概率分布以及期望和方差

概率分布以及期望和方差上課時間:上課教師：上課重點:掌握兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布的概率分布及其期望和方差上課規(guī)劃：解題技巧和方法一兩點分布知識內(nèi)容知識內(nèi)容⑴兩點分布如果隨機變量的分布列為其中，，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的二點分布．二點分布舉例：*次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，產(chǎn)品的合格率為，隨機變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點分布．兩點分布又稱分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫做伯努利試驗，所以這種分布又稱為伯努利分布．〔2〕典型分布的期望與方差：二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為，在次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為．典例分析典例分析1、在拋擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中，令，如果針尖向上的概率為，試寫出隨機變量的概率分布．2、從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一只球，用表示“取到的白球個數(shù)〞，即，求隨機變量的概率分布．3、假設(shè)隨機變量的概率分布如下：01試求出，并寫出的分布列．3、拋擲一顆骰子兩次，定義隨機變量試寫出隨機變量的分布列．4、籃球運發(fā)動比賽投籃，命中得分，不中得分，運發(fā)動甲投籃命中率的概率為．⑴記投籃次得分，求方差的最大值；⑵當(dāng)⑴中取最大值時，甲投次籃，求所得總分的分布列及的期望與方差．二超幾何分布知識內(nèi)容知識內(nèi)容將離散型隨機變量所有可能的取值與該取值對應(yīng)的概率列表表示：…………一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機變量，它取值為時的概率為，為和中較小的一個．我們稱離散型隨機變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時的概率，從而列出的分布列．超幾何分布的期望和方差：假設(shè)離散型隨機變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則，．典例分析典例分析例題：一盒子裝有個乒乓球，其中個舊的，個新的，從中任意取個，則取到新球的個數(shù)的期望值是．練習(xí)1.*人參加一次英語口語考試，在備選的道試題中，能答對其中的題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出題進展測試，每題分數(shù)為20分，求他得分的期望值．練習(xí)2.以隨機方式自5男3女的小群體中選出5人組成一個委員會，求該委員會中女性委員人數(shù)的概率分布、期望值與方差．練習(xí)3.在個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進展檢驗，每次任取一個，并且取出不再放回，假設(shè)以和分別表示取出次品和正品的個數(shù)．求的期望值及方差．三二項分布知識內(nèi)容知識內(nèi)容假設(shè)將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，則在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列…………由于表中的第二行恰好是二項展開式各對應(yīng)項的值，所以稱這樣的散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作．二項分布的均值與方差：假設(shè)離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則，．二項分布：假設(shè)離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則，．典例分析典例分析二項分布的概率計算例題：隨機變量服從二項分布，，則等于．練習(xí)1.甲乙兩人進展圍棋比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽完畢，假定甲每局比賽獲勝的概率均為，則甲以的比分獲勝的概率為〔〕B．C．D．練習(xí)2.*籃球運發(fā)動在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率．〔用數(shù)值表示〕練習(xí)3.*人參加一次考試，道題中解對道則為及格，他的解題正確率為，則他能及格的概率為_________〔保存到小數(shù)點后兩位小數(shù)〕接種*疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反響的概率為，現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反響的概率為．〔準確到〕例題:從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到兩次次品的概率〔結(jié)果保存位有效數(shù)字〕．練習(xí)1.一臺型號的自動機床在一小時不需要人照看的概為，有四臺這種型號的自動機床各自獨立工作，則在一小時至多有臺機床需要工人照看的概率是〔〕A．B．C．D．練習(xí)2.設(shè)在4次獨立重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的概率一樣，假設(shè)事件至少發(fā)生一次的概率等于，求事件在一次試驗中發(fā)生的概率．