高中微積分課堂教學策略及設計

高中微積分課堂教學策略及設計探究莊河第三高級中學劉洪全指導教師曹錫軍我們來分析高中數學課堂中，組織微積分教學應遵循的一些原則和策略，根據學生學習微積分可能出現的困難，探索一些可行的突破方案一．組織微積分教學應采取的策略（1）不斷加強變量概念的教學，樹立以變量為思維對象的數學觀由于學生在長期的數學學習中接觸的均為常量，即使在高中階段系統學習函數、自變量，并研究了一些基本函數的性質和圖象，但其思維和認識方式仍然比較習慣于常量，常量數學在頭腦中已根深蒂固。所以在組織教學時，需加強變量概念的教學，讓學生逐步熟悉和適應變量，并能思考變化過程。當然，這就需要我們在教學中要特別注意將變量及其變化講解清楚。（2）要以直觀描述為主，鼓勵“合情推理”和“合情猜想”其實這也是筆者認為的微積分在中學教學中較為合理的定位。對此部分的教學應當以直觀性的描述為主，以掌握方法、計算為主，對理論上的嚴謹性不宜要求過高，更無須嚴格的證明。涉及的一些概念和結論，既要使學生正確地理解和掌握，也要適可而止。例如，極限中最基本的一個結論，學生通過作圖很容易從孤立點的變化趨勢得到此結論。學生此時“合情推理”并得到的“合情猜想”，在高中階段的學習便已經足夠了，無須用數學分析的方法加以論證。當然，如果學生確有興趣和余力，可引入“”定義并用此論證。（3）防止微積分教學退化成僅讓學生記住一些公式和結論考慮到高中生的實際水平，不需要在理論上過分要求嚴格。但無論是用直觀圖形引入還是給予一定的推理，都應讓學生主動的參與，引導學生觀察和發(fā)現圖形的“變化趨勢”或親自動手進行推導，這樣才有利于培養(yǎng)學生的“變量思維”，感受微積分的內涵和與初等數學的差異。否則，如果為了“體貼”學生或純粹的“應試心理”，微積分教學變成了讓學生在不理解的狀況下死記一些公式和結論，那么在高中教授微積分就失去了意義和價值，學生的能力也不會提高。（4）處理好微積分與初等數學的關系在學習導數和定積分的應用時，學生會發(fā)現微積分是一個較初等數學厲害的工具，能比較容易地解決用初等數學方法十分繁瑣和困難的問題，而教師也可能會在解題的演示中傳達這樣的訊息。一方面，學生可以掌握更為簡便的方法，并產生對微積分的興趣；但另一方面，也可能對他們的學習心態(tài)及思考能力帶來負面的影響。如果學生過分依賴微積分，則可能失掉許多觀察與思考的機會，懶于從多種途徑考慮問題，更不可能產生奇思妙解，反而不利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力。所以教師應有意識地引導學生在思考解決某些問題，如判斷函數在給定區(qū)間的單調性和極值，除了微積分也能適當用初等數學的方法去入手。二．微積分教學設計的一些構思

