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經(jīng)典幾何模型之“阿氏圓”經(jīng)典幾何模型之“阿氏圓制 段廉潔一.模型名稱由來E模型背景】“凡尸片型的最值問題是近幾年中考考卷的熱點更是難點.當k值為1肘.即可轉(zhuǎn)化為“FW十依"之和最短問題.就可用我們常見的“炊馬問題”模型來處理.即可以轉(zhuǎn)化為軸對襁問題來處理.而當A-取任意不為I的正數(shù)時,若再以常樹的軸對稱患想來解決問題,則無法進行,因此必須傳換思路.此類問題的處理通常以動點尸所在圖像的不同來分類.一般分為2類研究=即點F在直線上運動和點產(chǎn)在圓上運動,其中點嚴在直線上運動的類型稱之為*胡不歸4向JH:點F在圓周上運動的類型稱之為*阿氏膨押憫鹿.E模型由來】“阿氏園”又稱M阿波羅尼斯圓",已知平面上兩點小以,則所有滿足PA=k*P81RC的點尸的軌跡是一個題.這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱“阿氐胭r.二?模型建立如圖1所g(?。的半徑為r,點乩點都在??谕?,戶為上一動點,己知乩連接F』、尸乩蛔當-PAik■PB'的值最小時.尸點的位置如何確定?.4圖1 圖2模型解讀:最早見y”型問題應(yīng)該是在“將軍軟馬”問題中、而本題塞了一個.故如何確定"4?F”'的大小是關(guān)譙,如圖3在線段(■油上截取值?使如M?八則可說明△6R9與△戶t?0相似I即止*戶6=戶<二故本題求“以(+£?PB”的最小值可以修化為“小+尸亡”的最小值,其中與H與C為定點.尸為動點.故當以RC三點共線時,"PA+PC"值最小.如圖3苣老師初中疑學(xué)講究去4力工1次25三."阿氏ar模型破解策喏t破解策略詳細步黑解析】琬一步;連接動點于晅]心。(.一股將合有”的線段兩端點分別w圓心白相連),即連接OB.OPr第二守,計算出線段OP6OH及口門與dl的線段比.找到線段比為上的情猊.如例OP子中的空之上OB第三步;在口月上取點G使斛生=絲:(橫心美門POR箔P國步?連接與◎口的交點即為點PE核心作㈱另單獨解析】回顧圖2,在門£上取點仁初建火=”的目的是為了形成“母子型相似模型「“國OP0B子型相似”的構(gòu)建是“阿氏圓”模型破解的*核武器一:“母子型相佃r一盅,“阿氏0r直接秒殺.將圖?中△AR7隼獨捻取出.如圖4I:色渲染的小尸。0s△8依「就是叮學(xué)子型相似模型",“用了型相似模型”的特點如圖心△尸與?戶占有公共角二。且生="(在OPOB某些角度處理策略題中,“母子型相做”的主要恃征是/的上。、ZB=ZOPC)蘭譽師初中致字期究女4W11與2258(定點)(構(gòu)造的點)〔構(gòu)造出△PCQs△9心后可以得到上上="二,進而推出口產(chǎn)=f〃?OC.即"半徑的平OPOB方,原有輸段X構(gòu)造線段".確定右的位置后,連接KC.求出去2'長度“阿氏圜”即可破解)四..阿氏圓”典型例題注解例1’如圖L在JttZiJKf中,Z^tff=90*.。界=4.C/6,?!赴胼p為2,嚴為圓上一動點,連接一4八HPt求4P+工班^的量小值.2TOC\o"1-5"\h\zCP ] CP J解答』如圖2,連接“,因為口尸=2,AC=6,BC=4,簡單推算得上二=±,—=1T而題AC 3 CB 2[ q 、 1 CP J目中是求“工戶+上上戶”其中的,故舍棄在用C上取點,應(yīng)用“上上士上J所以在1 2 CH2CE上取一點心,使S3則有罟=旨=器=!「無論『如何移動,,48與△川B始集相似,故如上8戶始終成立,所以AP+LrPWAP口,其中小。為定點,故4R2 2D三點其稅時段小,AP^-BP=A^PC>=AD=4aC-CD1-JTj(思考士若求BP十二戶占疆¥>1 3(大家仔細看第一題的解答過程,邊看邊與前面的4?破解策略”對照,動腦筋悟出“核武器。例也已知扇形匚0口中.*£安口=蟲)",。匚=8,St=M,OB=Sr點F是弧CD上一點,求2PA+PB的最小值.解密首先連接次因為小配口2。扉5,所以券=:、*=?題目求的是“加a,其中的"七嗽與之相關(guān)的是fg=2_,故在口上取點,考慮到是如.故在比上取點用0P2仁蘭老師初中數(shù)親斷究會的口也”
