河南省洛陽(yáng)市高三第三次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆河南省洛陽(yáng)市高三第三次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知，其中是虛數(shù)單位，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)的形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，即，所以；故選：B2．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由集合的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】由題意，，．故選：A．3．若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】C【分析】由已知，根據(jù)函數(shù)的解析式，寫出的解析式，然后根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，借助，列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)即可求解參數(shù).【詳解】由已知，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，整理得：，所以.故選：C.4．已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由已知，可根據(jù)，求解出，，然后帶入，中，判定從而確定充分性；然后再根據(jù)，列式求解出的值，與條件對(duì)比，不滿足必要性，故可以完成解答.【詳解】由已知，，所以，，此時(shí)，，所以；若，由，可得：，所以或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．已知雙曲線的離心率，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的離心率，求得，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，因?yàn)殡p曲線的離心率，可得，可得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.6．2022年北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物愛(ài)好者的喜愛(ài)，“冰墩墩”和“雪容融”將中國(guó)文化符號(hào)和冰雪運(yùn)動(dòng)完美融合，承載了新時(shí)代中國(guó)的形象和夢(mèng)想.若某個(gè)吉祥物愛(ài)好者從裝有3個(gè)“冰墩墩”和3個(gè)“雪容融”的6個(gè)盲盒的袋子中任取2個(gè)盲盒，則恰好抽到1個(gè)“冰墩墩”和1個(gè)“雪容融”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列舉基本事件，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】記3個(gè)“冰墩墩”分別為a、b、c,3個(gè)“雪容融”分別為1、2、3；從6個(gè)盲盒的袋子中任取2個(gè)盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15種情況；其中恰好抽到1個(gè)“冰墩墩”和1個(gè)“雪容融”包含a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3共9種，所以概率為：.故選：C7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知該幾何體是直三棱柱將三棱錐切除后余下部分，作出草圖，結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)該幾何體的三視圖，可知該幾何體是如圖所示的直三棱柱將三棱錐切除后余下部分，即四棱錐；由三視圖中的數(shù)值可知，直三棱柱中，所以該幾何體的體積為.故選：B.8．首位數(shù)定理：在進(jìn)位制中，以數(shù)字為首位的數(shù)出現(xiàn)的概率為，幾乎所有日常生活中非人為規(guī)律的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都滿足這個(gè)定理.已知某銀行10000名儲(chǔ)戶的存款金額調(diào)查結(jié)果符合上述定理，則下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．存款金額的首位數(shù)字是1的概率約為B．存款金額的首位數(shù)字是5的概率約為9.7%C．存款金額的首位數(shù)字是6的概率小于首位數(shù)字是7的概率D．存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率約為9.7%【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及參考數(shù)據(jù)逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】因此存款金額用十進(jìn)制計(jì)算，故，對(duì)于A，存款金額的首位數(shù)字是1的概率為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，存款金額的首位數(shù)字是5的概率為，故不約為9.7%，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，存款金額的首位數(shù)字是6的概率為，存款金額的首位數(shù)字是7的概率為，因?yàn)?，故，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，存款金額的首位數(shù)字是8的概率為，存款金額的首位數(shù)字是9的概率為，故存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率為，故D正確.故選：D.9．若函數(shù)在上有且僅有6個(gè)極值點(diǎn)，則正整數(shù)的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】設(shè)，則，即在上有且僅有6個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得答案.【詳解】設(shè)，則當(dāng)時(shí)，由在上有且僅有6個(gè)極值點(diǎn)，則在上有且僅有6個(gè)極值點(diǎn).如圖由正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得解得，所以正整數(shù)的值為3故選：B10．若過(guò)點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，設(shè)出切點(diǎn)，然后寫出切線方程，把點(diǎn)P帶入切線方程中，然后對(duì)式子進(jìn)行整理，分別設(shè)出兩個(gè)函數(shù)，與，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后作圖，看兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況即可完成求解.【詳解】由已知，曲線，即令，則，設(shè)切點(diǎn)為，切線方程的斜率為，所以切線方程為：，將點(diǎn)代入方程得：，整理得，設(shè)函數(shù)，過(guò)點(diǎn)可作出曲線的三條切線，可知兩個(gè)函數(shù)圖像與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又因?yàn)椋?，可得或，所以函?shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為，如圖所示，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn).故選：C.11．已知點(diǎn)是橢圓：上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的平分線與直線交于點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】由題，結(jié)合角平分線性質(zhì)與橢圓的性質(zhì)，，為到的距離，又是的中位線，故，結(jié)合余弦定理，設(shè)，即可表示出，即可討論最值【詳解】由圖，，，故，，又平分，則到、的距離相等，設(shè)為，則設(shè)，則，，由是的中位線，易得，即，由橢圓性質(zhì)易知，存在點(diǎn)為橢圓上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，使，此時(shí)最大，且為2故選：B12．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，，求其單調(diào)性，從而判斷，，的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造，，，在時(shí)為減函數(shù)，且，所以在恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即.故選：D【點(diǎn)睛】對(duì)于指數(shù)式，對(duì)數(shù)式比較大小問(wèn)題，通常方法是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及中間值比較大小，稍復(fù)雜的可能需要構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行比較大小，要結(jié)合題目特征，構(gòu)造合適的函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，比較出大小.二、填空題13．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為___________.【答案】【分析】作出可行域，目標(biāo)式子，表示可行域內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率，數(shù)形結(jié)合計(jì)算可得；【詳解】解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下所示：其中表示可行域內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率，由，解得，即，由圖可知，即；故答案為：14．