例題：*公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請兩位專家，獨立地對每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進展評審．假設(shè)評審結(jié)果為“支持〞或“不支持〞的概率都是．假設(shè)*人獲得兩個“支持〞，則給予萬元的創(chuàng)業(yè)資助；假設(shè)只獲得一個“支持〞，則給予萬元的資助；假設(shè)未獲得“支持〞，則不予資助．求：⑴該公司的資助總額為零的概率；⑵該公司的資助總額超過萬元的概率．練習(xí)1.*商場經(jīng)銷*商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購置．根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用一次性付款的概率是，經(jīng)銷一件該商品，假設(shè)顧客采用一次性付款，商場獲得利潤元；假設(shè)顧客采用分期付款，商場獲得利潤元．⑴求位購置該商品的顧客中至少有位采用一次性付款的概率；⑵求位位顧客每人購置件該商品，商場獲得利潤不超過元的概率．練習(xí)2.*萬國家具城進展促銷活動，促銷方案是：顧客每消費元，便可獲得獎券一，每獎券中獎的概率為，假設(shè)中獎，則家具城返還顧客現(xiàn)金元．*顧客消費了元，得到3獎券．⑴求家具城恰好返還該顧客現(xiàn)金元的概率；⑵求家具城至少返還該顧客現(xiàn)金元的概率．例題：設(shè)飛機有兩個發(fā)動機，飛機有四個發(fā)動機，如有半數(shù)或半數(shù)以上的發(fā)動機沒有故障，就能夠平安飛行，現(xiàn)設(shè)各個發(fā)動機發(fā)生故障的概率是的函數(shù)，其中為發(fā)動機啟動后所經(jīng)歷的時間，為正的常數(shù)，試討論飛機與飛機哪一個平安？〔這里不考慮其它故障〕．練習(xí)1.假設(shè)飛機的每一臺發(fā)動機在飛行中的故障率都是，且各發(fā)動機互不影響．如果至少的發(fā)動機能正常運行，飛機就可以順利地飛行．問對于多大的而言，四發(fā)動機飛機比二發(fā)動機飛機更平安？練習(xí)2.一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是．⑴設(shè)為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列；⑵設(shè)為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列；⑶求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率．二項分布的期望與方差例題:，求與．練習(xí)1.，，，則與的值分別為〔〕A．和B．和C．和D．和練習(xí)2.隨機變量服從參數(shù)為的二項分布，則它的期望，方差．練習(xí)3.隨機變量服從二項分布，且，，則二項分布的參數(shù)，的值分別為，．練習(xí)4.一盒子裝有個乒乓球，其中個舊的，個新的，每次取一球，取后放回，取次，則取到新球的個數(shù)的期望值是．例題：甲、乙、丙人投籃，投進的概率分別是．⑴現(xiàn)3人各投籃1次，求3人都沒有投進的概率；⑵用表示乙投籃3次的進球數(shù)，求隨機變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望．練習(xí)1.拋擲兩個骰子，當(dāng)至少有一個點或點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功．⑴求一次試驗中成功的概率；⑵求在次試驗中成功次數(shù)的分布列及的數(shù)學(xué)期望與方差．練習(xí)2.*尋呼臺共有客戶人，假設(shè)尋呼臺準備了份小禮品，邀請客戶在指定時間來領(lǐng)?。僭O(shè)任一客戶去領(lǐng)獎的概率為．問：尋呼臺能否向每一位顧客都發(fā)出獎邀請？假設(shè)能使每一位領(lǐng)獎人都得到禮品，尋呼臺至少應(yīng)準備多少禮品？四正態(tài)分布知識內(nèi)容知識內(nèi)容概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時，直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線．曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機變量落在指定的兩個數(shù)之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積．2．正態(tài)分布⑴定義：如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布近似服從正態(tài)分布．服從正態(tài)分布的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量．正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為，，其中，是參數(shù)，且，．式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準差．期望為、標(biāo)準差為的正態(tài)分布通常記作．正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線．⑵標(biāo)準正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準正態(tài)分布．①正態(tài)變量在區(qū)間，，，取值的概率分別是，，．②正態(tài)變量在的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準差之，這就是正態(tài)分布的原則．