2018第一學(xué)期概率統(tǒng)計(jì)

第五章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但在一些實(shí)際問題中，只需知道隨機(jī)變量的某些特征，因而不需要求出它的分布函數(shù).

評(píng)定某企業(yè)的經(jīng)營(yíng)能力時(shí)，只要知道該企業(yè)人均贏利水平；例如：

研究水稻品種優(yōu)劣時(shí)，我們關(guān)心的是稻穗的平均粒數(shù)及每粒的平均重量；

考察一射手的水平，既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高，還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小，即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是否小.

由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機(jī)變量，但能清晰地描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.隨機(jī)變量某一方面的概率特性可用數(shù)字來描寫

檢驗(yàn)棉花的質(zhì)量時(shí)，既要注意纖維的平均長(zhǎng)度，又要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度，平均長(zhǎng)度越長(zhǎng)、偏離程度越小，質(zhì)量就越好;

隨機(jī)變量的平均取值——數(shù)學(xué)期望本章內(nèi)容隨機(jī)變量取值平均偏離平均值的情況——方差描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間的某種關(guān)系的數(shù)——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)引例1測(cè)量50個(gè)圓柱形零件直徑（見下表）則這50個(gè)零件的平均直徑為尺寸（cm）89101112數(shù)量（個(gè)）8715101050§5.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望換一個(gè)角度看，從一堆零件中任取一個(gè)零件，它的尺寸為隨機(jī)變量X,且X

的概率分布為XP89101112則加權(quán)平均稱之為數(shù)學(xué)期望可以表示這堆零件的平均直徑，定義1

設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為若無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱其和為隨機(jī)變量X

的數(shù)學(xué)期望,記作E(X)數(shù)學(xué)期望的定義定義2

設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為若積分絕對(duì)收斂，

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均，它是一個(gè)數(shù)不再是隨機(jī)變量則稱此積分為隨機(jī)變量X

的數(shù)學(xué)期望,記作E(X)例1

X~B(n,p),求E(X)

.解例2

X~N(,2),求E(X)

.解常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p

的0-1分布pB(n,p)npP()分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E()N(,2)注意：不是所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望例如：Cauchy分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在

設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，概率分布為Y=g(X),隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望絕對(duì)收斂，則若級(jí)數(shù)

設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為f(x)Y=g(X),絕對(duì)收斂，則若積分

設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，概率分布為Z=g(X,Y),絕對(duì)收斂，則若級(jí)數(shù)

設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為f(x,y)Z=g(X,Y),絕對(duì)收斂，則若積分幾個(gè)重要的隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望——X的k

階原點(diǎn)矩——X的k

階絕對(duì)原點(diǎn)矩——X的k

階中心矩——X的方差——X的數(shù)學(xué)期望——X,Y的

k+l

階混合原點(diǎn)矩——X,Y的k+l

階混合中心矩——X,Y的二階原點(diǎn)矩——X,Y的二階混合中心矩

X,Y的協(xié)方差——X,Y的相關(guān)系數(shù)例4

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為求E(X),E(Y