工程設(shè)計(jì)制藥工程試驗(yàn)設(shè)計(jì)及計(jì)算方法

1緒論在實(shí)際問題中，影響指標(biāo)的因子往往有很多，這便是多因子的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。多因素試驗(yàn)遇到的最大困難是試驗(yàn)次數(shù)太多，讓人無法忍受。假如有十個(gè)因素對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量有影響，每個(gè)因子取兩個(gè)水平進(jìn)行比較，那么就有210＝1024個(gè)不同的試驗(yàn)條件需要比較，假定每個(gè)因素取三個(gè)水平比較的話，那么就有310＝59049個(gè)不同的試驗(yàn)條件，這在實(shí)際中是辦不到的，因此我們只能從中選擇一部分進(jìn)行試驗(yàn)。選擇哪些條件進(jìn)行試驗(yàn)格外重要，這便是試驗(yàn)的設(shè)計(jì)。一個(gè)好的設(shè)計(jì)，可以通過少量試驗(yàn)獲得較多信息，達(dá)到試驗(yàn)的目的。試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析一般分四步，一是試驗(yàn)的設(shè)計(jì)，二是進(jìn)行試驗(yàn)，三是數(shù)據(jù)分析，四是驗(yàn)證試驗(yàn)。1.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)（ExperimentalDesign）1.1.1什么是試驗(yàn)設(shè)計(jì)接受科學(xué)的方法去支配試驗(yàn)，處理試驗(yàn)結(jié)果，以最少的人力和物力消費(fèi)，在最短的時(shí)間內(nèi)取得更多、更好的生產(chǎn)和科研成果的最有效的技術(shù)方法?？梢杂迷谌缦聢?chǎng)合：?為提高產(chǎn)品的產(chǎn)量和質(zhì)量而查找最佳的或滿足的工業(yè)參數(shù)搭配.?為開發(fā)新產(chǎn)品而查找性能穩(wěn)定和成本低廉的設(shè)計(jì)方案.?為把握生產(chǎn)過程而查找描述過程的數(shù)學(xué)模型.?為證明一種新藥對(duì)某種疾病是否在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上確有療效.試驗(yàn)設(shè)計(jì)是合理支配試驗(yàn)，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，得到合理的試驗(yàn)條件。試驗(yàn)支配得好，試驗(yàn)次數(shù)不多就能得到滿足得結(jié)果；設(shè)計(jì)不好，次數(shù)既多，結(jié)果還不肯定滿足。常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法、均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)法、單純形法等。1.1.2優(yōu)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法起源上世紀(jì)30年月，由于農(nóng)業(yè)試驗(yàn)的需要，費(fèi)歇(R.A.Fisher)在試驗(yàn)設(shè)計(jì)和統(tǒng)計(jì)分析方面做出了一系列先驅(qū)工作，從今試驗(yàn)設(shè)計(jì)成為統(tǒng)計(jì)科學(xué)的一個(gè)分支。上世紀(jì)40年月，在二次世界大戰(zhàn)期間，美國軍方大量應(yīng)用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。隨后，F(xiàn).Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)都作出了杰出的貢獻(xiàn)，使該分支在理論上日趨完善，在應(yīng)用上日趨廣泛。50年月，日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家田口玄一將試驗(yàn)設(shè)計(jì)中應(yīng)用最廣的正交設(shè)計(jì)表格化，在方法解說方面深化淺出為試驗(yàn)設(shè)計(jì)的更廣泛使用作出了眾所周知的貢獻(xiàn)。1.1.3我國優(yōu)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的應(yīng)用60末期代，華羅庚教授在我國提倡與普及的“優(yōu)選法”，如黃金分割法、分?jǐn)?shù)法和斐波那契數(shù)列法等。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)者在工業(yè)部門中普及“正交設(shè)計(jì)”法，即使在十年動(dòng)亂中，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)仍舊在農(nóng)業(yè)的植樹造林中得到了廣泛的應(yīng)用與推廣。70年月中期，優(yōu)選法在全國各行各業(yè)取得明顯成效。1978年，七機(jī)部由于導(dǎo)彈設(shè)計(jì)的要求，提出了一個(gè)五因素的試驗(yàn)，期望每個(gè)因素的水平數(shù)要多于10，而試驗(yàn)總數(shù)又不超過50，明顯優(yōu)選法和正交設(shè)計(jì)都不能用，隨后，方開泰院士和王元院士（中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)爭(zhēng)辯所）提出“均勻設(shè)計(jì)”法，這一方法在導(dǎo)彈設(shè)計(jì)中取得了成效。1.1.4優(yōu)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)在科學(xué)爭(zhēng)辯中的地位與意義試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法是一項(xiàng)通用技術(shù)，是當(dāng)代科技和工程技術(shù)人員必需把握的技術(shù)方法?？茖W(xué)地支配試驗(yàn)，以最少的人力和物力消費(fèi)，在最短的時(shí)間內(nèi)取得更多、更好的生產(chǎn)和科研成果。簡(jiǎn)稱為：多、快、好、省。優(yōu)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)廣泛應(yīng)用于化工、電子、材料、建工、建材、石油、冶金、機(jī)械、交通、電力等領(lǐng)域，提高試驗(yàn)效率、優(yōu)化產(chǎn)品設(shè)計(jì)、改進(jìn)工藝技術(shù)、強(qiáng)化質(zhì)量管理。試驗(yàn)設(shè)計(jì)在工業(yè)生產(chǎn)和工程設(shè)計(jì)及科學(xué)爭(zhēng)辯中能發(fā)揮重要的作用，例如：提高產(chǎn)量、削減質(zhì)量的波動(dòng)，大大縮短新產(chǎn)品試驗(yàn)周期、降低成本；延長(zhǎng)產(chǎn)品壽命。例1-12-甲基-5(4)-硝基咪唑是合成甲硝唑(Metronidazole)的中間體，工業(yè)上多接受濃硫酸溶解2-甲基咪唑后，加入助硝化劑于高溫(140～160)℃滴加濃硝酸進(jìn)行硝化反應(yīng)然后降溫、水稀釋、堿中和、過濾、洗滌和干燥，得淡黃色固體粉末產(chǎn)物，收率為(50～65)%。針對(duì)以上合成方案，以傳統(tǒng)的試驗(yàn)爭(zhēng)辯方法如何找到最佳的合成條件呢？