在本小節(jié)中我們將探索一些為突破微積分教學中的難點而具體設計的方案。（1）極限的難點在于數列極限的概念。為了讓學生更好地理解和掌握這一概念，應加強直觀性，從分析一些基本的數列入手。如分析數列的極限，并充分利用數軸和表格來進行定性分析和定量分析，把“無限增大”和“無限趨進”給予確切的描述。而重點中學的實驗班或數學提高班的課堂上，則可以引入“”的定義，加深對極限概念的理解。（2），有一點大部分人都曾經歷過：當時并不清楚為什么要學習微積分，直到學習快要結束進入微積分的應用時，才有所感悟。筆者在學習“數學分析”時也有同感。實際上，微積分正是在一些數學問題用初等數學長期無法解決的情況下才產生的。所以，如果在正式教學前就先將這些問題展示給學生，讓學生帶著問題來學習，則不僅很自然地過渡到微積分的學習，而且能讓學生理解學習微積分的必要性，產生興趣，并為“導數的應用”和“定積分的應用”埋下伏筆。對此，可以如下設計：在進入導數的教學之前，先引領學生對“初等數學的內容，方法及其意義是什么”這個大問題作出反省、思考及整理，以此為基礎，提出如下問題：我們已有的工具能夠處理所有的問題嗎？哪些問題還無法解決呢？然后引出下列題材：①較復雜的非典型幾何圖形（幾何體）的面積（與體積）的計算釋②砌暮過曲線上一容點切線的一云般求法別③浸劃函數圖形的六描繪拐④誰俱近似的估計博然后帶著問贊題進入到微摘積分的學習城。泳（3）復合豐函數是高一隙學生學習的街難點盾，征所以預計復忌合函數的導岸數也將是學衡生容易出錯野的地方，關譽鍵是有一些魄學生不會合吸理地引入中環(huán)間變量，函竟數的復合過貢程中各個環(huán)傘節(jié)分別是什抄么樣的函數綢關系沒有搞脊清楚。對此抗，筆者認為膀應先讓學生扣多做一些分嘴解函數復合寇過程的練習蟲，然后按照第復合過程逐炕步計算出復淹合函數的導合數。待分步惡動作熟練之螞后再省略中貴間過程。他陡三．教學設偶計中對人教壺版教材的改鉤進跨換通過對比閱墾讀人教版教俯材和上海市容中學普遍使壯用的華東師聲大版“一期帆課改”教材蕩（參見[7搖]），筆者透認為：使用奏人教版教材運講授微積分敲的開篇部分登——引入變嶄化率和導數博，可以在原撕教材的基礎俯上加以改進冬。赤兩種教材都往是利用物體刮作自由落體臺運動這個模糾型，通過求帥某一時刻請的“速度”爪得到的。但隊人教版對于湊“時間越疫小時，用其主平均速度近芒似表示的豪‘速度’就剖越精確”這杰一關鍵的結市論的推導，斧是通過化解安怕再利用極限標思想。而華隸東師大版教閃材的處理方姿法，則是先英不要轉化，盯而將分別災取某些值，隊求得平均速讓度，然后丙將數據列成殖表格。通過稅數據的比較嬌，學生首先?？梢郧宄攸S看出物體在尊各段時間的假平均速度是敬不同的，并亞直觀地感受錢到“趨于瘡0時，平均符速度趨于滾的速度”。娘這種直觀的光方式能幫助歷學生構建此碌結論，也符梁合大綱要求謠教學盡量直射觀形象的原誼則。所以在風實際教學時聞，有必要采探用這種“實算驗”的方式超（表格中g攪表示重力加憶速度）。嫌(秒)但(米)侄-4(秒)羅(米)遙=（米/壩秒）色4.1解8.405掠g袋0.1駝0.405替g兇4.05g其4.01討8.040就05g霧0.01持0.040升05g親4.005膊g耳4.001戒8.004棍0005g雞0.001潮0.004擦0005g常4.000后5g跡4.000狀1繭8.000博40000耳5g紛0.000位1我0.004沸00005松g孩4.000究05g偽…葵…濱…趴…忘…五、結束語寧

如伶何進行微積思分教學在高捆中數學是一射個全新的課梯題，相對于途對代數和幾胡何等經典內棉容已經臻于將完善的教學黨研究，微積伯分的教學研唯究還不成熟厭，處于摸索志的階段。但舊也正因為如翠此，探討微茄積分的教學型才更有價值吼和意義。本繩論文也就是慮在這樣的背閘景下，在閱壯讀了一些前辮輩關于微積濫分教學看法巨的文章和書樓籍后，根據援自己的理解秀寫成的。在待此，也對這低些老師表示破感謝。

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1．極限羅與導數（2幟0課時）息

數列嶺的極限。爬

函數的嶼極限。極限衣的四則運算蔬。霉

導數丹的概念。多廉項式函數的直導數。遲

導數柄的應用：變準化率。利用受導數研究函紫數的單調性悅和極值。函于數的最大值巡和最小值。汗

微積嫌分建立的時騎代背景和歷島史意義。艙

教學養(yǎng)目標噴（1）熄從數列和函南數的變化趨晶勢理解數列貞極限和函數每極限的概念正。疑（2）敵掌握極限的欣四則運算法虹則，并會求堂某些數列與辰有理函數的巨極限。棒（3）賢理解導數概紡念及其幾何灣意義；掌握危函數的導齊數公式；會辟求多項式函疫數的導數。辰（4）騰會用導數求召變化率；理垃解極大值、鳥極小值、最亦大值、最小裳值的概念，暈并會用導數付求多項式函勾數的單調區(qū)棕間、極大值碌、極小值及菌閉區(qū)間上的例最大值和最隨小值?？颍?）牧通過函數極辜限與導數的送教學，了解藝微積分建立與的時代背景玩和歷史意義踢，進行客觀綢事物的相互色制約、相互休轉化、對立召統一的辯證持關系等觀點渾的教育。選修Ⅱ叔1．極限（廊12課時）儉

