彈性力學(xué)模擬題(新)

1-3五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？答：1、連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2、完全彈性假定：引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng)力成正比的含義，亦即二者成線性的關(guān)系，符合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3、均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比μ等）就不隨位置坐標(biāo)而變化。4、各向同性假定：所謂 “各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上都是相同的。進(jìn)一步地說，就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化。5、小變形假定：我們研究物體受力后的平衡問題時(shí)，不用考慮物體尺寸的改變而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，在研究物體的變形和位移時(shí)，可以將他們的二次冪或乘積略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性微分方程。在上述假定下，彈性力學(xué)問題都化為線性問題，從而可以應(yīng)用疊加原理。2-1已知薄板有下列形變關(guān)系： 式中A,B,C,D皆為常數(shù)，試檢查在形變過程中是否符合連續(xù)條件，若滿足并列出應(yīng)力分量表達(dá)式。解：1、相容條件：將形變分量帶入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）1/35其中所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條件。2、在平面應(yīng)力問題中，用形變分量表示的應(yīng)力分量為3、平衡微分方程其中若滿足平衡微分方程，必須有分析：用形變分量表示的應(yīng)力分量，滿足了相容方程和平衡微分方程條件，若要求出常數(shù)A,B,C,D還需應(yīng)力邊界條件。2/35例2-2如圖所示為一矩形截面水壩，其右側(cè)面受靜水壓力（水的密度為ρ），頂部受集中力P作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。解：根據(jù)在邊界上應(yīng)力與面力的關(guān)系左側(cè)面：右側(cè)面：上下端面為小邊界面，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。上端面額面力向截面形心O簡化，得到面力的主矢量和 主矩分別為y=0坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢量符號(hào)與面力主矢量符號(hào)相反；應(yīng)力主矩與面力主矩的轉(zhuǎn)向相反。所以下端面的面力向截面形心 D簡化，得到主矢量和主矩為3/35y=l坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢量、主矩的符號(hào)與面力主矢量、主矩的符號(hào)相同。所以分析：1、與坐標(biāo)軸平行的主要邊界只能建立兩個(gè)等式，而且與邊界平行的應(yīng)力分量不會(huì)出現(xiàn)。如在左、右側(cè)面，不要加入 或。2、在大邊界上必須精確滿足應(yīng)力邊界條件，當(dāng)在小邊界（次要邊界）上無法精確滿足時(shí)，可以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似滿足，使問題的求解大為簡化。應(yīng)力合成的主矢（主矩）符號(hào)的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判斷，二者方向一致時(shí)去正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。4/352-8試列出題2-8圖（a），題2-8圖（b）所示問題的全部邊界條件。在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。解：圖（a） 圖（b）1、對(duì)于圖（a）的問題在主要邊界 上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：在小邊界（次要邊界） 上，能精確滿足下列邊界條件：在小邊界（次要邊界） 上，有位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚 時(shí)，5/352、對(duì)于圖（b）所示問題在主要邊界 上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：在次要邊界 上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件， 當(dāng)板厚 時(shí)，在小邊界（次要邊界） 上，有位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，6/352-17設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載 F,如題2-17所示，體力可以不計(jì)。根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力 σx和切應(yīng)力τxy的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力 σy=0，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程， 再說明，這些表達(dá)式是否就表示正確的解答。解：1、矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的玩具方程為 ，橫截面對(duì) z軸(中性軸)的慣性矩為 ，根據(jù)材料力學(xué)公式，彎應(yīng)力；該截面上的剪力為 ,剪應(yīng)力；并取擠壓應(yīng)力 。