在的展開式中，只有第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是___________.（用數(shù)字作答）【答案】495【分析】先根據(jù)只有第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求出，進(jìn)而利用展開式的通項(xiàng)公式，求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題意得：，故展開式的通項(xiàng)公式，令，解得：，所以故答案為：49515．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】【分析】將正方形、鋪平在同一平面上，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，然后可得答案.【詳解】如圖，將正方形、鋪平在同一平面上，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，故答案為：16．已知點(diǎn)為的重心，且，若，則___________.【答案】【分析】連接，延長(zhǎng)交于，根據(jù)重心的性質(zhì)和題意可知，由余弦定理，在三角形可得，在三角形中可得，再根據(jù)，可知，再根據(jù)三角形內(nèi)角的關(guān)系和正弦定理可知，再結(jié)合余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，連接，延長(zhǎng)交于，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，故為中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，由重心的性質(zhì)得，，即,由余弦定理得，又，所以所以，又，所以則，.故答案為：.三、解答題17．影響消費(fèi)水平的原因是很多的，其中重要的一項(xiàng)是工資收入.下表是我國(guó)某地區(qū)2016年-2021年職工平均工資與城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)；年份201620172018201920202021職工平均工資城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平以表示職工平均工資，以表示城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平，繪制如下散點(diǎn)圖：(1)請(qǐng)寫出從散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)的與之間關(guān)系的一般規(guī)律，并求出線性回歸方程（精確到0.01）；(2)請(qǐng)預(yù)測(cè)2022年的職工平均工資至少多少萬(wàn)元時(shí)，城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平才不少于8.11萬(wàn)元？附：線性回歸方程，，，參考數(shù)據(jù)：，，【答案】(1)規(guī)律見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)分析即可，再求出，，，即可得到回歸直線方程；（2）由（1）中的回歸直線方程求出的取值范圍，即可得解；【詳解】(1)解：從散點(diǎn)圖看到，各點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域里，因此，職工平均工資與城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平之間成正相關(guān)，即職工平均工資越高，城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平越高；又，，，，所求線性回歸方程為；(2)解：當(dāng)時(shí)，即，解得，所以估計(jì)年的職工平均工資至少達(dá)到萬(wàn)元；18．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足且.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)，可求出的通項(xiàng)公式，由此可得，在根據(jù)遞推公式可得，在分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，利用分組求和結(jié)合等比數(shù)列前和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】(1)解：因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，即，又，所以或（舍去）當(dāng)時(shí)，，②所以①-②，，因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即，所以，當(dāng)時(shí)，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相除可得，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，,，(2)解：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以.19．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，，四邊形為矩形.(1)若點(diǎn)在上，且平面，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析.(2)【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí),取的中點(diǎn)，連接，可得四邊形為平行四邊形，從而從而可證明.(2)設(shè),連接，可得，從而證明，由,所以，所以為二面角的平面角，然后由余弦定理求解即可.【詳解】(1)當(dāng)點(diǎn)的位置為的中點(diǎn)時(shí)，平面.證明：取的中點(diǎn)，連接由分別為的中點(diǎn)，則，且，即又四邊形為矩形，則,且所以,且,故四邊形為平行四邊形.所以，又平面,平面所以平面(2)由為底面直徑，為底面圓周上一點(diǎn),則四邊形為矩形，則根據(jù)題意為圓錐的高，則平面，所以平面由平面，則,且所以平面，平面所以設(shè),連接由且為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以所以在圓錐中，,所以所以為二面角的平面角.,則,所以20．已知拋物線：，是上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，它到點(diǎn)距離的最小值為，直線與交于另一點(diǎn)，線段AD的垂直平分線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).(1)求的值；(2)若，證明A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，并求該圓的方程.【答案】(1)2；(2)證明見(jiàn)解析，.【分析】（1）設(shè)，則，然后利用二次函數(shù)的知識(shí)結(jié)合的最小值可得答案；（2）依次求出點(diǎn)的坐標(biāo)、的方程，然后算出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度，然后可證明和求出圓的方程.【詳解】(1)設(shè)，則，令，則，對(duì)于二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，其最小值為9，即的最小值為3，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，即所以，解得或（舍）所以(2)由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，所以，直線的方程為，由可得，解得或，所以，所以的中點(diǎn)為，所以直線的方程為，即，設(shè)，由可得，所以所以線段的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，圓心為，半徑為8，所以該圓的方程為.21．已知函數(shù)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在根據(jù)零點(diǎn)存在定理，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意可知當(dāng)時(shí)，，令，對(duì)求導(dǎo)可得，再，利用導(dǎo)數(shù)可知的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可知存在，使得，由此可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故可求出，再由，可知，可得，再根據(jù)可知的范圍，由此即可求出結(jié)果.【詳解】(1)解：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).理由如下:因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，在上遞增.所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，又時(shí)，；時(shí)，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).(2)(2)當(dāng)時(shí)，，即，令，所以，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，在(0，1]上單調(diào)遞增，且，所以存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴，又在上單調(diào)遞減，又，所以，所以整數(shù)的最大值是.22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，的軌跡為曲線.(1)求曲線的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，射線：與，分別交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).【答案】(1)，(2)【分析】（1）消去參數(shù)得到直線、的普通方程，聯(lián)立兩方程消去，即可得到的軌跡；（2）首先將的方程化為極坐標(biāo)方程，再將代入兩極坐標(biāo)方程即可求出，，即可得解；【詳解】(1)解：因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)得直線的普通方程為①，直線的參數(shù)