數學燦歸納法。數狂學歸納法應擾用舉例。漢

數列提的極限。席

函數察的極限。極淋限的四則運剛算。函數的樣連續(xù)性。層

教學棒目標癢（1）剖理解數學歸調納法的原理頌，能用數學牌歸納法證明沃一些簡單的庫數學命題。培（2）巴從數列和函喂數的變化趨飛勢理解數列莊極限和函數丟極限的概念假。江（3）習掌握極限的偏四則運算法免則；會求某但些數列與函裙數的極限。箭（4）攝了解連續(xù)的駛意義，借助點幾何直觀理備解閉區(qū)間上闊連續(xù)函數有文最大值和最舅小值的性質痛。多

2．芒導數與微分楊（16課時怪）爽

導數年的概念。導累數的幾何意族義。幾種常領見函數的導義數。票

兩個余函數的和、用差、積、商引的導數。復脆合函數的導干數?；緦д瘮倒?。添

微分衫的概念與運唱算。是

利用轎導數研究函借數的單調性投和極值。函是數的最大值騰和最小值。楊

教學狗目標絲（1）晝了解導數概穴念的某些實靠際背景（如介瞬時速度，途加速度，光腹滑曲線切線熊的斜率等）著；掌握函數婚在一點處的錫導數的定義運和導數的幾如何意義；理束解導函數的穗概念。義（2）翠熟記基本導本數公式（記（為有理門數）,的婚導數）；掌械握兩個函數駱和、差、積蝶、商的求導善法則和復合奸函數的求導州法則，會求歸某些簡單函夫數的導數。扛（3）貓理解微分的儉概念，了解榨函數在一點停處的微分是盾函數增量的茅線性近似值宮，會求某些荷簡單函數的狹微分。城（4）室會從幾何直陜觀了解可導言函數的單調絞性與其導數角的關系；了泡解可導函數恒在某點取得階極值的必要賢條件和充分刺條件（導數脊在極值點兩柳側異號）；讀會求一些實丙際問題（一佩般指單峰函剛數）的最大揀值和最小值霧。基搜3．積分（孫14課時）航

定積追分的概念。今定積分的簡舍單性質。微膜積分基本公喇式。取

原函打數與不定積轉分的概念。聞不定積分的她線性性質。善基本積分公蚊式。嬌

平面叢圖形的面積射。旋轉體的江體積。路程鎖問題。變力獅作功。傲

微積配分學建立的夠時代背景和是歷史意義。肌

教學薪目標貝（1）湖了解定積分華概念的某些木實際背景（蹲如變速直線抖運動的路程音，曲邊梯形衣的面積等）斬；了解定積活分的定義和孔定積分的幾貨何意義；知補道函數連續(xù)芹是定積分存搜在的充分條鄰件。層（2）資理解定積分壟的簡單性質酷（線性性質殲和對區(qū)間的覽可加性）；勾了解微積分翠基本公式（碼牛頓-萊布安尼茲公式）通，會用它來肉求一些函數狠的定積分。論（3）橋掌握原函數辮與不定積分帆的概念，第掌握不定積策分的線性性厚質；熟記猾基本積分公活式（（憑為有理數）擺,的積分極）；會利用歇線性性質和泡基本積分公加式求較簡單麥的函數的不靠定積分。痛（4）葵會用定積分畢求一些平面玻圖形的面積赤、旋轉體的幫體積、變速銜直線運動的敲路程、變力桌所作的功。貌（5）回通過微積分格初步的教學訊，了解微積環(huán)分學產生的投時代背景和氏歷史意義，解進行客觀事銅物相互制約相、相互轉化計、對立統一彈的辯證關系償等觀點的教拌育。

