七年級數學家庭輔導-第二十四章-圖形的相似-華東師大版

第二十四章圖形的相似應知一、基本概念相似圖形：在數學上，我們把具有相同形狀的圖形稱為相似圖形。 兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形的放大或縮小而得到的。成比例線段： 對于四條線段a,b,c,d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段． 【注意】兩條線段的比與所采用的長度單位沒有關系，在計算時要注意統(tǒng)一單位；線段的比是一個沒有單位的正數；四條線段a,b,c,d成比例，記作或a:b=c:d；比例具有如下性質：若a:b=c:d(b.d≠0)，則有ad=bcb:a=d:c（a.c≠0）a:c=b:d;c:a=d:b(a+b):b=(c+d):da:(a+b)=c:(c+d)(a+b≠0,c+d≠0)6）(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d)(a+b≠0,c+d≠0)三角形的相似比：相似三角形對應邊的比值。如果，則k就是這兩個相似三角形的相似比。中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。三角形的重心：三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心。二、基本法則相似多邊形的性質：對應角相等，對應邊的比相等．相似三角形的性質：(1)相似三角形對應角相等，對應邊成比例。(2)相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比。(3)相似三角形周長的比等于相似比。(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方。(5)相似三角形內切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內切圓、外接圓面積比是相似比的平方。3.相似三角形的判定：(1)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。(2)如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,并且相應的夾角相等,那么這兩個三角形相似。(3)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。(4)對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形(定義)【注意】證明兩個三角形相似，應該把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上!4.相似直角三角形的判定：(1)斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。(2)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似?！咀⒁狻竣偃热切问窍嗨迫切蔚奶乩?k=1)。兩個全等的三角形一定相似。②兩個等邊三角形一定相似。③兩個等腰三角形，如果其中的任意一個頂角或底角相等，那么這兩個等腰三角形相似。5.中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半。6.重心定理：三角形重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的。應會證明圖形(重點是三角形)的相似。畫相似圖形。用坐標確定圖形頂點位置。例題1.如圖，下面右邊的四個圖形中，與左邊的圖形相似的是（）已知：一張地圖的比例尺是，量得北京到上海的圖上距離大約為3.5cm，求北京到上海的實際距離大約是多少km？3.AB兩地的實際距離為2500m，在一張平面圖上的距離是5cm，那么這張平面地圖的比例尺是多少？4.如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角的大小和EH的長度．5.在如圖所示的兩個四邊形中，試求出未知數，及角度的大小.在中國地圖上，連接上海，香港，臺灣三地構成一個三角形，用刻度尺測得他們之間的距離如圖所示，飛機從臺灣直飛上海的距離約為，那么飛機從臺灣繞到香港再到上海的飛行距離約為多少千米?7.⑴如圖，求線段的比:，，，. ⑵試找出圖中成比例的線段。8.已知線段是，，的第四比例項，其中，，，則()A．B．C．D．9.已知:如圖，梯形中，，，并將梯形分成兩個相似梯形和，若，.求.已知，求：(1)的值；(2)的值．11.如圖，平行四邊形中，是的中點，是上一點，，連EG延長交于，求的值.12.如圖，中，，，矩形的邊在線段上，、分別在、上，設為（1）寫出矩形PQED面積與的函數關系式；（2）連PE，當∥時，求矩形面積。13.將一張矩形紙沿長邊的中點對折，如果得到的兩個矩形都與原來的矩形相似，那么原來矩形的長寬比是多少？將這張紙繼續(xù)這樣折下去，得到的矩形都相似嗎？請證明。……參考答案1.C2.3.5×3200000000÷100000=1120(km)答：北京到上海的實際距離大約是1120km。3.2500×100÷5=50000答：這張平面地圖的比例尺是1:50000。解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH∴∠BAD=∠FEH=118°，∠α=BCD=83°，，∴∠β=360°－118°－78°－83°＝81°，EH=x=(cm)5.解：∵因為兩個四邊形相似，∴它們的對應邊成比例。即：，解得，.又∵兩個四邊形的對應角相等，∴，，.6.解：設從臺灣繞道香港到上海的實際距離為千米。由比例尺的性質知解得：x=3858答：從臺灣繞道香港到上海的實際距離為3858千米。7.解：（1），，，.（2）∵，，∴.∵，，.，∴.觀察與分析：觀察與分析：因為線段是，，的第四項，所以，即，解得。8.答案：B9.解：∵梯形AEFD和梯形相似，∴，∴，∴，∴10.解(1)，∴，∴=．(2)設，則，，．∴．觀察與分析：觀察與分析：延長FE、CB交于H后，不難看出△FAE≌△HBE，△FAG∽△HCG。從CG=5AG，可知CH=5BH，從而求得DF:FA=3。11.解：延長FE、CB交于H(如圖)∵AE=EB，∠FAE=∠HBE，∠FEA=∠HEB∴△FAE≌△HBE，AF=BH設FA=a，則HB=a在△FAG和△HCG中，∵三個對應角分別相等∴△FAG∽△HCG，，得CH=5FA=5a，DA=CB=CH－BH=4a，DF=3a∴.觀察與分析：觀察與分析：(1)作AH⊥BC，垂足為H，不難看出△BDP∽△BAH。(2)因為EP∥AB，所以△BDP∽△BAH。從相似三角形對應邊的比例關系中得出答案。12.解：(1)過作⊥，為垂足(如圖)，∵AB=AC=5，BH=BC=3，∴由勾股定理得：AH=4∵DP∥AH，∴△BDP∽△BAH，∴∵PQ=BC－2BP