假設(shè)，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，，稱為標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)．．標(biāo)準正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準正態(tài)分布表查得．典例分析典例分析〔一〕正態(tài)曲線〔正態(tài)隨機變量的概率密度曲線〕1.以下函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是〔〕A．B．C．D．2.假設(shè)正態(tài)分布密度函數(shù)，以下判斷正確的選項是〔〕A．有最大值，也有最小值B．有最大值，但沒最小值C．有最大值，但沒最大值D．無最大值和最小值3.對于標(biāo)準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，以下說法不正確的選項是〔〕A．為偶函數(shù)B．最大值為C．在時是單調(diào)減函數(shù)，在時是單調(diào)增函數(shù)D．關(guān)于對稱4.設(shè)的概率密度函數(shù)為，則以下結(jié)論錯誤的選項是〔〕A．B．C．的漸近線是D．〔二)求的取值以及概率例題：設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達式為：，．⑴求；⑵求及的值．練習(xí)1.*市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則以下命題中不正確的選項是〔〕A．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)榉諦．分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在分以下的人數(shù)一樣C．分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在分以下的人數(shù)一樣D．該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準差為〔三〕正態(tài)分布的性質(zhì)及概率計算例題:設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，，則以下結(jié)論正確的個數(shù)是．⑴⑵⑶⑷練習(xí)1.隨機變量服從正態(tài)分布，則〔〕A． B． C． D．練習(xí)2.在*項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，假設(shè)在取值的概率為，則在取值的概率為．練習(xí)3.隨機變量服從正態(tài)分布，，則A．B．C．D．練習(xí)4.，假設(shè)，則〔〕A．B．C．D．無法計算加強訓(xùn)練：1設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，假設(shè)，則．2設(shè)，且，則的值是〔用表示〕．3正態(tài)變量，為常數(shù)，，假設(shè)，求的值．4*種零件的尺寸服從正態(tài)分布，則不屬于區(qū)間這個尺寸圍的零件約占總數(shù)的．〔四〕正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望及方差例題:如果隨機變量，求的值．(五〕正態(tài)分布的原則例題:燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈壽命〔單位：〕，，要使燈泡的平均壽命為的概率為，則燈泡的最低使用壽命應(yīng)控制在小時以上．練習(xí)1.一批電池〔一節(jié)〕用于手電筒的壽命服從均值為小時、標(biāo)準差為小時的正態(tài)分布，隨機從這批電池中任意取一節(jié)，問這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于小時的概率是多少？練習(xí)2.*班有名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，平均分為，標(biāo)準差為，理論上說在分到分的人數(shù)是．雜題〔拓展相關(guān)：概率密度，分布函數(shù)及其他〕練習(xí)3.以表示標(biāo)準正態(tài)總體在區(qū)間取值的概率，假設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，則概率等于〔〕A． B．C． D．練習(xí)4.甲、乙兩人參加一次英語口語考試，在備選的10道題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進展測試，至少答對2題才算合格．⑴求甲答對試題數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差；⑵求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．課后練習(xí)一個袋子里裝有大小一樣的個紅球和個黃球，從中同時取出個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是_________．〔用數(shù)字作答〕A．B．C．D．3、*效勞部門有個效勞對象，每個效勞對象是否需要效勞是獨立的，假設(shè)每個效勞對象一天中需要效勞的可能性是，則該部門一天中平均需要效勞的對象個數(shù)是〔〕A． B． C．D．A、B．C．D．5、一個袋中有假設(shè)干個大小一樣的黑球、白球和紅球．從袋中任意摸出個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個球，至少得到個白球的概率是．