設(shè)反應(yīng)因素A為發(fā)煙硫酸中游離SO3含量，定為(5～15)%；因素B為反應(yīng)溫度，定為140～160℃；因素C為發(fā)煙硫酸對(duì)2-甲基咪唑硝酸鹽量的摩爾配比，定為2～3。爭(zhēng)辯者的習(xí)慣是單因素條件試驗(yàn)，即變化一個(gè)因素而固定其它因素。如圖1-1所示，首先固定B、C于B1、C1，使A變化；假如得出結(jié)果A3最好，則固定A于A3，C還是C1，使B變化；假如得出結(jié)果B2最好，則固定B于B2，A于A2，使C變化，試驗(yàn)結(jié)果以C3最好。于是得出最佳工藝條件為A3B2C3。圖1-1單因素條件試驗(yàn)示意圖這樣的試驗(yàn)設(shè)計(jì)有什么缺點(diǎn)呢？在這9次試驗(yàn)中，實(shí)際上有兩次試驗(yàn)是在相同的條件下重復(fù)試驗(yàn)，即A3B1C1和A3B2C1各做了兩次，故相當(dāng)于只做了7次試驗(yàn)。各因素、水平消滅的機(jī)會(huì)是極不均等的，其中A3、C1各消滅了7次，B1和B2各消滅了4次，其他水平都只消滅過1次。簡(jiǎn)潔比較法認(rèn)為最佳工藝條件為A3B2C3。但在試驗(yàn)過程中我們只知道A3是在B1C1的狀況下好于A1或A2，至于在B2C2的狀況下是否A1或A2，并未做試驗(yàn)，只能說這是一種估量。因此A3B2C3是否最優(yōu)條件是不確定的。試驗(yàn)設(shè)計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一門重要分支，它的主要內(nèi)容是爭(zhēng)辯如何合理支配試驗(yàn)，以及試驗(yàn)后的數(shù)據(jù)如何分析等。合理地支配試驗(yàn)，可以削減試驗(yàn)次數(shù)，同時(shí)兼具全面試驗(yàn)的合理性。精密的試驗(yàn)，牢靠的數(shù)據(jù)，是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析工作和獲得正確結(jié)論的基礎(chǔ)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)能夠指導(dǎo)試驗(yàn)工作，但不能代替試驗(yàn)工作。試驗(yàn)中誤差越小，即試驗(yàn)精度越高，對(duì)因素效應(yīng)的推斷越靈敏。反之假如試驗(yàn)誤差較大，又會(huì)得不出正確得結(jié)論。1.2試驗(yàn)設(shè)計(jì)模型先了解幾個(gè)基本概念。指標(biāo)（Index）用于衡量試驗(yàn)結(jié)果好壞的特征值。又稱響應(yīng)變量。定量指標(biāo)：用測(cè)量結(jié)果表示的指標(biāo)，（用測(cè)量?jī)x器）如電阻器的電阻、橡膠件的溫度、糧食的產(chǎn)量。定性指標(biāo)：用等級(jí)評(píng)分等表示的指標(biāo)。（組織專家評(píng)判組）如藥物的療效，布料的松軟度，平面的光滑度。測(cè)量數(shù)據(jù)比定性數(shù)據(jù)含有更多信息，故在試驗(yàn)中要盡量選用定量指標(biāo)，不得以的場(chǎng)合選用定性指標(biāo)。因子（Factor）:又稱因素。影響試驗(yàn)結(jié)果的因素，常用A，B，C等表示?？煽匾蜃樱簩?duì)其水平可作審慎轉(zhuǎn)變的因子。如，反應(yīng)溫度，反應(yīng)時(shí)間，原料產(chǎn)地，原料配比等。不行控因子:又稱噪聲因子或誤差因子：在實(shí)際操作中不能把握其水平的因子?；螂y以把握其水平的因子。或要花費(fèi)昂貴才能把握其水平的因子?；蛟囼?yàn)人員尚未意識(shí)到對(duì)試驗(yàn)結(jié)果會(huì)有影響的因子。如，環(huán)境的溫度與濕度、機(jī)器的老化、電源電壓的波動(dòng)等。水平（Level）:因子所處的狀態(tài)。常用A1，A2，B1，B2等表示?？梢杂煤谙淠Ｐ蛠砻枋鲈囼?yàn)過程，如圖1－2所示：圖1－2試驗(yàn)過程黑箱模型可控因子在試驗(yàn)過程中唱主角。噪聲因子會(huì)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果起干擾作用，它是引起指標(biāo)數(shù)值波動(dòng)的“元兇”，或是說是引起試驗(yàn)誤差的源泉。噪聲因子的影響不行能全部消退，但可減弱。所謂試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果分析就是對(duì)可控因子及噪聲因子（即試驗(yàn)偶然誤差因子）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)比較。1.3數(shù)值計(jì)算(NumericalComputation)的重要性化學(xué)化工領(lǐng)域涉及面廣，化工過程計(jì)算、模型模擬、量子化學(xué)計(jì)算、人工智能、試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果分析等等都要用到各種數(shù)值分析方法。1.4參考書目及工具軟件[1]鄧勃，分析測(cè)試數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理方法，北京，清華高校出版社，1995。[2]鄭用熙，分析化學(xué)中的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，北京，科學(xué)出版社，1986。[3]焦云飛，分析化學(xué)中常用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，貴陽，貴州人民出版社，1990。[4]洪楠，SPSS（forWindows統(tǒng)計(jì)分析教程，北京，電子工業(yè)出版社，2000。[5]秦建侯等編著，分析測(cè)試數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理中計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，化學(xué)工業(yè)出版，1990。[6]鐘秦等，化工數(shù)值計(jì)算，化學(xué)工業(yè)出版社，2003。[7]李慶揚(yáng)等，數(shù)值分析，清華高校出版社，2001。[8]蔡必楷等，化工原理程序設(shè)計(jì)，山西高校聯(lián)合出版社，1994。[9]化學(xué)計(jì)量學(xué)，中國石化出版社，2003。[10]SPSS，SPSS是軟件英文名稱的首字母縮寫，原意為StatisticalPackagefortheSocialSciences，即“社會(huì)科學(xué)統(tǒng)計(jì)軟件包”。但是隨著SPSS產(chǎn)品服務(wù)領(lǐng)域的擴(kuò)大和服務(wù)深度的增加，SPSS公司已于2000年正式將英文全稱更改為StatisticalProductandServiceSolutions。和SAS相同，SPSS也由多個(gè)模塊構(gòu)成，在最新的16版中，SPSS一共由十個(gè)模塊組成，其中SPSSBase為基本模塊，其余九個(gè)模塊為AdvancedModels、RegressionModels、Tables、Trends、Categories、Conjoint、ExactTests、MissingValueAnalysis和Maps，分別用于完成某一方面的統(tǒng)計(jì)分析功能，它們均需要掛接在Base上運(yùn)行。