江西省宜春市高三模擬考試數(shù)學（文）試題

2022屆江西省宜春市高三模擬考試數(shù)學（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A．R B． C． D．【答案】D【分析】求函數(shù)定義域化簡集合A，解不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】由得，則，由解得，即，所以.故選：D2．若復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法求出，即可得到，寫出對應點所在象限即可.【詳解】,,,所以復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于第二象限，故選：B3．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則公差為（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】B【分析】由前n項和及等差中項的性質(zhì)可得求得，進而求公差即可.【詳解】由，則，∴公差.故選：B.4．已知，q：方程有兩個不相等的實數(shù)根，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出方程有兩個不相等的實數(shù)根的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】方程有兩個不相等的實數(shù)根，當且僅當，解得或，顯然，，，所以p是q的充分不必要條件.故選：A5．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，再利用函數(shù)性質(zhì)求解不等式作答.【詳解】函數(shù)定義域為R，，則函數(shù)是奇函數(shù)，是R上增函數(shù)，，于是得，解得或，所以所求不等式的解集是.故選：C的正方形，使中間留下一個正方形洞.已知，，在正方形內(nèi)隨機取一點，則該點恰好取自陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用面積型幾何概型直接計算作答.【詳解】依題意，正方形的面積，陰影部分的面積，所以該點恰好取自陰影部分的概率為.故選：B7．如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點O，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法法則結(jié)合向量線性運算求解作答.【詳解】在平行四邊形中，，所以.故選：C，，，則輸出的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)循環(huán)框圖依次計算即可.【詳解】當時，，，，，，，，，，，，，，，，，循環(huán)結(jié)束，，故選：D.9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定函數(shù)圖象求出，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式，求解作答.【詳解】觀察圖象知，，即，而，解得，因此，，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A10．在三棱錐中，，分別是的中點，若，則異面直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點，連接，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得出和，從而可知異面直線所成角為或其補角，再在中利用余弦定理求出，從而得出異面直線所成角的余弦值.【詳解】解：如圖，取的中點，連接，因為是的中點，是的中點，所以，同理，所以異面直線所成角為或其補角，在中，，即異面直線所成角的余弦值為.故選：C.11．如圖，某建筑物是數(shù)學與建筑的完美結(jié)合.該建筑物外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為3，離心率為2，則該雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用點到直線距離公式及離心率公式求出a，b即可作答.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，設(shè)雙曲線下焦點為，則有，依題意，，離心率，解得，所以該雙曲線的標準方程為.故選：D12．已知實數(shù)x，y，，且滿足，，則x，y，z大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，可得，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性比較大小即得.【詳解】因，，則，即，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即，從而當時，，令，，在上單調(diào)遞減，則由，得，所以.故選：A【點睛】思路點睛：涉及不同變量結(jié)構(gòu)相似的式子相等，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性求解作答.二、填空題13．設(shè)x，y滿足約束條，則的最大值為___________.【答案】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義求出最大值即可計算作答.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影區(qū)域，其中點，目標函數(shù)，即表示斜率為-2，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當直線經(jīng)過點A時，直線的縱截距最大，z最大，即，所以的最大值為.故答案為：14．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則___________.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得，再利用對數(shù)的運算得解.【詳解】由已知得數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則，，所以，故答案為：.15．如圖，已知圓錐的高是底面半徑的2倍，側(cè)面積為，若正方形內(nèi)接于底面圓，則四棱錐的體積為______.【答案】【分析】設(shè)正方形的邊長為，通過已知可以求出圓錐底面的半徑、圓錐的高，利用勾股定理可以求出母線長，利用圓錐的側(cè)面積公式可以求出，利用棱錐的體積公式求出四棱錐的體積.【詳解】設(shè)正方形的邊長為，所以圓錐底面的半徑為，由題意可知圓錐的高，由勾股定理可知，已知圓錐側(cè)面積為，所以，四棱錐的體積為．【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式及四棱錐的體積公式，考查了運算能力.三、解答題16．某企業(yè)從領(lǐng)導干部?員工中按比例隨機抽取50人組成一個評審團，對A?B兩個員工作為后備干部的競聘演講及個人技術(shù)能力展示進行評分，滿分均為100分，整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以10為組距分為5組：，，，，，得到A員工的頻率分布直方圖和B員工的頻數(shù)分布表：(1)在評審團的50人中，求對A員工的評分不低于80分的人數(shù)；(2)從對B員工的評分在范圍內(nèi)的人中隨機選出2人，求2人評分均在范圍內(nèi)的概率；(3)該企業(yè)決定：若評審團給員工評分的中位數(shù)大于82分，則推薦這名員工作為后備干部人選，請問評審團將推薦哪一位員工作為后備干部人選？