⑴假設(shè)袋中共有個球，從袋中任意摸出個球，求得到白球的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望；⑵求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于．并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少．5.*廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中的任意連續(xù)取出2件，求次品數(shù)的概率分布列及至少有一件次品的概率．*單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：⑴至少有1株成活的概率；⑵兩種大樹各成活1株的概率．6.一個口袋中裝有個紅球〔且〕和個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球顏色不同則為中獎．⑴試用表示一次摸獎中獎的概率；⑵假設(shè)，求三次摸獎〔每次摸獎后放回〕恰有一次中獎的概率；⑶記三次摸獎〔每次摸獎后放回〕恰有一次中獎的概率為．當(dāng)取多少時，最大？7.袋子和中裝有假設(shè)干個均勻的紅球和白球，從中摸出一個紅球的概率是，從中摸出一個紅球的概率為．⑴從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停頓．①求恰好摸5次停頓的概率；②記5次之〔含5次〕摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布．⑵假設(shè)兩個袋子中的球數(shù)之比為，將中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求的值．8、一個質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲次，正面向上恰為次的可能性不為，而且與正面向上恰為次的概率一樣．令既約分數(shù)為硬幣在次拋擲中有次正面向上的概率，求．9、*氣象站天氣預(yù)報的準確率為，計算〔結(jié)果保存到小數(shù)點后面第2位〕⑴5次預(yù)報中恰有次準確的概率；⑵次預(yù)報中至少有次準確的概率；⑶5次預(yù)報中恰有次準確，且其中第次預(yù)報準確的概率；10、*大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第層可以?？浚僭O(shè)該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，求至少有兩位乘客在20層下的概率．11、10個球中有一個紅球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第次才取得次紅球的概率．12、甲投籃的命中率是，乙投籃的命中率是，兩人每次投籃都不受影響，求投籃3次甲勝乙的概率．〔保存兩位有效數(shù)字〕13、假設(shè)甲、乙投籃的命中率都是，求投籃次甲勝乙的概率．〔〕14、省工商局于*年3月份，對全省流通領(lǐng)域的飲料進展了質(zhì)量監(jiān)視抽查，結(jié)果顯示，*種剛進入市場的飲料的合格率為，現(xiàn)有甲，乙，丙人聚會，選用瓶飲料，并限定每人喝瓶，求：⑴甲喝瓶合格的飲料的概率；⑵甲，乙，丙人中只有人喝瓶不合格的飲料的概率〔準確到〕．15、在一次考試中出了六道是非題，正確的記“√〞號，不正確的記“×〞號．假設(shè)*考生隨手記上六個符號，試求：⑴全部是正確的概率；⑵正確解答不少于4道的概率；⑶至少答對道題的概率．17、*大學(xué)的校乒乓球隊與數(shù)學(xué)系乒乓球隊舉行對抗賽，校隊的實力比系隊強，當(dāng)一個校隊隊員與系隊隊員比賽時，校隊隊員獲勝的概率為．現(xiàn)在校、系雙方商量對抗賽的方式，提出了三種方案：⑴雙方各出人；⑵雙方各出人；⑶雙方各出人．三種方案中場次比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利．問：對系隊來說，哪一種方案最有利？18、*地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓(xùn)，以提高低崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，參加過財會培訓(xùn)的有，參加過計算機培訓(xùn)的有，假設(shè)每個人對培訓(xùn)工程的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．⑴任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；⑵任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布和期望．19、設(shè)進入*商場的每一位顧客購置甲種商品的概率為，購置乙種商品的概率為，且購置甲種商品與購置乙種商品相互獨立，各顧客之間購置商品也是相互獨立的．記表示進入商場的3位顧客中至少購置甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布及期望．20、*班級有人，設(shè)一年天中，恰有班上的〔〕個人過生日的天數(shù)為，求的期望值以及至少有兩人過生日的天數(shù)的期望值．21、購置*種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，假設(shè)投保人在購置保險的一年度出險，則可以獲得元的賠償金．假定在一年度有人購置了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．保險公司在一年度至少支付賠償金元的概率為．⑴求一投保人在一年度出險的概率；⑵設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的本錢為元，為保證盈利的期望不小于，求每位投保人應(yīng)交納的最低保