SPSS軟件只吸取較為成熟的統(tǒng)計(jì)方法，而對(duì)于最新的統(tǒng)計(jì)方法，SPSS公司的做法是為之進(jìn)展一些特地軟件，如針對(duì)樹結(jié)構(gòu)模型的AnswerTree，針對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的NeuralConnection、特地用于數(shù)據(jù)挖掘的Clementine等，而不是直接納入SPSS。[11]SAS，是美國SAS軟件爭(zhēng)辯所研制的一套大型集成應(yīng)用軟件系統(tǒng)，具有完備的數(shù)據(jù)存取、數(shù)據(jù)管理、數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)呈現(xiàn)功能。尤其是創(chuàng)業(yè)產(chǎn)品—統(tǒng)計(jì)分析系統(tǒng)部分，由于其具有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)分析力量，始終為業(yè)界有名軟件，在數(shù)據(jù)處理和統(tǒng)計(jì)分析領(lǐng)域，被譽(yù)為國際上的標(biāo)準(zhǔn)軟件和最權(quán)威的優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)軟件包。[12]MATLAB,名稱源自MatrixLaboratory，由美國MathWorks公司開發(fā)。它是一種科學(xué)計(jì)算軟件，特地以矩陣的形式處理數(shù)據(jù)。MATLAB將高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化集成在一起，并供應(yīng)了大量的內(nèi)置函數(shù)，從而被廣泛地應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、把握系統(tǒng)、信息處理等領(lǐng)域的分析、仿真和設(shè)計(jì)工作。[13]Minitab，是美國賓州高校研制的國際上流行的一個(gè)統(tǒng)計(jì)軟件包，其特點(diǎn)是簡(jiǎn)潔易懂，在國外高校統(tǒng)計(jì)學(xué)系開設(shè)的統(tǒng)計(jì)軟件課程中，Minitab與SAS、BMDP相互并列，有的學(xué)術(shù)爭(zhēng)辯機(jī)構(gòu)甚至特地教授Minitab之概念及其使用。MinitabforWindows統(tǒng)計(jì)軟件比SAS、SPSS等小得多，但功能并不弱，特殊是它的試驗(yàn)設(shè)計(jì)與質(zhì)量把握等功能。MiniTab供應(yīng)了對(duì)二維工作表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的多種功能，包括：基本統(tǒng)計(jì)分析、回歸分析、方差分析、多元分析、非參數(shù)分析、時(shí)間序列分析、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、質(zhì)量把握、模擬、繪制高質(zhì)量三維圖形等，從功能來看，Minitab除各種統(tǒng)計(jì)模型外，還具有很多統(tǒng)計(jì)軟件不具備的功能——矩陣運(yùn)算。2數(shù)理統(tǒng)計(jì)概念初步統(tǒng)計(jì)學(xué)問已經(jīng)經(jīng)受了上千年的歷史，而“統(tǒng)計(jì)”一詞并非一開頭就有。“統(tǒng)計(jì)”一詞最早消滅在中世紀(jì)拉丁語Status中，意思是指各種現(xiàn)象的狀態(tài)和狀況。由這一詞根組成的意大利語Stato表示“國家”的概念，也含有國家結(jié)構(gòu)和國情學(xué)問的意思。十八世紀(jì)德國政治學(xué)教授亨瓦爾（G.Achenwall）在1749年所著《近代歐洲各國國家學(xué)綱要》一書緒言中，正式提出了“Statistika”（統(tǒng)計(jì)）這個(gè)詞。那時(shí)的統(tǒng)計(jì)是指“國家顯著事項(xiàng)的比較和記述”或“國力學(xué)”，認(rèn)為統(tǒng)計(jì)是關(guān)于國家應(yīng)留意事項(xiàng)的學(xué)問。此后，各國相繼沿用“統(tǒng)計(jì)”這個(gè)詞，并把這個(gè)詞譯成各國的文字，法國譯為Statistique，意大利譯為Statistica，英國譯為Statistics，日本最初譯為“政表”、“政算”、“國力”、“形勢(shì)”等，直到1880年設(shè)立了統(tǒng)計(jì)院，才確定以“統(tǒng)計(jì)”二字正名。1903年（清光緒廿九年）由鈕永建、林卓南等翻譯了四本橫山雅南所著的《統(tǒng)計(jì)講義錄》一書，“統(tǒng)計(jì)”這個(gè)詞從日本傳到我國。1907年（清光緒卅三年）彭祖植編寫的《統(tǒng)計(jì)學(xué)》在日本出版，同時(shí)在國內(nèi)發(fā)行，這是我國最早的一本統(tǒng)計(jì)學(xué)書籍。從今，統(tǒng)計(jì)一詞就成了記述國家和社會(huì)狀況的數(shù)量關(guān)系的總稱。2.1基本概念1）精確度（Accuracy）試驗(yàn)值和真值之間相符的程度。2）精密度（Precision）各試驗(yàn)值彼此之間相符的程度。精密度是保證精確度的先決條件，沒有好的精密度就不能有好的精確度，但良好的精密度并不肯定有好的精確度。重復(fù)性（Repeatability）由一個(gè)分析者，在一個(gè)給定的試驗(yàn)室中，用一套給定的儀器，在短時(shí)期內(nèi)，對(duì)某物理量進(jìn)行反復(fù)定量測(cè)量所得的結(jié)果。習(xí)慣上稱為室內(nèi)精密度。再現(xiàn)性（Reproducibility）由不同試驗(yàn)室的不同分析者和儀器，共同對(duì)一個(gè)物理量進(jìn)行定量測(cè)量的結(jié)果，習(xí)慣上成為室間精密度。3）誤差（Error）量值和真值的差數(shù)測(cè)量值x帶有誤差ε,測(cè)量值扣除誤差之后就等于真值μ0。故確定誤差＝測(cè)量值－真值ε＝x－μ0（2.1）相對(duì)誤差＝×100％R.E.=×100％（2.2）當(dāng)真值未知，而確定誤差又較小時(shí)，可以用多次測(cè)定算術(shù)平均值作為真值的估量量。于是R.E.=×100％（2.3）4）偏差（Deviation）個(gè)別測(cè)量值與平均值的差數(shù)。偏差＝測(cè)量值－平均值d=x-（2.4）5）偏倚－系統(tǒng)誤差偏倚是一種誤差，它總是存在于一系列同樣的或相像的測(cè)量中，因此它是不能用任何取平均值的方法消退的。當(dāng)測(cè)量存在偏倚時(shí)，多次測(cè)量的結(jié)果，可能精密度很好，但精確度并不好，只有找出產(chǎn)生偏倚的緣由，測(cè)定它的大小，然后加以校正，才能消退偏倚對(duì)測(cè)量精確度的影響。6）隨機(jī)誤差－偶然誤差偶然誤差是由于無法把握的因素造成的，隨機(jī)誤差是隨機(jī)變量，它的值或大或小，它的符號(hào)或正或負(fù)，單個(gè)地看，隨機(jī)誤差是沒有規(guī)律的。但從整體看，眾多隨機(jī)誤差在統(tǒng)計(jì)相加時(shí)，有可能彼此抵償，使多次測(cè)量的平均值的隨機(jī)誤差比單次測(cè)量值的隨機(jī)誤差為小。隨機(jī)誤差這樣一類隨機(jī)變量是聽從統(tǒng)計(jì)規(guī)律的，因此可以用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法處理它們。