【答案】(1)27人；(2)；(3)B員工.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出a即可列式計算作答.（2）由頻率分布表得評分在、內(nèi)的人數(shù)，再利用列舉法結(jié)合古典概率公式計算作答.（3）根據(jù)頻率分布直方圖及頻率分布表求出二位員工評分的中位數(shù)即可判斷作答.【詳解】(1)由A員工評分的頻率分布直方圖得：，所以對A員工的評分不低于80分的人數(shù)為：（人）.(2)對B員工的評分在內(nèi)有5人，將評分在內(nèi)的2人記為C，D，評分在內(nèi)的3人記為E，F(xiàn)，G，從5人中任選2人的情況有：CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，F(xiàn)G，共10種，它們等可能，2人評分均在范圍內(nèi)的有：EF，EG，F(xiàn)G，共3種，所以2人評分均在范圍內(nèi)的概率.(3)由A員工評分的頻率分布直方圖得：，，則A員工評分的中位數(shù)，有，解得，由B員工的頻數(shù)分布表得：，，則B員工評分的中位數(shù)，有，解得，所以評審團將推薦B員工作為后備干部人選.17．如圖，四邊形是一個半圓柱的軸截面，E，F(xiàn)分別是弧，上的一點，，點H為線段的中點，且，，點G為線段上一動點.(1)試確定點G的位置，使平面，并給予證明；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)點G為線段CE中點，證明見解析；(2).【分析】（1）點G為線段CE中點，取CF中點M，證明，再利用線面平行的判定推理作答.（2）根據(jù)給定條件，證得平面，再結(jié)合等體積法即可求出三棱錐的體積作答.【詳解】(1)當點G為線段CE中點時，平面，取CF中點M，連接，如圖，則，，因E，F(xiàn)分別是弧，上的一點，，則是半圓柱的一條母線，即，而點H為線段的中點，于是得，即四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面，所以平面.(2)依題意，AB是半圓柱下底面半圓的直徑，則，而，有，顯然CD是半圓柱上底面半圓的直徑，則，由（1）知是半圓柱的一條母線，則平面，而平面，即有，，平面，因此，平面，而，即四邊形是平行四邊形，，又點H為線段的中點，則，所以三棱錐的體積.18．請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.①②③已知的內(nèi)角的對應邊分別為.___________.（1）求A；（2）設(shè)AD是的內(nèi)角平分線，邊的長度是方程的兩根，求線段AD的長度.【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）.【分析】（1）選擇條件①，用正弦定理，整理化簡得：，可求出角A；選擇條件②，用余弦定理得，可求出角A；選擇條件③，利用兩角和的正切公式求得，，可求出角A；（2）利用,把面積表示出來，可求線段AD的長度.【詳解】（1）選擇條件①，因為，由正弦定理得：，即，在△ABC中，，所以，即，因為A為△ABC內(nèi)角，所以.選擇條件②，，由余弦定理得：，整理得：，所以，因為A為△ABC內(nèi)角，所以.選擇條件③，，因為，即所以所以，因為A、B、C為為△ABC內(nèi)角，所以所以，所以.（2）因為邊的長度是方程的兩根，所以因為,所以即,所以所以線段AD的長度為.【點睛】（1）在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：①從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇；②從式子結(jié)構(gòu)來選擇．（2）“結(jié)構(gòu)不良問題”是2020年高考出現(xiàn)的新題型：題目所給的三個可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個條件，都可解答題目，而且，在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴謹、過程規(guī)范，都會得滿分.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(2)不等式對于恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)-1；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性求解作答.（2）將給定不等式分離參數(shù)并作等價變形，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值作答.【詳解】(1)，，，，在單調(diào)遞增，，即，當且僅當時取“=”，因此，函數(shù)在上的單調(diào)遞增，當時，，所以在區(qū)間上的最小值是-1.(2)，，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，其值域為R，令，則，當時，，當時，，則有函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，于是得，所以實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.20．已知點T是圓上的動點，點，線段的垂直平分線交線段于點S，記點S的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)過作曲線C的兩條弦，，這兩條弦的中點分別為P，Q，若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件可得，進而得出，由此確定軌跡形狀即可求解作答.（2）設(shè)出直線DE，MN方程，再與曲線C的方程聯(lián)立求出P，Q的坐標，列出面積的函數(shù)關(guān)系求出最大值作答.【詳解】(1)圓的圓心，半徑，依題意，，，即點S的軌跡是以B，A為左右焦點，長軸長為的橢圓，短半軸長，所以曲線C的方程為.(2)由知，，直線不垂直坐標軸，否則點P，Q之一與點B重合，不能構(gòu)成三角形，即直線DE的斜率存在且不為0，設(shè)直線DE方程為：，由消去y并整理得：，設(shè)，DE中點，則有，，，因此，，直線MN的斜率為，同理可得，面積，令，當且僅當時取“=”，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當時，，所以當，即時，，所以面積的最大值是.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.21．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標方程；(2)點P是曲線上的動點，過點P作直線與曲線有唯一公共點Q，求的最大值.【答案】(1)，(2)最大值為【分析】（1）消參可得曲線的普通方程，由直角坐標與極坐標的轉(zhuǎn)化公式可得曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)，利用三角函數(shù)求的最大值，即可得解.【詳解】(1)∵曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）由得，，∴曲線的普通方程為.∵曲線的極坐標方程為，，，