數(shù)列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略

則區(qū)間［1,2005］內(nèi)所有企盼數(shù)的和=T(2n+1一2)=(22-2)+(23一2)+(24-則區(qū)間［1,2005］內(nèi)所有企盼數(shù)的和=T(2n+1一2)=(22-2)+(23一2)+(24-2)++(210-2)n=1+210）+2x9=22（29一'）-18=2056，?/M=20562一1評析：準(zhǔn)確理解企盼數(shù)的定義是求解關(guān)鍵。解題時應(yīng)將閱讀信息與所學(xué)知識結(jié)合起來，側(cè)重考查信息加工能力。二、例2、=(22+23+24+性質(zhì)探求型{a}(ngN*)Ina=<n［解：由a一an+3=—an+3=(n=1,2,3,4,5,6)(n>7且ngN*)N*)知an+6a2005=—a =a,從而知當(dāng)n>6時有a于是知na2005=a334x6+1=a1=1°評析：本題主要通過對數(shù)列形式的挖掘得出數(shù)列特有的性質(zhì)，從而達(dá)到化歸轉(zhuǎn)化解決問題的目的。其中性質(zhì)探求是關(guān)鍵。三、 知識關(guān)聯(lián)型x2v2例3、設(shè)F是橢圓—+土=1的右焦點，且橢圓上至少有21個不同7 6的點Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為 ^解析：由橢圓第二定義知蘭=en|PF|=e|PP/|，這些線段|PP/| ' ''ii ?—長度的最小值為右焦點到右頂點的距離即|FP1I=27—1，最大值為右焦點到左頂點的距離即IFP21I='，''7+1，故若公差d>0,則、；+1'i+(n—1)d,...n>〉1>g.0<d<110同理若公數(shù)列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略湖南黃愛民周向東高考創(chuàng)新題，向來是高考試題中最為亮麗的風(fēng)景線。這類問題著重考查觀察發(fā)現(xiàn)，類比轉(zhuǎn)化以及運用數(shù)學(xué)知識，分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力。當(dāng)然數(shù)列創(chuàng)新題是高考創(chuàng)新題重點考查的一種類型。下舉例談?wù)剶?shù)列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略。一、 創(chuàng)新定義型例1、 已知數(shù)列{a}(neN*)滿足：a=log(n+2)(ngN*)，定義TOC\o"1-5"\h\za-a-a-......a為整數(shù)的數(shù) k(kgN*)叫做企盼數(shù),則區(qū)間［1,2005］內(nèi)所有企盼數(shù)的和 M=解23k :?/a=log(n+2) (ngN*),/.aaa.a=l3-1 4.l(k+2)=l(k+2)n n+1 123 k 2 3 k+1 2要使log2(k+2)為正整數(shù)，可令1<2n+1―2<20051<n<9(ngN*)k(n)+2=2n+1,令1<2n+1―2<20051<n<9(ngN*)——<d<0差d<0,則可求得10 °評析：本題很好地將數(shù)列與橢圓的有關(guān)性質(zhì)結(jié)合在一起，形式新穎，內(nèi)容深遂，有一定的難度，可見命題設(shè)計者的良苦用心。解決的關(guān)鍵是確定該數(shù)列的最大項、最小項，然后根據(jù)數(shù)列的通項公求出公差的取值范圍。