7）總體（Population）和樣本(Sample)我們把所爭(zhēng)辯的對(duì)象的某特性值的全體，稱為總體；其中的每個(gè)單元叫做個(gè)體。對(duì)某物理量，在制定條件下，做無限多次測(cè)量所得的無限多的數(shù)據(jù)的集合，就叫做總體；其中每個(gè)數(shù)據(jù)就是一個(gè)個(gè)體。自總體中隨機(jī)抽出的一組測(cè)量值，稱為樣本，又叫子樣。樣本中所含個(gè)體（測(cè)量值）的數(shù)目n，叫做樣本容量，即樣本的大小。8）平均值－算術(shù)平均值樣本平均值用表示：（2.5）總體平均值用μ表示：9）差方和（SumofSquaresoftheDeviation）測(cè)量值對(duì)平均值的偏差的平方的加和，稱為差方和。（2.7）10）自由度（DegreeofFreedom）差方和中獨(dú)立項(xiàng)的數(shù)目，叫自由度f。11）方差（Variance）方差是測(cè)量值xi在其總體平均值μ四周分布狀況的一種量度，方差表征隨機(jī)變量分布的離散程度?？傮w方差的定義是測(cè)量值對(duì)總體平均值μ的誤差的平方的統(tǒng)計(jì)平均，記做σ2。（2.8）對(duì)于有限次測(cè)量的樣本方差，用s2表示。（2.9）12）標(biāo)準(zhǔn)偏差方差的平方根的正值，叫標(biāo)準(zhǔn)偏差?？傮w標(biāo)準(zhǔn)偏差以σ表示：（2.10）樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差以s表示：（2.11）13）極差R（Range）一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。R=max{x1,x2,,,xn}-min{x1,x2,,,xn}（2.12）14)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差RSD（RelativeStandardDeviation）×100％（2.13）2.2有效數(shù)字及運(yùn)算規(guī)章2.2.1有效數(shù)字為了取得精確的分析結(jié)果，不僅要精確測(cè)量，而且還要正確記錄與計(jì)算。所謂正確記錄是指記錄數(shù)字的位數(shù)。由于數(shù)字的位數(shù)不僅表示數(shù)字的大小，也反映測(cè)量的精確程度。所謂有效數(shù)字，就是實(shí)際能測(cè)得的數(shù)字。有效數(shù)字保留的位數(shù)，應(yīng)依據(jù)分析方法與儀器的精確度來打算，一般使測(cè)得的數(shù)值中只有最終一位是可疑的。2.2.2有效數(shù)字中＂0＂的意義“0”在有效數(shù)字中有兩種意義：一種是作為數(shù)字定值，另一種是有效數(shù)字．在0.2104中，小數(shù)前面的“0”是定值用的，不是有效數(shù)字，而在數(shù)據(jù)中的“0”是有效數(shù)字，所以它有4位有效數(shù)字。4500這個(gè)數(shù)，就不會(huì)確定是幾位有效數(shù)字，可能為2位或3位，也可能是4位。遇到這種狀況，應(yīng)依據(jù)實(shí)際有效數(shù)字書寫成：

4.5×1032位有效數(shù)字4.50×1033位有效數(shù)字4.500×1034位有效數(shù)字2.2.3數(shù)字修約規(guī)章我國科學(xué)技術(shù)委員會(huì)正式頒布的《數(shù)字修約規(guī)章》，通常稱為“四舍六入五成雙”法則。四舍六入五考慮，即當(dāng)尾數(shù)≤4時(shí)舍去，尾數(shù)為6時(shí)進(jìn)位。當(dāng)尾數(shù)4舍為5時(shí)，則應(yīng)是末位數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，5前為偶數(shù)應(yīng)將5舍去，5前為奇數(shù)應(yīng)將5進(jìn)位。2.2.4有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)章a.加減法：在加減法運(yùn)算中，保留有效數(shù)字的以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最小的為準(zhǔn)，即以確定誤差最大的為準(zhǔn)。b.乘除法：乘除運(yùn)算中，保留有效數(shù)字的位數(shù)以位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，即以相對(duì)位數(shù)最大的為準(zhǔn)。c.自然數(shù)：在化學(xué)計(jì)算中，有時(shí)會(huì)遇到一些倍數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，其有效數(shù)字位數(shù)可視為無限的。2.3加和號(hào)Σ的運(yùn)算在以后的章節(jié)中，經(jīng)常要用到加和運(yùn)算，現(xiàn)將易混淆的求和運(yùn)算歸納如下：=1\*GB3①（2.14）=2\*GB3②（2.15）=3\*GB3③（2.16）=4\*GB3④（2.17）2.4平均值、極差、差方和、方差、標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算實(shí)例例2-1對(duì)于樣本：66.57，66.58，66.61，66.77，66.69，66.67，66.67，66.70，66.70，66.64試計(jì)算其平均值、極差、差方和、方差、標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：＝66.66R＝66.77-66.57＝0.20Q＝0.0338s2＝＝0.00376S＝0.0622.5正態(tài)分布數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分布特性是既有向某個(gè)中心值集中的特性，又有偏離楷這個(gè)中心值的傾向。為了明確表達(dá)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性，我們用兩個(gè)特征參數(shù)來表征一組數(shù)據(jù)：用平均值來表征一組數(shù)據(jù)集中分布的位置，用標(biāo)準(zhǔn)偏差來描述數(shù)據(jù)分布的離散性。2.5.1測(cè)量值的正態(tài)分布（x分布）假設(shè)在肯定條件下，對(duì)某一物理量x進(jìn)行無限多次重復(fù)的等精度測(cè)量，得到一組數(shù)據(jù){x1,x2,……xn},各測(cè)量值消滅的概率密度，可以由下列正態(tài)分布（NormalDistribution）概率密度函數(shù)來表達(dá)，正態(tài)分布也稱為高斯分布。正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。正態(tài)分布概念是由德國的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Moivre于1733年首次提出的，但由于德國數(shù)學(xué)家Gauss(CarlFriedrichGauss，1777—1855)領(lǐng)先將其應(yīng)用于天文學(xué)爭(zhēng)辯，故正態(tài)分布又叫高斯分布。1809年，高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)發(fā)表了其數(shù)學(xué)和天體力學(xué)的名著《繞日天體運(yùn)動(dòng)的理論》。