的附錄二壞、2003坡年高考數學衡考試說明對家于“微積分衡”的要求文史類導數考試內容賞導數的背景拿。簽導數的概念刊。者多項式函數乏的導數。顛利用導數研喜究函數的單淋調性和極值槐。函數的最酷大值和最小怪值?？荚囈蠹蓿?）了解分導數概念的愛實際背景。虹（2）理解值導數的幾何夸意義。膀（3）掌握誰函數的導需數公式。會驚求多項式函垂數的導數。洞（4）理解她極大值、極爐小值、最大貌值、最小值記的概念，并還會用導數求欺多項式函數漸的單調區(qū)間才、極大值、擠極小值及閉賄區(qū)間上的最昨大值和最小娛值?？停?）會利胃用導數求最州大值和最小蹄值的方法，譯解決科技、奪經濟、社會川中的某些簡睛單實際問題流。理工農醫(yī)類極限考試內容井數學歸納法汁。數學歸納蝶法應用舉例灰。俗數列的極限僅。遍榆函數的極限囑。極限的四枯則運算。函咸數的連續(xù)性鎮(zhèn)?？荚囈笊?）理解各數學歸納法波的原理，能暗用數學歸納城法證明一些泳簡單的數學脅命題。殼（2）了解爪數列極限和家函數極限的律概念。杜（3）掌握臨極限的四則漁運算法則。品會求某些數憑列與函數的粥極限。煩（4）了解枕函數連續(xù)的再意義，理解茫閉區(qū)間上連響續(xù)函數有最趣大值和最小茫值的性質。導數率導數的概念減。導數的幾濱何意義。幾澡種常見函數賣的導數。歪兩個函數的返和、差、積冤、商的導數時。復合函數增的導數?；员緦倒綒q。薄利用導數研犯究函數的單蜓調性和極值舅。函數的最伯大值和最小匪值?？荚囈笫恚?）了解滾導數概念的間某些實際背扯景（如瞬時懸速度、加速喚度、光滑曲島線切線的斜挽率等），掌獅握函數在一堪點處的導數果的定義和導免數的幾何意駕義。理解導澆函數的概念紫。（2）熟術記基本導數估公式（（泥為有理數畏）,的導狹數）。掌握千兩個函數和脫、差、積、車商的求導法詞則。了解復岸合函數的求料導法則，會每求某些簡單康函數的導數他。鋸體（3）了解塔可導函數的封單調性與其欄導數的關系錄。了解可導蛇函數在某點經取得極值的舉必要條件和杯充分條件（叫導數在極值聚點兩側異號足）。會求一郵些實際問題咽（一般指單念峰函數）的蟲最大值和最素小值。狐附錄三千教學案例函數因教學要求察：理解集合涂、函數概念樹，包括反函獎數、復合函使數、初等函壽數的概念，清了解函數的煉四種特性。相掌握基本初象等函數及基期本圖形。教學要點：一、集合朽二、函數的之概念赴三、函數的屠幾種特性及四、反函數膊，復合函數儀，基本初等凱函數蛾五、初等函脾數叢教學時數拼：4學時。需復習思考題館：猛1.擬建一歇個容積為V島的長方體水站池，設它的借底為正方形議，如果池底吳所用材料單耳位面積的造觸價是四周面馳積造價的2拼倍，試將總憤造價表示成游底邊長的函臺數并確定此丘函數的定義心域。狗2.京設組,榮,扇則荷，該。龍3.飛習題一。極限與連續(xù)喪教學要求襲：掌握極限己的定義和極弦限的有關性瓜質，掌握極灰限存在的夾流逼準則和單革調有界數列婆收斂準則，直并能熟練運饒用極限運算工法則求數列考和函數的極嫩限。了解無科窮小與無究牌大的定義及徐其性質，掌刻握無究小的悶運算法則。帆掌握函數連番續(xù)性概念以遇及邊續(xù)函數幟的代數性質辛，了解函數慈的間斷點及頑其類型，了躁解閉區(qū)間上抬連續(xù)函數的娘分析性質。教學要點：趴一、函數的俗極限華1.數列極騎限的定義、外函數極限的屆定義攔2.無窮小戒量與無窮大母量稿3.極限的嚴四則運算地4.極限存街在的準則，街兩個重要極漁限茂5.無窮小唇量的比較秘二、函數的善連續(xù)革1.連續(xù)的濾概念挨2.函數的靈間斷點招3.連續(xù)函掏數的四則運剛算陷4.初等函報數的連續(xù)性眨教學時數啞：10學時蓄。請復習思考題役：頂1、求：查。蒙2、求：陵。3.求：。想4.習題二改。導數與微分靠教學要求摩：掌握函數友的導數與微獵分的概念，茶了解導數及順微分的幾何岸意義和物理電意義，掌握梢函數的連續(xù)逮性，可導性肆與可微性之轉間的關系。拴熟練掌握導熄數的計算法貫則，包括函怖數的和、差免、積、商、煌與反函數，媽復合函數，遙隱函數及由蛙參數方程所鬧確定函數的較求導法則，繩并熟記基本祖初等函數與爛常見的初等胳函數的導數鼻的表達式。索了解高階導險數的定義和摟高階導數的晶運算法則。癢包括高階導依數的萊布尼浮茨公式。教學要點：笛一、函數的閣導數頓1.函數導盲數的概念，犯函數可導的黨充要條件，鑄導數的幾何侵意義崇2.函數的武連續(xù)性與可光導性的關系匪3.函數的樓積、差、積賴商的求導法跟則膏4.反函數做的導數，復姐合函數的求像