四川省名校聯(lián)盟2023屆高三年級下冊學(xué)期4月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題

四川省名校聯(lián)盟2023屆高三4月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，則（）A．2 B． C．1 D．2．設(shè)集合，，集合中恰好含有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．3．我國古代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”，意思是說，有一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切），如圖所示．已知圓O的半徑為2丈，過C作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若，則對角線AC長度為（）A．丈 B．丈 C．丈 D．丈4．國家統(tǒng)計(jì)局公報(bào)顯示繪制出的2017-2021年每年本?？啤⒅械嚷殬I(yè)教育及普通高中的招生人數(shù)（單位：萬）統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示，則下列關(guān)于2017-2021年說法正確的是（）A．每年本專科、中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)都在增長B．中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)差距最大的年份是2019年C．本專科每年的招生人數(shù)增幅最大的年份是2018年D．本?？频恼猩藬?shù)所占比例最高的年份是2021年5．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）A．e B． C． D．7．函數(shù)的圖象可能為（）A． B． C． D．8．過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B點(diǎn)，，且，則（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且，在區(qū)間內(nèi)存在最值點(diǎn)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，滿足的一個(gè)值可能為（）A．0 B． C． D．10．已知四棱錐的底面ABCD為梯形，，，，，為正三角形，平面平面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，PB的中點(diǎn)，則（）A．平面PAD B．PD與平面ABCD所成角的正弦值為C． D．四棱錐的體積為11．已知雙曲線，，為C的左、右焦點(diǎn)，，直線與C的一支交于點(diǎn)P，且，則C的離心率最大值為（）A． B．2 C． D．12．已知函數(shù)，函數(shù)的圖象與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為，，，設(shè)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，，則向量與的夾角為______．14．2022年11月29日，神舟十五號載人飛船成功發(fā)射升空，在飛船入軌后未來6個(gè)月里，空間站將逐步解鎖、安裝并測試15個(gè)科學(xué)實(shí)驗(yàn)機(jī)柜，開展涵蓋空間科學(xué)研究與應(yīng)用、航天醫(yī)學(xué)、航天技術(shù)等領(lǐng)域的40余項(xiàng)空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)和技術(shù)試驗(yàn)．已知此科學(xué)實(shí)驗(yàn)機(jī)柜在投入使用前會進(jìn)行調(diào)試工作，現(xiàn)有8個(gè)科學(xué)實(shí)驗(yàn)機(jī)柜，其中包括5個(gè)A類型、3個(gè)B類型，兩名調(diào)試員計(jì)劃共抽取3個(gè)機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試，則至少有1人抽到B類型機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試的概率為______．15．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則______．16．在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，過的平面交于G，則截面的面積為______；若線段上存在一點(diǎn)P，使得，則______．（第一空2分，第二空3分）．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．在下列三個(gè)條件①，，且；②；③中任選一個(gè)，回答下列問題．（1）求A；（2）若，求面積的最大值．18．（12分）在三棱錐中，底面ABC是邊長為4的正三角形，側(cè)面底面ABC，，，點(diǎn)E在線段SB上，且．（1）證明：平面ACE；（2）求二面角的正弦值．19．（12分）錨定2060碳中和，中國能源演進(jìn)“綠之道”，為響應(yīng)綠色低碳發(fā)展的號召，某地在沙漠治理過程中，計(jì)劃在沙漠試點(diǎn)區(qū)域四周種植紅柳和梭梭樹用于防風(fēng)固沙，中間種植適合當(dāng)?shù)丨h(huán)境的特色經(jīng)濟(jì)作物，通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，單株經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率為0.8，紅柳幼苗和梭梭樹幼苗成活的概率均為p，且已知任取三種幼苗各一株，其中至少有兩株幼苗成活的概率不超過0.896．（1）當(dāng)p最大時(shí)，經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率也將提升至0.88，求此時(shí)三種幼苗均成活的概率（）；（2）正常情況下梭梭樹幼苗栽種5年后，其樹桿地徑服從正態(tài)分布（單位：mm）．（?。┧笏髽溆酌缭苑N5年后，若任意抽取一棵梭梭樹，則樹桿地徑小于235mm的概率約為多少？