在此書末尾，他寫了一節(jié)有關(guān)“數(shù)據(jù)結(jié)合”（datacombination）的問題，實(shí)際涉及的就是這個(gè)誤差分布的確定問題?，F(xiàn)今德國10馬克鈔票印有高斯頭像的鈔票，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線。這傳達(dá)了一種想法：在高斯的一切科學(xué)貢獻(xiàn)中，其對(duì)人類文明影響最大者，就是這一項(xiàng)。（2.18）式中f(x)表示測(cè)量值的概率密度函數(shù)，x為測(cè)量值，是從該分布抽出的隨機(jī)樣本值，μ為總體平均值，σ為總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。據(jù)（2.18）式可繪制f(x)-x示意圖2－1、2－1。由圖可見，μ相應(yīng)于正態(tài)分布曲線最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)，它表示樣本值的集中趨勢(shì)，曲線對(duì)μ對(duì)稱；σ表征樣本值的離散特性，σ越大，離概率越大。圖2－1不同，σ相同圖2－2μ相同，σ不同2.5.2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（u分布）對(duì)2.18式進(jìn)行坐標(biāo)變換，令，則2.17式可變換為：（2.19）函數(shù)圖形如圖2-3所示：圖2－3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布示意圖由圖2-3可見，X的值幾乎全部集中在[μ-3σ,μ+3σ]區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%，這個(gè)規(guī)律也稱為3σ準(zhǔn)則。2.6區(qū)間估量2.6.1猜測(cè)分析數(shù)據(jù)在日常生活中，我們經(jīng)常對(duì)事物做猜測(cè)。例如拋一枚硬幣，猜測(cè)硬幣的正反面，我們可以猜測(cè)：國徽面朝上的概率為50％，從統(tǒng)計(jì)的角度講，可以說國徽面朝上這一推斷的置信度為50％擲骰子，“6”點(diǎn)朝上的推斷，其置信度為1/6＝16.7％。假如對(duì)某廠生產(chǎn)的銀黃口服液進(jìn)行很多次分析，并已求得其中綠原酸含量的標(biāo)準(zhǔn)值（總體平均值）μ＝15.63mg/ml，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ＝0.03。依據(jù)正態(tài)分布圖，我們可以做出猜測(cè)，綠原酸含量在15.63±0.06之間，假如分析條件正常，這個(gè)猜測(cè)的把握性有95.46%。假如將區(qū)間縮小為15.63±0.03之間，則猜測(cè)的把握性只有68.26%。2.6.2置信度（ConfidenceLevel）的概念所謂置信度就是人們所作推斷的牢靠把握程度。置信度有兩重含義，一是置信概率（ConfidenceProbability）,一是置信區(qū)間（ConfidenceInterval）猜測(cè)時(shí)所劃定的區(qū)間越窄，置信概率就越??；反之表示不確定度的區(qū)間定得寬，說話留有充分余地，推斷的置信概率就越高。在日常生活中，人們的推斷若有90％或95％的把握性，就認(rèn)為這種推斷是正確的。習(xí)慣上把置信度記作1－α，α稱為顯著性水平（LevelofSignificance），其物理意義是數(shù)據(jù)落在置信區(qū)間外的概率。2.6.3由樣本平均值估量總體平均值實(shí)際上，有限次測(cè)量是得不到μ和σ的。對(duì)于未知樣，由于不知道σ的值，就很難由樣本值x作出置信區(qū)間的寬度。在統(tǒng)計(jì)處理少量試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，為補(bǔ)償樣本容量不足帶來的誤差，Gosset于1908年以筆名Student提出一個(gè)分布因子t，用t值來代替u值，實(shí)現(xiàn)對(duì)總體平均值的估量。公式如下：（2.20）式中t值是隨置信概率和測(cè)量次數(shù)而變化的系數(shù)，稱為置信因子，t分布表見附表1；f為自由度，對(duì)于容量為n的樣本，f＝n－1；α為顯著性水平，置信概率＝1－α。例2-2分析牛黃解毒片中鋁的含量，得到以下9個(gè)數(shù)據(jù)：10.74、10.77、10.77、10.77、10.81、10.82、10.73、10.86、10.81，試加以統(tǒng)計(jì)處理。解：本題中n＝9；f＝9－1＝8；取95％置信概率，查附表1表得t0.05，8＝2.31。所以95％置信區(qū)間為＝10.79±0.04答:有95%把握斷定區(qū)間10.75%-10.83%將把真值包含在內(nèi)。2.7特別值的取舍（RejectionofaResult）在試驗(yàn)中得到一組數(shù)據(jù)，往往個(gè)別數(shù)據(jù)離群較遠(yuǎn)，這一數(shù)據(jù)稱為特別值，又稱離群值。假如這是由于過失造成的，則這一數(shù)據(jù)必需舍去；若并非這種狀況，則對(duì)特別值不能任憑取舍，特殊是當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)較少時(shí)，特別值的取舍對(duì)數(shù)據(jù)分析產(chǎn)生很大影響，必需慎重對(duì)待。對(duì)于不是由于過失而造成的特別值，應(yīng)按肯定的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法進(jìn)行處理。2.7.1只有一個(gè)可疑值時(shí)的檢驗(yàn)方法=1\*GB3①4法用4法推斷特別值的取舍時(shí)，首先求出除特別值外的其余數(shù)據(jù)的平均值和平均偏差，然后將特別值與平均值進(jìn)行比較，如確定差值大于4，則將可疑值舍去，否則保留。本法存在較大的誤差，但方法簡(jiǎn)潔，不必查表，至今仍為人們接受。當(dāng)4法與其他檢驗(yàn)法沖突時(shí)，應(yīng)以其他方法為準(zhǔn)。例2-3測(cè)定某藥物中鈷的含量，得結(jié)果如下：1.25，1.27，1.31，1.40，試問1.40這個(gè)數(shù)據(jù)是否應(yīng)當(dāng)保留？解：＝1.28，＝0.023特別值與平均值的差的確定值為故1.40這個(gè)值應(yīng)當(dāng)舍去。=2\*GB3②Grubbs法設(shè)測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到大的挨次排成x1,x2,…,xn-1,xn,它們的平均值。標(biāo)準(zhǔn)偏差推斷可疑值是否特別值所用的統(tǒng)計(jì)量為或假如T值大于附表2中的舍棄臨界值，則x1或xn可以顯著性水平α被舍棄。例2-4在前例中，用Grubbs法推斷時(shí)，1.40這個(gè)數(shù)據(jù)是否應(yīng)保留？置信度取95％。解：＝1.31s＝0.066＝＝1.36查附表2，T0.05,4=1.46，T<T0.05,4，故1.40這個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)保留。此結(jié)論與4法所得結(jié)論不同。在這種狀況下，一般取Gruubs法的結(jié)論，因這種方法的牢靠性較高。=3\*GB3③Q檢驗(yàn)法又稱Dixon檢驗(yàn)法。