7/352、經(jīng)驗(yàn)證，上述表達(dá)式能滿足平衡微分方衡也能滿足相容方程再考察邊界條件：在 的主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件：能滿足。在次要邊界 上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：滿足應(yīng)力邊界條件。8/35在次要邊界 上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：滿足應(yīng)力條件。因此，它們是該問題的正確解答。例3-1如圖所示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)求簡支梁的應(yīng)力分量（體力不計(jì)）。9/35解：1、相容條件：代入應(yīng)力函數(shù)，得：由此得于是應(yīng)力函數(shù)可改寫為2、應(yīng)力分量表達(dá)式3、考察邊界條件：確定應(yīng)力分量中的各系數(shù)10/35聯(lián)立求解以上各式，得再根據(jù)簡支梁的端面條件確定常數(shù) D,F。由圣維南原理得可得 再帶入式（f）得4、應(yīng)力分量表達(dá)式11/35例3-2圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩形，其寬度取為1，右端固定、左端自由，荷載分布在自右端上，其合力為P（不計(jì)體力），求梁的應(yīng)力分量。解：這是一個(gè)平面應(yīng)力問題，采用半逆解法求解。（1）選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知，懸臂梁任一截面上的彎矩方程M（x）與截面位置坐標(biāo)x成正比，而該截面上某點(diǎn)處的正應(yīng)力又與該點(diǎn)的坐標(biāo)y成正比，因此可設(shè)(a)式中 的為待定常數(shù)。將式（a）對(duì)y積分兩次，得(b)式中的 ， 為x的待定函數(shù)，可由相容方程確定。將式（ b）代入相容方程，得上式是y的一次方程，梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿足它，可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須為零，即，積分上二式，得12/35式中 為待定的積分常數(shù)。將 ， 代入式（b），得應(yīng)力函數(shù)為.(c)應(yīng)力分量的表達(dá)式考察應(yīng)力邊界條件：以確定各系數(shù)，自由端無水平力；上、下部無荷載；自由端的剪力之和為P，得邊界條件自然滿足；,得 ;上式對(duì)x的任何值均應(yīng)滿足，因此得 ， ，即，得X取任何值均應(yīng)滿足，因此得 .將式（e）代入上式積分，得13/35計(jì)算得 ,其中 ,橫截面對(duì)Z軸的慣性矩。最后得應(yīng)力分量為3-3試考察應(yīng)力函數(shù) 能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量(不計(jì)體力),畫出題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布(在次要邊界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。解 （1）相容條件：將代入相容方程 ,顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式(3)邊界條件：在 主要邊界上，應(yīng)精確定滿足應(yīng)力邊界條件14/35在次要邊界 x=o,x=l 上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件(a)(b)(c)對(duì)于如圖所示矩形板和坐標(biāo)系， 當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，由應(yīng)力邊界條件式（a）、(c)可知上邊、下邊無面力；而左邊界上受有鉛直力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶，和鉛直面力。所以，能解決懸臂在自由端受集中力作用的問題。3-6如題3-6圖所示的墻，高度為 h,寬度為b,h>>b,在兩側(cè)上受到均布剪力 q的作用，試用函數(shù) 求解應(yīng)力分量。xob/2 b/2q hq(h>>b)題3-6圖15/35解：（1）相容條件將應(yīng)力函數(shù) 代入相容方程 ，其中， ， 。很顯然滿足相容方程。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式(3)考察邊界條件，在主要邊界 上，各有兩個(gè)應(yīng)精確滿足的邊界條件，即在次要邊界y=0上， 而的條件不可能精確滿足（否則只有A=B=0），可用積分的應(yīng)力邊界條件代替.把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得應(yīng)力分量為3-7設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用， 體力可以不計(jì)，l>>h如題3-7圖所示，試用應(yīng)力函數(shù) 求解應(yīng)力分量。16/35MFsFsh/2Oxh/2ly(l>>h,解（1）相容條件將代入相容方程，顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式(3) 考察邊界條件，在主要邊界 上，各有兩個(gè)應(yīng)精確滿足的邊界條件得 (a)在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替。注意x=0是負(fù)x面，由此得(b)由式（a）(b)解出17/35最后一個(gè)次要邊界條件（x=l上）,在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得3-9設(shè)題3-9圖中的簡支梁只受重力作用，而梁的密度為 ，試用教材§3-4中的應(yīng)力函數(shù)(e)求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖。qqlohxqll ly解（1）應(yīng)力函數(shù)為應(yīng)力分量的表達(dá)式18/35這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能夠選擇適當(dāng)?shù)某?shù)A,B,，K,使所有的邊界條件都滿足，則應(yīng)力分量式（b）,(c),(d)就是正確的解答。（3）考慮對(duì)稱性。因?yàn)閥z面是梁和荷載的對(duì)稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對(duì)稱于yz面。這樣是 是x的偶函數(shù)，而 是x的奇函數(shù)，于是由式（b）和（d）可見（4）考察邊界條件：在主要邊界 上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件將應(yīng)力分量式（c）和（d）代入，并注意到前面已有 ，可見這些邊界條件要求聯(lián)立求解得到將以上已確定的常數(shù)代入式（ b）,式（c）和（d），得19/35考慮左右兩邊的次要邊界條件。由于問題的對(duì)稱性，只需考慮其中的一邊，例如右邊。梁的右邊沒有水平面力，x=l 時(shí)，不論 y 取任何值，都有 。由式（f）可見，這是不可能滿足的，除非 是均為零。因此，用多項(xiàng)式求解，只能要求 在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，也就是要求將式（f）代入式（i）,得積分以后得將式（f）代入式（j），得積分以后得將K，H的值代入式（f）,得另一方面，梁右邊的切應(yīng)力應(yīng)當(dāng)合成為反力20/35積分以后，可見這一條件是滿足的。將式（g）,(h),(k) 略加整理，得應(yīng)力分量的最后解答注意梁截面的寬度取為一個(gè)單位，可見慣性矩是 ，靜矩是。根據(jù)材料力學(xué)應(yīng)用截面法求橫截面的內(nèi)力，可求得梁任意截面上的彎矩方程和剪力方程分別為 。式（l）可以寫成3-10如題3-10圖所示的懸臂梁，長度為 l，高度為h,l>>h,在上邊界受均布荷載q，試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù) 能否成為此問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量。21/35解 （1）相容條件將 代 入 相 容 方 程 ， 得，若滿足相容方程，有應(yīng)力分量表達(dá)式(3)考察邊界條件;主要邊界 上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件22/35在次要邊界上x=0上，主矢和主矩為零，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替(e)聯(lián)立求解式（a）,(b),(c),(d) 和（e），得將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得3-12為什么在主要邊界（占邊界絕大部分）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件，教材中式（2-15），而在次要邊界（占邊界很小部分）上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替教材中式（2-15），將會(huì)發(fā)生什么問題？解：彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要邊界條件完全得到滿足，往往遇到很大的困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)力邊界條件來代替精確的邊界條件。教材中式（2-15），就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問題的解答具有的近似性。23/353-15 試分析簡支梁受均布荷載時(shí)，平面截面假設(shè)是否成立？解：彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差別，是由于各自解法不同。簡言之，彈性力學(xué)的解法，是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，幾何方程和物理方程，以及邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答是比較精確的。而在材料力學(xué)中沒有嚴(yán)格考慮上述條件，因而得出的是近似解答。例如，材料力學(xué)中引用了平面假設(shè)而簡化了幾何關(guān)系，但這個(gè)假設(shè)對(duì)一般的梁是近似的。所以，嚴(yán)格來說，不成立。例4-2如圖所示楔形體右側(cè)面受均布荷載 q作用，試求應(yīng)力分量?！窘狻浚?）楔形體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于 q、ρ、 ， 其中q的量綱為NL-2，與應(yīng)力的量綱相同。因此，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能取 Kq的形式，而K是以 ， 表示的無量綱函數(shù)，亦即應(yīng)力表達(dá)式中不能出現(xiàn)ρ，再由22知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)是的函數(shù)乘以2，可設(shè)2f()（a）將式（a）代入雙調(diào)和方程211220，222得1d4f()4d2f()0，2d4d24/35d4f()4d2f()=0，d4d上式的通解為f()Acos2Bsin2CD，將上式代入式（a），得應(yīng)力函數(shù)為2(Acos2Bsin2CD)。（b）(2)應(yīng)力表達(dá)式為1122(Acos2Bsin2CD)，222(c)22(Acos2Bsin2CD)，1122Asin22Bcos2C。2(3)應(yīng)力邊界條件( ) 0( )( ) 0( )

