二次曲線的代數(shù)定義

關(guān)于二次曲線的代數(shù)定義第1頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月二、二次曲線的幾何結(jié)構(gòu)§4.1二次曲線的射影定義

定理4.1不同心的兩個射影線束的對應(yīng)直線交點(diǎn)的全體構(gòu)成一條經(jīng)過此二線束束心的二階曲線.即：O(p)O'(p')若A+B?A'+'B'：則的方程為第2頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.1二次曲線的射影定義

注：由本定理,一旦二階曲線由兩個射影線束生成,則其上點(diǎn)的地位平等,任意取定上相異二點(diǎn)為束心與上的點(diǎn)連線則得到兩個也生成此的射影線束.

定理4.2設(shè)二階曲線由射影線束O(P)與O'(P)生成.則在上任意取定相異二點(diǎn)A,B,與上的動點(diǎn)M連線可得兩個射影線束二、二次曲線的幾何結(jié)構(gòu)

161電影網(wǎng)整理發(fā)布第3頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月二、二次曲線的幾何結(jié)構(gòu)§4.1二次曲線的射影定義

定理4.2設(shè)二階曲線由射影線束O(P)與O'(P)生成.則在上任意取定相異二點(diǎn)A,B,與上的動點(diǎn)M連線可得兩個射影線束

證明.設(shè)由O(P)O'(P)生成.設(shè)只要證設(shè)分別以AM,BM截,得注意到從而對應(yīng)點(diǎn)的連線共點(diǎn),即AA',BB',KK'共點(diǎn)于S.但是為定點(diǎn),故當(dāng)M變動時,KK'經(jīng)過定點(diǎn)S.即第4頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月二、二次曲線的幾何結(jié)構(gòu)§4.1二次曲線的射影定義

定理4.2設(shè)二階曲線由射影線束O(P)與O'(P')生成.則在上任意取定相異二點(diǎn)A,B,與上的動點(diǎn)M連線可得兩個射影線束

推論4.1平面上五點(diǎn)(其中無三點(diǎn)共線)唯一確定一條非退化二階曲線.

推論4.1'平面上五直線(其中無三線共點(diǎn))唯一確定一條非退化二級曲線.

推論4.2任一二階曲線可由兩個射影線束生成.

推論4.2'任一二級曲線可由兩個射影點(diǎn)列生成.

推論4.3二階曲線上四個定點(diǎn)與其上任意一點(diǎn)連線所得四直線的交比為定值.

推論4.3'二級曲線上四條定直線被其上任意一條直線所截得四點(diǎn)的交比為定值.

注：推論4.3對于解析幾何中的各種二次曲線都適用.第5頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.1二次曲線的射影定義三、二次曲線的射影定義由上述的兩個定理及其推論,我們有

定義4.3在射影平面上,稱兩個射影線束對應(yīng)直線交點(diǎn)的集合為一條二階曲線.

定義4.3'在射影平面上,稱兩個射影點(diǎn)列對應(yīng)點(diǎn)連線的集合為一條二級曲線.

思考：試研究本定義是如何包含退化二次曲線的.提示：考慮透視對應(yīng)、射影變換的情況.注請自學(xué)教材例4.2,并與§2.3(P.67)習(xí)題6,7比較.第6頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.1二次曲線的射影定義四、二階曲線的切線本部分總假定：所論二次曲線為非退化的.1.定義

定義4.4與二階曲線交于兩個重合的點(diǎn)的直線稱為的切線.第7頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.1二次曲線的射影定義四、二階曲線的切線2、切線的方程問題：已知二階曲線求過定點(diǎn)P(pi)的的切線方程.設(shè)Q(qi)為平面上任一點(diǎn).則直線PQ上任一點(diǎn)可表為xi=pi+qi.

PQ為的切線Q為的過P的切線上的點(diǎn)PQ交于兩個重合的點(diǎn)將xi=pi+qi代入：S=0后只有一個解.代入得即即第8頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.1二次曲線的射影定義四、二階曲線的切線2、切線的方程為簡便計,引入記號以上述記號代入，(2)式可寫為第9頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.1二次曲線的射影定義四、二階曲線的切線2、切線的方程從而,Q(qi)在過P(pi)的切線上(3)對有二重根=0(4)式即為Q(qi)是過P(pi)的切線上的點(diǎn)的充要條件.習(xí)慣地,將其中的流動坐標(biāo)qi換為xi,得到二階曲線過點(diǎn)P(pi)的切線方程為(5)式為一個二次方程,故經(jīng)過平面上一點(diǎn)P一般有兩條切線.如果P在上,則Spp=0,從而,二階曲線上一點(diǎn)P處的切線方程為第10頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.1二次曲線的射影定義四、二階曲線的切線2、切線的方程注：教材P.104,(4.10)－(4.12)關(guān)于Sp=0常用的等價寫法中在S中,將xj(ji)視為常數(shù),對xi求導(dǎo)數(shù),稱為S對xi的偏導(dǎo)數(shù).S對xi的偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)P(p1,p2,p3)處的取值,即把P的坐標(biāo)代