將測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到大的挨次排成x1,x2,…,xn-1,xn，為了檢驗(yàn)可疑值x1或xn，應(yīng)依據(jù)數(shù)據(jù)數(shù)n，按附表3供應(yīng)的計(jì)算式計(jì)算統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量rij。若rij>臨界值Q，則可推斷為特別值舍去。例2-5某一標(biāo)準(zhǔn)溶液的4次標(biāo)定值為0.1014，0.1012，0.1025，0.1016。離群值0.1025可否舍棄？解：由于n＝4，按附表應(yīng)用如下公式：r10<Q0.05,4=0.765，故0.1025這個(gè)數(shù)據(jù)不能舍棄。應(yīng)用Grubbs法也可得到同樣的結(jié)論。Q檢驗(yàn)法計(jì)算比較簡(jiǎn)潔，但用Q檢驗(yàn)法舍棄一個(gè)可疑值后，假如再連續(xù)檢驗(yàn)，則可能接連幾次舍掉幾個(gè)測(cè)定值。因此Q檢驗(yàn)法原則上只適用于只有一個(gè)可疑值的狀況。本節(jié)小結(jié)：對(duì)小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)離群值的舍棄，應(yīng)取謹(jǐn)慎的態(tài)度，不應(yīng)當(dāng)為了追求虛假的高精度，而輕率地舍棄離群數(shù)據(jù)。對(duì)于連續(xù)舍棄，則更應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)慎。在條件允許時(shí)，較好的方法是重做試驗(yàn)，讓實(shí)踐來進(jìn)行檢驗(yàn)為好。2.7.2最大值和最小值都為可疑值時(shí)的檢驗(yàn)方法設(shè)測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到大的挨次排成x1,x2,…,xn-1,xn,按下列公式計(jì)算極差和標(biāo)準(zhǔn)偏差的比值R/s，假如比值大于附表4的舍棄的臨界值，則x1或xn的任一個(gè)或兩個(gè)都有可能以顯著性水平α推斷為特別值。例2-6以黃豆經(jīng)榨油后的殘?jiān)鼮樵?，?duì)提取分別異黃酮的工藝標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行爭(zhēng)辯。在最佳工藝條件下對(duì)提取物的異黃酮含量進(jìn)行15次平行分析，得到15個(gè)數(shù)據(jù)（各為2次的平均值）：25.60，26.56，26.70，26.76，26.78，26.87，26.95，27.06，27.10，27.18，27.20，27.39，27.48，27.63，28.01(％)。25.60%和28.01%相對(duì)于其他值為離群值，是否可以舍棄這些值？解：R/s=4.38此值超過了舍棄臨界值4.09(α=0.05),因此25.60和28.01的任何一個(gè)或者雙方都有可能被推斷為特別值?？梢杂肎rubbs法進(jìn)一步推斷哪一個(gè)是是特別值。首先檢驗(yàn)離開平均值（27.02）較大的一方，x1=25.60。>T0.025,15=2.549所以25.60％這個(gè)數(shù)據(jù)可以5％的危急率舍棄。然后對(duì)剩下的14個(gè)值重新進(jìn)行Grubbs檢驗(yàn)。Xn＝28.01s=0.40＝2.23<T0.025,14=2.507故28.01％這個(gè)數(shù)據(jù)不能舍棄。用Q檢驗(yàn)法也可得到同樣結(jié)論。本節(jié)小結(jié)：特別值的取舍是一項(xiàng)格外重要的工作。在試驗(yàn)過程中得到一組數(shù)據(jù)后，假如不能確定個(gè)別特別值確系由于過失引起的，我們就不能輕易地去掉這個(gè)數(shù)據(jù)，而是要用上述統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法進(jìn)行推斷之后，才能確定其取舍。在這一步工作完成后，我們就可以計(jì)算該組數(shù)據(jù)的平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差以及進(jìn)行其他有關(guān)數(shù)理統(tǒng)計(jì)工作。在以上介紹的幾種方法中，Grubbs方法的效果最好。對(duì)于同一組數(shù)據(jù)，若這幾種方法檢驗(yàn)結(jié)果有沖突，最好接受Grubbs法。2.8方差的比較及分析(ComparisonandAnalysisofVariance,ANOVA)我們?cè)谏a(chǎn)科研中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的狀況：在正常條件下，標(biāo)準(zhǔn)偏差或方差有一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的數(shù)值，假如某時(shí)突然發(fā)覺標(biāo)準(zhǔn)偏差有了較大的變化，超過了允許的范圍，這說明生產(chǎn)中消滅的特別的狀況，應(yīng)查明緣由，快速訂正；在工藝條件爭(zhēng)辯中，影響試驗(yàn)結(jié)果的因素可能有很多個(gè)，我們期望找到主要影響因素，排解不必要的因素，從而得到最佳工藝條件。以上這些狀況，都要用到方差的比較，方差分析的關(guān)鍵就是方差比較。方差分析由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher(1890–1962)首創(chuàng)，為紀(jì)念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗(yàn)。2.8.1方差的比較－F檢驗(yàn)法F檢驗(yàn)法是通過比較兩組數(shù)據(jù)的方差s2，以確定它們的精密度是否有顯著性差異的方法。統(tǒng)計(jì)量F的定義為：兩組數(shù)據(jù)的方差的比值，分子為大的方差，分母為小的方差，即：將計(jì)算所得F值與附表5所列F值(Fα,f大,f小)進(jìn)行比較。假如兩組數(shù)據(jù)的精密度相差不大，則F值趨近于1；假如兩者之間存在顯著性差異，F(xiàn)值就較大。在肯定的置信度及自由度時(shí)，若F值大于表值，則認(rèn)為它們之間存在顯著性差異(置信度95%)，否則不存在顯著性差異。附表5中列出的F值是單側(cè)值，引用時(shí)宜加以留意。檢驗(yàn)?zāi)辰M數(shù)據(jù)的精密度是否大于或等于另一組數(shù)據(jù)的精密度，此時(shí)置信度為95%(顯著性水平為0.05)。而用于推斷兩組數(shù)據(jù)的精密度是否有顯著性差異時(shí)，即一組數(shù)據(jù)的精密度可能大于、等于、也可能小于另一組數(shù)據(jù)的精密度時(shí)，顯著性水平為單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)的兩倍，即0.10，因而此時(shí)的置信度P=1-0.10=0.90（90%）。例2-7用兩種方法分析同一藥物試樣，結(jié)果如下：甲95.6，94.9，96.2，95.1，95.8，96.3，96.0乙93.3，95.1，94.1，95.1，95.6，94.0試問甲、乙兩種方法分析結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差有無顯著性差異。解：本題是雙尾檢驗(yàn)。＝0.287，f甲＝n－1＝6,＝95.7＝0.755，f乙＝n－1＝5，＝94.53<F0.05,5,6=4.39說明甲乙兩種方法分析結(jié)果在顯著性水平10％時(shí)，看不出有顯著性差異。