（精確到0.001）（ⅱ）為更好地監(jiān)管梭梭樹的生長情況，梭梭樹幼苗栽種5年后，農(nóng)林管理員隨機(jī)抽取了10棵梭梭樹，測得其樹桿地徑均小于235mm，農(nóng)林管理員根據(jù)抽檢結(jié)果，認(rèn)為該地塊土質(zhì)對梭梭樹的生長產(chǎn)生影響，計(jì)劃整改地塊并選擇合適的肥料，試判斷該農(nóng)林管理員的判斷是否合理？并說明理由．附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，．20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A，B為其左、右頂點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，且．（1）求C的離心率；（2）若左焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最大距離為3，且直線交C于另一點(diǎn)N，已知的面積是的2倍，求直線MN的方程．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中選定一題作答，并用鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的題號方框涂黑．按所涂題號進(jìn)行評分，不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．（1）求曲線被曲線所截得的弦長；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，記曲線與交于A，B兩點(diǎn)，求．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍．參考答案一、選擇題（共60分）題號123456789101112答案ABADDCDCBADA二、填空題（共20分）13．14．15．1816．6；三、解答題（共70分）（一）必考題（60分）17．解：選擇條件①，（結(jié)構(gòu)不良題需先標(biāo)明所選擇的條件然后再求解）（1）因?yàn)椋?，且，所以，即，所以，由為銳角三角形可知，則，故，，（2）因?yàn)椋桑?）可得，所以根據(jù)余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．（忽略判斷等號成立的條件會導(dǎo)致失分）則，故面積的最大值為．選擇條件②，（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，由為銳角三角形可知，所以，則，即，由為銳角三角形可知，故．（2）后同選擇條件①．選擇條件③，（1）因?yàn)椋?，即，由正弦定理可得，根?jù)余弦定理可得，由為銳角三角形可知，故，（2）后同選擇條件①．18．解：（1）取AC中點(diǎn)為D，連接SD，BD．因?yàn)椋珼為AC中點(diǎn)，所以．又側(cè)面底面ABC，側(cè)面底面，側(cè)面SAC，所以底面ABC，．（2分）由于，，則，，由于，則，，因?yàn)?，所以．又，，，（證明線面垂直時(shí)需指明線線相交）所以平面SBD，．又，所以平面ACE．（2）由（1）可得DC，DB，DS兩兩垂直，故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC，DB，DS所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面SAB的法向量為，則，即，令，則，，即，設(shè)平面SBC的法向量為，則，即，令，則，，即，則，設(shè)二面角的平面角為，則，故二面角的正弦值為．19．解：（1）由題意得，任取三種幼苗各一株，至少有兩株幼苗成活，包括恰有兩株幼苗成活，三株幼苗均成活兩種情況，故概率為，即，，解得或（舍去）又，故p的取值范圍為，故p的最大值為0.8，記紅柳和梭梭樹幼苗均成活為事件A，經(jīng)濟(jì)作物幼苗成活為事件B，則有，．故所求概率為．（2）（?。┰O(shè)正常情況下，任意抽取一株梭梭樹，樹桿地徑為，由題意可知，因?yàn)?，所以由正態(tài)分布的對稱性及“”原則可知：．（ⅱ）理由①：農(nóng)林管理員的判斷是合理的．如果該地塊土質(zhì)對梭梭樹的生長沒有影響，由（ⅰ）可知，隨機(jī)抽取10棵梭梭樹，樹桿地徑都小于235mm的概率約為，為極小概率事件，幾乎不可能發(fā)生，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為該地塊對梭梭樹的生長產(chǎn)生影響，即農(nóng)林管理員的判斷是合理的．理由②：農(nóng)林管理員的判斷是不合理的．由于是隨機(jī)抽取了10棵梭梭樹，所以不可控因素比較多，例如有可能這10顆樹的幼苗栽培深度較淺，也有可能是自幼苗栽種后的澆水量或澆水頻率不當(dāng)所致．（答案不唯一，言之有理即可）（12分）20．解：（1）設(shè)，則有，即，則，又，，則，即，則，解得，故離心率．（2）由左焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最大距離為3可知，又，解得，，則，故橢圓C的方程為．則，設(shè)，，設(shè)點(diǎn)M位于x軸上方，點(diǎn)N位于x軸下方，則，．聯(lián)立，消去x得，，則，，因?yàn)椋?，（由，底相同可知面積之比即為高之比，又，異號，故，解題時(shí)往往忽略這一細(xì)節(jié)而致錯(cuò)）代入可知，則，又，即，結(jié)合橢圓對稱性得，故直線MN的方程為或．21．解：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋ê雎院瘮?shù)定義域?qū)⒃斐墒Х郑┧?，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）因?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)2，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，令，解得或，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，必有，即，且，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)椋驗(yàn)?，則，又，則，，故，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，因?yàn)椋?，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的兩個(gè)極值均大于零，且當(dāng)，，，，所以函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（二）選考題（10分）22．解：（1）因