q ，得2（A+D）=－q; (d)0,得Acos2 +Bsin2 +C +D=0, (e)0,得－2B－C=0, (f)0,2Asin2 －2Bcos2 －Ｃ=0。 (g)聯(lián)立求解式(d)－(g)，得各系數(shù)qtan，Bq，A)4(tan4(tan)Cq，Dq(tan2)。2(tan)4(tan)將系數(shù)代入(c)，得應(yīng)力分量25/35qtan(1cos2)(2sin2)，2(tan)qtan(1cos2)(2sin2)q，（h）2(tan)(1cos2)tansin22(tan)q。分析：應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式（a）中不出現(xiàn) ，這是因?yàn)閒( )中包含了 角（在應(yīng)用應(yīng)力邊界條件時(shí)， 處( ) 0，( ) 0中體現(xiàn)）。4-3在軸對(duì)稱位移問題中，試導(dǎo)出按位移求解的基本方程，并證明AB,u0可以滿足此基本方程?！窘狻浚?）設(shè)uu（），u代入幾何方程，教材中式（4-2）得0，形變分量u u， ， 0 （a）將式（a）代入物理方程，教材中式（ 4-3）得用位移表示的應(yīng)力分量Euu1u2(u),Euu（b）1u2(u),0將式（b）代入平衡微分方程，教材中式（4-1），在軸對(duì)稱問題中，平衡方程為26/3510,（c）1 20式（c）中的第二式自然滿足，第一式為d2u1duu0（d）d2d2上式即為求u的基本方程。B,u0將代入式（），很顯然滿足方程。d4-7 實(shí)心圓盤在 r的周界上受有均布?jí)毫?q的作用，試導(dǎo)出其解答?！窘狻繉?shí)心圓盤是軸對(duì)稱的，可引用軸對(duì)稱應(yīng)力解答，教材中式4-11），即AB(12ln)2C,2AB(32ln)2C,（a）2首先，在圓盤的周界（r）上，有邊界條件()rq，由此得AB(12lnr)2Cq，（b）r2其次，在圓盤的圓心，當(dāng)0時(shí)式（a）中,的第一、第二項(xiàng)均趨于無限大，這是不可能的。按照有限值條件（即，除了應(yīng)力集中點(diǎn)以外，彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。 ），當(dāng) 0時(shí)，必須有 A=B=0。27/35把上述條件代入（b）式中，得Cq2所以，得應(yīng)力的解答為q, 04-9半平面體表面上受有均布水平力q，試用應(yīng)力函數(shù)解應(yīng)力分量，如題 4-9圖所示。【解】(1)相容條件：

2(Bsin2 C)求將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程40，顯然滿足。(2)由求應(yīng)力分量表達(dá)式2Bsin22C,2Bsin22C,2Bcos2C（3）考慮邊界條件：注意本題有兩個(gè)面，即，分別為面，2在 面上，應(yīng)力符號(hào)以正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎Ｒ虼?，? 0,得C 0qq,得B2 2將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得qsin2,qsin2,qcos228/354-12楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力 q,如題4-12圖所示，試求其應(yīng)力分量?！窘狻浚?）應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力函數(shù) 得應(yīng)力分量

2(Acos2 Bsin2 C D)，進(jìn)行求解。21 12 2 2(Acos2 Bsin2 C D),22 2(Acos2 Bsin2 C D),(1 ) 2Asin2 2Bcos2 C（2）考察邊界條件：根據(jù)對(duì)稱性，得0; （a）2q; (b)20; (c)229/352q(d)同式（a）得2Acos2BsinC2D0;(e)同式（b）得2Asin2BcosCq;(f)同式（c）得2Acos2BsinC2D0;(g)同式（d）得2Asin2BcosCq;(h)式(e)、(f)、(g)、(h)聯(lián)立求解，得Aq,BC0,Dqcot2sin2將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量，得qcos2cot,sinqcos2cot,sinqsin2sin4-14設(shè)有一剛體，具有半徑為R的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置外半徑為R而內(nèi)半徑為r的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力為q，試求圓筒的應(yīng)力。【解】本題為軸對(duì)稱問題，故環(huán)向位移 u 0，另外還要考慮位移的單值條件。（1）應(yīng)力分量引用軸對(duì)稱應(yīng)力解答，教材中式（4-11），取圓筒解答中的系數(shù)為A，B，C，剛體解答中的系數(shù)為A＇，B＇，C＇由多連體中的位移單值條件，有B=0，（a）B＇=0(b)現(xiàn)在，取圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為A2C,A（c）222C剛體的應(yīng)力表達(dá)式'A'2C','A'2C'22(d)考慮邊界條件和接觸條件來求解常數(shù) A,A＇,C,C＇和相應(yīng)的位移解答。首先，在圓筒的內(nèi)面，有邊界條件()rq，由此得ACq（e）r22其次，在遠(yuǎn)離圓孔處，應(yīng)當(dāng)幾乎沒有應(yīng)力，于是有30/35( ' ) 0,( ') 0，由此得2C＇=0 （f）再次，圓筒和剛體的接觸面上，應(yīng)當(dāng)有'R R于是有式（c）及式(d)得A2CA'2C'R2R2（g）平面應(yīng)變問題的位移分量應(yīng)用教材中式（4-12）的第一式，稍加簡化可以寫出圓筒和剛體的徑向位移表達(dá)式u 1 u2(12u)C A Icos Ksin ， （h）Eu' 0 （i）剛體的徑向位移為零，在接觸面上，圓筒與剛體的位移相同且都為零，即uRu'R0將式（h）和式（i）代入，得1uAIcosKsin02(12u)CRRE方程在接觸面上的任意點(diǎn)都成立， 取任何值都成立，方程兩邊的自由項(xiàng)必須相等。于是得1 u 2(1 2u)CR A 0E R簡化并利用式（f），得A2(12u)R2C（j）(3)圓筒的應(yīng)力把式（j）代入式（e），得(12u)qr2R2qr2A12uR2r2,C212uR2r2圓筒的應(yīng)力為31/3512u112u1