2.8.2方差的分析首先介紹幾個(gè)重要的基本概念。=1\*GB3①差方和的加和性化工制藥工程工藝是一個(gè)受多種因素影響的簡(jiǎn)單過程，每個(gè)因素都對(duì)最終反應(yīng)結(jié)果指標(biāo)的總差方和的形成供應(yīng)肯定的貢獻(xiàn)，總差方和受各因素獨(dú)立形成的差方和的制約，在數(shù)值上，總差方和等于各因素形成的差方和的總和。QT=ΣQ因素＋Qe這里Qe為試驗(yàn)誤差差方和，反映了各種偶然因素的干擾及測(cè)量誤差。同樣，各差方和項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的自由度也具有加和性fT=Σf因素＋fe=2\*GB3②因素的主效應(yīng)及交互效應(yīng)在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，各因素的影響可能是相互獨(dú)立的，這種影響稱為因素的主效應(yīng)；也可能一個(gè)因素的影響同其他因素存在量的多少有關(guān)，這種影響稱為交互效應(yīng)（也稱為交互作用）。假如A因素和B因素存在交互效應(yīng)，記作A×B。fA×B＝fA×fB所謂方差分析就是建立在差方和的加和性的基礎(chǔ)上，利用F檢驗(yàn)法來對(duì)各因素差方和Q因素與試驗(yàn)誤差差方和Qe進(jìn)行方差比較，分析出各個(gè)因素的影響以及各因素之間的交互作用的影響，從而探求出影響試驗(yàn)指標(biāo)的主要因素，為最優(yōu)化試驗(yàn)條件供應(yīng)決策依據(jù)。本章練習(xí)題第1題對(duì)某未知試樣中Cl-1的質(zhì)量分?jǐn)?shù)進(jìn)行測(cè)定，4次結(jié)果為47.64％，47.69％，47.52％，47.55％。計(jì)算置信度為90％、95％、99％時(shí)，總體平均值μ的置信區(qū)間。第2題生鐵中石墨碳的分析數(shù)據(jù)為0.220，0.223，0.236，0.284，0.303，0.310，0.478（％），其中0.478離群，而技術(shù)上的緣由不明，試用Grubbs法檢驗(yàn)該值是否可以顯著性水平5％舍棄？第3題接受兩種不同的方法分析某試樣，用第一種方法分析11次，得標(biāo)準(zhǔn)偏差s1＝0.21％；用第一種方法分析9次，得標(biāo)準(zhǔn)偏差s2＝0.60％。試推斷兩種分析方法的精密度之間是否有顯著性差異（置信度取90％）？3正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)(OrthoganalDesign)3.1問題的提出--多因素的試驗(yàn)問題例3－1為提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率，選擇了三個(gè)有關(guān)的因素進(jìn)行條件試驗(yàn)，反應(yīng)溫度（A），反應(yīng)時(shí)間（B），用堿量（C），并確定了它們的試驗(yàn)范圍：A：80-90℃B：90-150MinC：5-7%試驗(yàn)?zāi)康氖歉闱宄蛩谹、B、C對(duì)轉(zhuǎn)化率的影響，哪些是主要因素，哪些是次要因素，從而確定最優(yōu)生產(chǎn)條件，即溫度、時(shí)間及用堿量各為多少才能使轉(zhuǎn)化率提高。試制定試驗(yàn)方案。這里，對(duì)因素A、B、C在試驗(yàn)范圍內(nèi)分別選取三個(gè)水平：A：A1＝80℃、A2＝85℃、A3＝90℃B：B1＝90Min、B2＝120Min、B3＝150MinC：C1＝5%、C2＝6%、C3＝7%正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，因素可以定量的，也可以使定性的。而定量因素各水平間的距離可以相等也可以不等。取三因素三水平，通常有兩種試驗(yàn)方法：(1)全面試驗(yàn)法全面試驗(yàn)的全部支配為A1B1C1A2B1C1A3B1C1A1B1C2A2B1C2A3B1C2A1B1C3A2B1C3A3B1C3A1B2C1A2B2C1A3B2C1A1B2C2A2B2C2A3B2C2A1B2C3A2B2C3A3B2C3A1B3C1A2B3C1A3B3C1A1B3C2A2B3C2A3B3C2A1B3C3A2B3C3A3B3C3共有33=27次試驗(yàn)，如圖3-1所示，立方體包含了27個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別表示27次試驗(yàn)。全面試驗(yàn)法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：對(duì)各因素與試驗(yàn)指標(biāo)之間的關(guān)系剖析得比較清楚。缺點(diǎn)：a.試驗(yàn)次數(shù)太多，費(fèi)時(shí)、費(fèi)事，當(dāng)因素水平比較多時(shí)，試驗(yàn)無法完成。b.不做重復(fù)試驗(yàn)無法估量誤差。c.無法區(qū)分因素的主次。例如選六個(gè)因素，每個(gè)因素選五個(gè)水平常，全面試驗(yàn)的數(shù)目是56＝15625次。1978年，七機(jī)部由于導(dǎo)彈設(shè)計(jì)的要求，提出了一個(gè)五因素的試驗(yàn)，期望每個(gè)因素的水平數(shù)要多于10，此時(shí)靠全面試驗(yàn)法是無法完成的。（2）簡(jiǎn)潔比較法如例1-1所述，變化一個(gè)因素而固定其它因素，得出最佳工藝條件為A3B2C3。這種簡(jiǎn)潔比較法的試驗(yàn)點(diǎn)分布模型如圖3-2所示。簡(jiǎn)潔比較法的優(yōu)點(diǎn)：試驗(yàn)次數(shù)少簡(jiǎn)潔比較法的缺點(diǎn)：a.試驗(yàn)點(diǎn)不具代表性。考察的因素水平僅局限于局部區(qū)域，不能全面地反映因素的全面狀況。b.無法分清因素的主次。c.假如不進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)誤差就估量不出來，因此無法確定最佳分析條件的精度。d.無法利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，提出展望好條件。綜上，考慮兼顧全面試驗(yàn)法和簡(jiǎn)潔比較法的優(yōu)點(diǎn)，利用依據(jù)數(shù)學(xué)原理制作好的規(guī)格化表－－正交表來設(shè)計(jì)試驗(yàn)不失為一種上策。用正交表來支配試驗(yàn)及分析試驗(yàn)結(jié)果，這種方法叫做正交試驗(yàn)法。事實(shí)上，正交最優(yōu)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)不僅表現(xiàn)在試驗(yàn)的設(shè)計(jì)上，更表現(xiàn)在對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的處理上。3.2正交拉丁方－正交表的構(gòu)造在上例中，先考慮A、B兩個(gè)因素，全面試驗(yàn)要做9次，如表3-1所示。表3－1雙因素3水平全面試驗(yàn)BAB1B2B3A1A2A3A1B1A2B1A3B1A1B2A2B2A3B2A1B3A2B3A3B3假猶如時(shí)還要考察因素C，而又不增加試驗(yàn)次數(shù)，應(yīng)當(dāng)怎么支配試驗(yàn)?zāi)?？我們看到只有兩個(gè)因素時(shí)，二因素的3個(gè)水平相互各碰一次，這樣反映的狀況比較全面。