二元函數(shù)的連續(xù)性

關于二元函數(shù)的連續(xù)性第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月一二元函數(shù)的連續(xù)性概念

１連續(xù)性的定義

定義設為定義在上的二元函數(shù)，（為的一個聚點或孤立點），，總存在，使得當時，都有則稱關于在點連續(xù).若任給正數(shù)在不致誤解的情況下，也稱在點連續(xù).第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)若在上任何點都關于集合連續(xù)，則稱為若為的一個聚點，則關于在點連續(xù)等價于

有定義的孤立點必為連續(xù)點.上的連續(xù)函數(shù).記為f

C(D).第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月若為的一個聚點，但不成立，則稱為的不連續(xù)點(或稱存在但不等于時,

是的可去間斷點.間斷點).特別當?shù)?頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例如函數(shù)在點處連續(xù).第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月在點沿方向連續(xù)，其中這是由于所以函數(shù)在點沿方向是連續(xù)的.

為固定實數(shù).第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月每一點都間斷.2函數(shù)的增量、全增量、偏增量設則稱

為函數(shù)在點的全增量.第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月如果在全增量中取或則相應的函數(shù)的增量稱為偏增量.記作

一般來說，函數(shù)的全增量并不等于相應的兩個偏增量之和.

第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月和一元函數(shù)一樣，可用增量形式來描述連續(xù)性，時，函數(shù)關于在點連續(xù).

3用增量定義函數(shù)的連續(xù)性即當?shù)?頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月若一個偏增量的極限為零，例如它表示在的兩個自變量中，當固定時，作為的一元函數(shù)在連續(xù).，則表示作為的一元函數(shù)在連續(xù).

同理，若第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月容易證明：當在其定義域的內點連續(xù)時，在和在都連續(xù).但反過來，二元函數(shù)對單個自變量都連續(xù)并不能保證該函數(shù)的連續(xù)性.

例如函數(shù)

在點處顯然不連續(xù).

第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月但由于,因此在點處對和對分別都連續(xù).

4一般區(qū)域上連續(xù)函數(shù)性質

（1）若在點連續(xù)，并且則存在點的鄰域，當時,有第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）兩個連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（若分母不為零）都是連續(xù)函數(shù)

.（3）（復合函數(shù)的連續(xù)性）

第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月定理16.7設是中的開集，函數(shù)和在點連續(xù).又設函數(shù)在平面上點的某鄰域內有定義，并在連續(xù),其中.則復合函數(shù)在點也連續(xù).第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域．第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求極限

解是多元初等函數(shù)。定義域：于是，（不連通）在定義區(qū)域內的連續(xù)點求極限可用“代入法”：第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月定義在區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片沒有"空洞",沒有"裂縫"的連續(xù)曲面.這里條件"D是一區(qū)域"是必要的.若D不是區(qū)域,z=f(X)可能不是通常意義下的連續(xù)曲面.二元連續(xù)函數(shù)的幾何意義第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例.設D={(x,y)|x,y

均為有理數(shù)}R2.z=f(x,y)是定義在D上的,在D上恒等于1,在別的點上無定義的函數(shù),即f(x,y)=1,當(x,y)D時,無定義,當(x,y)D時.

如圖xyzo1可知,(x0,y0)D,但曲面z=f(x,y)不是通常意義下的連續(xù)曲面.第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月二有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質定理16.8(有界性與最大、最小值定理)在有界閉區(qū)域上連續(xù),則在上有界,且能取得最大值與最小值.

(1)有界性與最值性.若函數(shù)第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月若函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù),則在

即對任何,總存在只依賴于的正數(shù),使得對一切點，只要就有

(2)一致連續(xù)性定理16.9(一致連續(xù)性定理)上一致連續(xù).第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月在有界閉區(qū)域上連續(xù),若和為內任意兩點，且則對任何滿足不等式的實數(shù)，必存在點，使得.

16.10定理(介值性定理)設函數(shù)（3）介值性與零點定理

第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月在有界閉區(qū)域上連續(xù),若和為內任意兩點，且必存在點，使得.

（零點定理）設函數(shù)第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月P.105習題66.若在某一區(qū)域內對變量為連續(xù)，對變量滿足李普希茲條件，即對任何有其中為常數(shù)，則此函數(shù)在內連續(xù)。第24頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月證明因為對變量連續(xù)，所以使得當取當