程組，進(jìn)而可解得的值.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，由題意可得，解得.故答案為：.12．若圓上存在兩點(diǎn)A，B，使得以為直徑的圓過點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為______.【答案】7【分析】設(shè)中點(diǎn)為M，半徑，利用，得，然后由基本不等式求得最大值．【詳解】解析：設(shè)中點(diǎn)為M，半徑，，則等號成立時，O，C，M，P四點(diǎn)共線，且半徑．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查平面上兩點(diǎn)間距離，利用性質(zhì)：平面上兩點(diǎn)之間線段最短求解．考查的基本不等式的應(yīng)用．對學(xué)生分析問題解決問題的能力要求較高．13．某地區(qū)教研部門開展高三教師座談會，每名教師被抽到發(fā)言的概率均為p，且是否被抽到發(fā)言相互獨(dú)立，已知某校共有8名教師參加座談會，記X為該校教師中被抽到發(fā)言的人數(shù)，若，且，則_____.【答案】【分析】根據(jù)題意得到隨機(jī)變量，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差的計(jì)算公式，求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意，每名教師被抽到發(fā)言的概率均為p，且是否被抽到發(fā)言相互獨(dú)立，所以隨機(jī)變量，因?yàn)?，可得，解得或，又因?yàn)?，可得，所以，所?故答案為：.14．若，，且，則的最小值為___________【答案】【分析】結(jié)合已知等式，運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故答案為：15．在中，角，，的對邊分別為，，，，，點(diǎn)為的外心，若，則________．【答案】【分析】由余弦定理求得，然后用兩種方法計(jì)算數(shù)量積和，得關(guān)于的方程組，解之可得．【詳解】因?yàn)椋?，所以由余弦定理得：，所以，又因?yàn)闉榈耐庑模?，所以，?/p>

①同理可得，②聯(lián)立①②得，，所以．故答案為：．三、解答題16．在中，內(nèi)角所對的邊分別是，且，已知，，.(1)求及的值；(2)求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式可求.（2）利用二倍角公式和兩角和的正弦公式可求的值.【詳解】(1)因?yàn)椋瑸槿切蝺?nèi)角，所以，又，解得，又，所以（舍），；(2)因?yàn)?，，?17．如圖，在四棱錐中，平面平面.是等腰三角形，且；在梯形中，，，，，.(1)求證：面；(2)求二面角的余弦值；(3)請問棱上是否存在點(diǎn)Q到面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)棱上存在點(diǎn)到面的距離為，.【分析】（1）由即可得出平面；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角得出二面角的大?。唬?）設(shè)，用表示點(diǎn)到平面距離，求解可得的值．【詳解】(1)證明：，平面，平面，平面．(2)是直角梯形，，，，，，，又，到的距離為，平面平面，到平面的距離為2．以為原點(diǎn)，以，，及平面過的垂線為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示：，0，，，5，，，3，，，4，，，1，，，5，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，平面的法向量為，，，則，，，，令，可得，0，，，，，．由圖形可知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．(3)假設(shè)棱上存在點(diǎn)到面的距離為，設(shè)，2，，，，，，，，，，點(diǎn)到平面的距離，，棱上存在點(diǎn)到面的距離為，．18．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，其離心率，過左焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且的周長為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在第一象限），過點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)G，設(shè)直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為H，連接得到直線，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，記、的面積分別為，，求的最小值.【答案】(1)；(2)4.【分析】（1）利用橢圓的定義可得，結(jié)合條件即得；（2）設(shè)直線的方程為，，，，利用點(diǎn)差法可得，進(jìn)而可得直線的方程可設(shè)為，然后表示出，，再利用基本不等式即得.【詳解】(1)由題知橢圓的離心率，且的周長為8，所以，,所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)令直線的方程為，，，，由軸，則，∴，，則，由將點(diǎn)E，H代入橢圓的方程可得：，兩式作差可得：，所以，由，所以，所以直線的方程可設(shè)為，令時，，令時，，則的面積為，的面積為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為4.19．已知為等差數(shù)列，為公比大于的等比數(shù)列，且，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中項(xiàng)的個數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)1153(3)【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的基本量建立等式即可得解；（2）根據(jù)定義依次計(jì)算找出規(guī)律即可求和；（3）分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和，結(jié)合裂項(xiàng)求和和錯位相減即可得解.【詳解】(1)為等差數(shù)列，為公比大于的等比數(shù)列，設(shè)公差為，公比，且，，，，，所以，(2)記為在區(qū)間中項(xiàng)的個數(shù)，，，所以求數(shù)列的前項(xiàng)和1153(3)記，兩式作差得：數(shù)列的前項(xiàng)和20．已知函數(shù)，(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)的圖象恒在直線的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若，且，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，，得到切線方程，設(shè)出與的切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率和截距相等，從而求出的值；（2）問題轉(zhuǎn)化為對于恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，整理變形即可.【詳解】(1)，在處切線斜率，，所以切