一個(gè)數(shù)能用兩種不同的方式表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方和的充分必要條件_第1頁(yè)
一個(gè)數(shù)能用兩種不同的方式表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方和的充分必要條件_第2頁(yè)
一個(gè)數(shù)能用兩種不同的方式表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方和的充分必要條件_第3頁(yè)
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PAGEPAGE1一個(gè)數(shù)能用兩種不同的方式表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方和的充分必要條件我們發(fā)現(xiàn)，有些數(shù)能夠用兩種不同的方式表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方和，例如：，，，，，，，，。這樣的數(shù)有什么特點(diǎn)？一個(gè)數(shù)能用兩種不同的方式表示成兩個(gè)正整數(shù)平方和的充分必要條件是什么？定理（其中都是正整數(shù)，，）的充分必要條件是（其中都是正整數(shù)，，，，）。證先證明充分性。設(shè)有（其中都是正整數(shù)，，，，）。。令，，，。則有。因?yàn)?，，所以，。因?yàn)?，，所以，，所以。因?yàn)椋?，，所以；因?yàn)?，，，所以；所以。再證明必要性。設(shè)有（其中都是正整數(shù)，，）。首先，不可能發(fā)生都是偶數(shù)而都是奇數(shù)，或都是奇數(shù)而都是偶數(shù)的情況（因?yàn)閮蓚€(gè)偶數(shù)平方和是4的倍數(shù)，而兩個(gè)奇數(shù)平方和不是4的倍數(shù)），所以，在中至少有一個(gè)與奇偶相同，不妨設(shè)就是。于是有，。因?yàn)槠媾枷嗤媾枷嗤?，所以都是偶?shù)。不妨設(shè)（如果，只要將互換位置就可以了），這時(shí)，，，都是正整數(shù)。從可以看出，必有正整數(shù)，使得，，，。這時(shí)有，。。假如，則有，即有，與已知矛盾，所以。假如，則有，即有，與已知

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