四、 類比聯(lián)想型例4、 若數(shù)列{a}(neN*)是等差數(shù)列，貝0有數(shù)列b=。1+。2+。3+..卜。n'(nWN*)也是等差數(shù)列;類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列, ; ,nn{c}(neN*) 是等比數(shù)列，且c>0 ,則有數(shù)列d=,(neN*)也是等比數(shù)列。n解析：由已知“等差數(shù)列前n項的算術(shù)平均值是等差數(shù)列”可類比聯(lián)想“等比數(shù)列前n項的幾何平均值也應(yīng)該是等比數(shù)列”不難得到d=補c-c-c- c,(neN*)也是等比數(shù)列。評析：本題只須由已知條件的特征從形式和結(jié)構(gòu)上對比猜想不難挖掘問題的突破口。21-22-23-24-25-26第一個彎，在3轉(zhuǎn)第二個彎，在5轉(zhuǎn)第三個彎，....，則第2005個轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為 。|207—8-9-10解：觀察由1起每一個轉(zhuǎn)彎時遞增的數(shù)字可發(fā)現(xiàn)為“1,1,2,2,3,3,4,4,......”。故在第2005個轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為：1+2(1+2+3+......+1002)+1003=1006010。|19|6 1-2|11評析：本題求解的關(guān)鍵是對圖表轉(zhuǎn)彎處數(shù)字特征規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。具體解題時需要較強的觀察能力及快速探求規(guī)律的能力。因此，它在高考中具有較強的選拔功能。|18|| |5—4-3|12|六、 圖表信息型例6、下表給出一個“等差數(shù)陣”：17-16-15-14-13五、 規(guī)律發(fā)現(xiàn)型例5、將自然數(shù)不清，2,3,4排成數(shù)陳(如右圖)，在2處轉(zhuǎn)I2747()()() a1j 712()()() a 2j ()()()()() a3j ()()()()() a4j ai1ai2ai3ai4ai5 aij 其中每行、每列都是等差數(shù)列，.表示位于第i行第j列的數(shù)。(I)寫出a的值；(II)寫出a的計算公式；45 ij(III)證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。解：(I)a45=49(詳見第二問一般性結(jié)論)。(II)該等差數(shù)陣的第一行是首項為4,公差為3的等差數(shù)列：a「=4+3(j-1);第二行是首項為7,公差為5的等差數(shù)列：a2=7+5(j-1)，??…；第i行是首項為4+3(i-1),公差為 2i+1的等差數(shù)列，因此aj,=4+3(i-1)+(2i+1)(j-D=2ij+i+j=i(2j+1)+jj(III)必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i,j使得N=i(2j+1)+j，從而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1)。即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k,l，使得2N+1=(2k+1)(21+1),從而

N=k(21+1)+l=a可見N在該等差數(shù)陣中。綜上所述，正整數(shù)*在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。評析：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。求解關(guān)鍵是如何根據(jù)圖表信息求出行列式中對應(yīng)項的通項公式。七、 幾何計數(shù)型例7、如圖，第n個圖形由第n+2邊形“擴(kuò)展”而來的。記第n個圖形的頂點數(shù)為a(n=1,2,3, )，貝0a200；——。解：由圖易知a=12=3x4,a—20=4x5,a—30=5x6,a—42從而易知a=(n+2)(n+3)(n=1,2,3......)「.a—2007x2008—4030056評析：求解幾何計數(shù)問題通常采用“歸納一猜想—5正明”解題思路。本題也可直接求解。第n個圖形由第n+2邊形“擴(kuò)展”而來的，這個圖形共由n+3個n+2邊形組成邊形共有n+2個頂點，故a=(n+2)(n+3)(n=1,2,3......),「.a4、 “楊輝三角”型 2005例8、如圖是一個類似“楊輝三角”的圖形，第2007行共有n個數(shù)，且該行的第一個數(shù)和最后一個數(shù)都是n,中間任意一個數(shù)都等于第n-1行與之相鄰的兩個數(shù)的和，a,a, a (n=1,2,3,.....)分別表示第n行的第一個數(shù)，第二個數(shù)，.......第n個數(shù)。求a解a2,2(n>2且ne,2: ( 1=2,a=4,anx2008個圖形=4030056的頂而每個n+2點數(shù)為N)的通項式。)由圖易知=7,a-11, 從而知｛a122343771114114455｝是一階等差數(shù)列，即,2TOC\o"1-5"\h\za 一 a = 2 ( 1)a ' - a ' = 3......( 2)a - a - 4 ( 3)a*-a(.1)2—n-1.……(n-1)以上n-1個式相加即可得到：(n+1)(n-2) (n+1)(n-2)a-a—2+3+4++(n-1)— ^^a— +2rr n2-n+2 I即a= (n>2且neN)n，2 2評析：“楊輝三角”型數(shù)列創(chuàng)新題是近年高考創(chuàng)新題的熱點問題。求解這類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各行項與行列式的對應(yīng)關(guān)系，通常需轉(zhuǎn)化成一階(或二階)等差數(shù)列結(jié)合求和方法來求解。有興趣的同學(xué)不妨求出a(i,jeN*,i>j)的通項式。ij九、 閱讀理解型例9、電子計算機中使用二進(jìn)制，它與十進(jìn)制的換算關(guān)系如下表：十進(jìn)制123456 二進(jìn)制11011100101110 觀察二進(jìn)制1位數(shù)，2位數(shù)，3位數(shù)時，對應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)，當(dāng)二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù) 解：通過閱讀，不難發(fā)現(xiàn):1=1X20,2=0X20+1X21,3=1X2。+1x21,4=0x2。+0x2】+1x22,5=1x2。+0x2】+1x22,6=0x20+1x21+1x22,進(jìn)而知7=1x20+1x21+1x2