使口日=12.則有絲="=」二=工,無論戶如何移動,△以。與△可(?始終相似,故OPOHPH2P出血始終成立,所以2;如亦白目+用,其中以白為定點,故從嚴、廳三點共線時最小,2^4+PB^py+PB=^OH2+GB2=13.1思考]若求”+?產(chǎn)官強?)例3*如圖L已知7G6,SC=&t>45=10,。右的半輕為4,點口是。£上的動點,連接XD,BDt則一4。+,電>的最小值為?2CD]CD1解答r首先連接8,因為燈氏4,C£=8.匕<=6,所以絲=_1、—--T題目求的是CB1CA,。十上也>",其中的“卜上”與之相關(guān)的是烏=上,故在可上取點,故在匕S上取點2 2 CB1H,使CH=2,則有里=£2:22=工.無論尸如何移動,△。訂。與始終相似,CDCBBD1故HD=LsO始終成立,所以AfJ+L皿其中H、不為定點.故打、普、A三點共2 2線時最小、AD+^BD=AD+DH=Jch2+AC2=2J10.(思考:若求EO+jd。呢?)例4*如圖1,在Rt&MBC中,乙K氏90",WG4,UC=3t點。為&4M'內(nèi)一動點,且滿足8=%則T口+為B的最小值?洸\蘭老師初申致宇研究會的皿工布225
解答i此題美翟在干看出是“阿氏閱模5r.首先從問題看,可能是“阿圓一,接著題目條件,8=2”更加確定此題有院藏圓.如圖3口在『2的⑤口上,下而作賺完全與上相同.故略-答案1;M例5r如圖1.在中,"金組0?.CTV.CRT.0「的串箱/2,點P是0r上一動點,則7q1尸6的最小值?解答r如圖2,愛接匚3解答r如圖2,愛接匚3口算,=?CA3—故選擇在8上取點,構(gòu)造“核武器CB2“母子型相似模型”,取點M使CW=L則有■^^1二W==3.所以無論P如何移動T△尸小與△£<?戶始終相似,故小-BP始您成立,所以JP+-P5=AP+PH.其中從月為2 2定點,故從3/三點共線時最小,=AP^PH=4cH-+AC1-J10.1國%若求力口「十二」〃嗯?)例6工如圖L正方形TBGP邊長為4,。占的半徑為2,P是08上一劫點,則也Pm4尸匚的最小值?二匕蘭老帥初申繳學(xué)斫究會45口」1舂2?5(因為前面稅們都是比較這三條線段?。?感覺妤像和l四FD7PC"沒關(guān)系胸!實際上對“阿氐園”套路的理解不第深,我們研究的線段是胭心到“一動兩.點:”,在此題中.“一動”指的是“動點四,招兩定"不是指T、C而是要看問題"近尸小4氏一問題中P為動點,。、口才是定點,故本題儂該比較"—=4---.故選擇在目口上取BC2BD4V2 4點H1如圖2),使得府戶匹,則有生£=更=空=無,所以無論聲如何移動.APBH2 BPBDPD4與△£)此尸始終相似,故耽=電電>始終成立,所以拒PA4汽2=4(PC+—PD)=44 4【PC+FH),其中C■為定點,故從P、口三點共線時最小,4i?n+4PC=ACA?+—PD)4=4(PC^P/n=4CH.C生[尸M+MU'J卡+守'平,故答案為10點.若求fD+gFC?IJET)例不如圖1,在巴知菱形4月匚。的由長為%£8=60*,@4的半徑為2,六為上一動點.則6產(chǎn)口+6FC的最小值?總比較妹心皿喘喀第j故在班上取點兒使得用看爭故;;:蘭爰師切中黎宇爵竟去4MUC225
所以//齊坦F口. +CPC+—FDy-BCPC+PH)-BPBDPD6 6 66dH.,+mu:=?而7(思考上若求產(chǎn)口十上產(chǎn)匚嗯?}2例也在平面直角坐標系中rA<ZT0>.B(0京)、C(4t0),D(3浦),產(chǎn)是外部的第一象限內(nèi)一動點,且上曰"=135,,她工以加產(chǎn)。的量小值是?解答:首先從問題.大概看出是"削不歸"或者“阿氏圓”的問題,然后尸是動點,但是月于是定線段,ZBPA^S"是定值.屬于*定弦定用“j隱網(wǎng)模型?故構(gòu)建0。.如圖2,然后下面過程略,答案』4忑例91如圖L在中,AB=3,BC=&.ZABC=60^■04的半程為6,F是d4上的動點?連接F隊FCf則3產(chǎn)C+2產(chǎn)B的*小值?iPH+PC>=^CH,利用8啟8,可以求出日月±4,進而可知上(好1,CM=4^-故CH=7<--;:,三老勵初中效宇明究要4sl工處25五4阿氏圓.實戰(zhàn)訓(xùn)珠雄h如圖,在拉長為4的正方形」“e內(nèi),內(nèi)切圓記為0O.P是⑥力上一動點,靈3喈+“的最小值為?《答案工2$結(jié)時如圖.等邊A4Hr的邊長為的內(nèi)切圓記為。a產(chǎn)是④口上一動點,ffi|2FH+Ft的最小值為?曲案:35)瘠3t(2a7?蘭州)如圖,拋物線.產(chǎn)——+5工H與直線一4£交于A(-%-4),U(0,4)兩點r宣戰(zhàn)J=?=$交『軸于點匚點我是宜畿/月上的勘點.過點五作正下_1_工軸交XU于點F,殛物微于點G.⑴求拋物線y=-it+6v+£的表達式1<2》連接GUE6當四邊形GEOE是平行四邊形時,求點。的坐標*門》①軸上存在一點連接M".HF.當點上運動到樸必也置時.以4E.人〃為頂點的四邊璐是矩MT求出此酎點E,〃的坐標/②在①的前提F,以點E為國心,七出快為半程作圓,點財為0總上一動點,求工二蘭老師初中妙亨斫究叁⑦二⑦”它的量小值.2箍擊(£018西北工業(yè)大學(xué)前屬中學(xué)中考模報壓軸題)工向題提出】(1)如圖L在&。
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