當(dāng)3各因素時(shí)，要反映狀況比較全面，必需任兩個(gè)因素之間的不同水平各碰一次，可接受如下支配：表3－2三因素3水平均衡搭配試驗(yàn)BCAB1B2B3A1A2A3A1B1C1A2B1C2A3B1C3A1B2C2A2B2C3A3B2C1A1B3C3A2B3C1A3B3C2這樣的支配很均衡，A的每個(gè)水平和B的3個(gè)水平各碰1次，和C的3個(gè)水平也各碰1次，兩兩因素之間皆是如此。因此，雖然做了9次試驗(yàn)，但卻是27次全面試驗(yàn)很好的代表。假設(shè)我們還要考慮因素D，能否還保持上述的要求，而不增加試驗(yàn)次數(shù)呢？可以如下支配：表3－3四因素3水平均衡搭配試驗(yàn)BCDAB1B2B3A1A2A3A1B1C1D1A2B1C2D3A3B1C3D2A1B2C2D2A2B2C3D1A3B2C1D3A1B3C3D3A2B3C1D2A3B3C2D1上述支配實(shí)際上是由兩個(gè)正交拉丁方疊加而成的，任意行或列之間的搭配是均勻的，無重復(fù)無遺漏，這種性質(zhì)稱為正交。用正交拉丁方支配試驗(yàn)，通常是排成表格的形式。如表3－3，我們由表格第一行開頭挨次編上試驗(yàn)號(hào)碼，就構(gòu)造成一個(gè)正交試驗(yàn)表。表3－4四因素3水平正交試驗(yàn)表因素試驗(yàn)號(hào)ABCD1234567891112223331231231231232313121233122313.3正交試驗(yàn)表3.3.1正交試驗(yàn)法優(yōu)點(diǎn)利用正交表支配試驗(yàn)有以下優(yōu)點(diǎn)：(1)試驗(yàn)點(diǎn)代表性強(qiáng)，試驗(yàn)次數(shù)少。(2)不需做重復(fù)試驗(yàn)，就可以估量試驗(yàn)誤差。(3)可以分清因素的主次。(4)可以使用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法處理試驗(yàn)結(jié)果，提出展望好條件。用正交表支配試驗(yàn)時(shí)，對(duì)于例3－1，其試驗(yàn)點(diǎn)分布模型如圖3-3所示。3.3.2正交試驗(yàn)（表）法的特點(diǎn)以L9(34)例：每個(gè)列中，“1”、“2”、“3”消滅的次數(shù)相同；任意兩列，其橫方向形成的九個(gè)數(shù)字對(duì)中，恰好（1，1）、（1，2）、（1、3）、（2，1）（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3、3）消滅的次數(shù)相同這兩點(diǎn)稱為正交性?？臻g分布模型表明正交試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍均衡分散；正交表是按肯定排列規(guī)律整齊排列的，整齊可比，可以用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行處理。3.3.3正交表符號(hào)的意義例如L8(27)表示做8個(gè)試驗(yàn)，其中最多允許支配7個(gè)2水平的因素；L16(42×29)表示做16個(gè)試驗(yàn)，其中最多允許支配二個(gè)4水平的因素和9個(gè)二水平的因素。3.4用正交表支配試驗(yàn)以例3－1為例,按如下步驟來支配多因素試驗(yàn)及分析試驗(yàn)結(jié)果：（1）明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定試驗(yàn)指標(biāo)例3－1中，試驗(yàn)?zāi)康氖歉闱宄嗀、B、C對(duì)轉(zhuǎn)化率的影響，試驗(yàn)指標(biāo)為轉(zhuǎn)化率。（2）確定因素－水平表。(3)選用合適的正交表確定因素及水平后，選擇L表有如下幾條原則：a.先看水平數(shù)。如全是2水平，取2水平的表,L4,L8,L16等等；全是3水平，可用L9,L18,L27表；全是4水平，可用L16表；全是5水平，可用L25表。b.依據(jù)試驗(yàn)要求來定L表。如只需考慮因素的主效應(yīng),則可選取較小的表，全部因素能挨次上列即可。假如除考察因素的主效應(yīng)外，還要考察交互作用，則需選較大的L表，因素的支配需參考附錄的表頭設(shè)計(jì)支配。本試驗(yàn)可選取正交表L9(34)支配試驗(yàn)。（4）確定試驗(yàn)方案因素挨次上列，水平對(duì)號(hào)入座。3.5正交試驗(yàn)的直觀分析以例3－1為例?！穹治鰞?nèi)容：3個(gè)因素中，哪些因素對(duì)收益率影響大，哪些因素影響??；假如某個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)影響大，那么它取哪個(gè)水平對(duì)提高轉(zhuǎn)化率有利。利用正交表的“整齊可比”性進(jìn)行分析：從表中可以看出，A1、A2、A3各自所在的那組試驗(yàn)中，其它因素（B、C、D）的1、2、3水平都分別消滅了一次。令Ki表示因素某一水平對(duì)應(yīng)指標(biāo)的加和，ki為Ki的平均值，計(jì)算如下：K1A=31+54+38=123k1A=K1A/3=123/3=41K2A=53+49+42=144k2A=K2A/3=144/3=48K3A=57+62+64=183k3A=K3A/3=183/3=61我們比較K1A、K2A、K3A時(shí)，可以認(rèn)為B、C、D對(duì)K1A、K2A、K3A的影響是大體相同的。于是，可以把K1A、K2A、K3A之間的差異看作是A取了三個(gè)不同水平引起的，這就是正交設(shè)計(jì)的整齊可比性。對(duì)于B、C算法同A，結(jié)果見下表：（1）確定因素的主次將每列的k1、k2、k3中最大值于最小值之差稱為極差。即：第一列（A因素）＝k3A－k1A＝61－41＝20其次列（B因素）＝k2B－k1B＝55－47＝8第三列（C因素）＝k2C－k1C＝57－45＝12極差大，表明該因素的不同水平對(duì)應(yīng)的平均轉(zhuǎn)化率之間的差異大，因而可依據(jù)極差大小直觀看出各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響程度。本例中：因素對(duì)指標(biāo)影響的主次為ACB。（2）確定各因素應(yīng)取的水平指標(biāo)越大越好，應(yīng)當(dāng)選取指標(biāo)最大的水平。從上表可以看出，本試驗(yàn)應(yīng)當(dāng)選取每個(gè)因素中k1、k2、k3最大的那個(gè)水平。即：A3B2C2（3）畫趨勢(shì)圖對(duì)于3水平以上的因素，畫出指標(biāo)－因素圖，以便從圖形上直觀看出試驗(yàn)指標(biāo)隨各因素水平而變化的大致關(guān)系。依據(jù)趨勢(shì)圖有時(shí)可以看出在選定的因素水平范圍內(nèi)，可能有更好的搭配，而這種搭配或許是正交表中所沒有的，因此叫可能好搭配，需試驗(yàn)驗(yàn)證。（4）確定最佳條件原則對(duì)主要因素，選使指標(biāo)最好的那個(gè)水平，于是本例中A選A3，C選C2，對(duì)次要因素，以節(jié)省便利原則選取水平，本例中B可選B2或者B1。于是用A3B2C2、A3B1C2各做一次驗(yàn)證試驗(yàn)，結(jié)果如下：試驗(yàn)號(hào)試驗(yàn)條件轉(zhuǎn)化率(%)12A3B2C2A3B1C27475最終確定最優(yōu)生產(chǎn)條件為A3B1C2.這里還需要說明的是本例在支配因素水平表時(shí)，3個(gè)因素的水平標(biāo)號(hào)都是由小到大的挨次排列的，沒有讓水平編號(hào)隨機(jī)化，以致第1號(hào)試驗(yàn)是把各因素的最小水平搭配在一起進(jìn)行試驗(yàn)。從概率角度考慮，這樣搭配的意義不大。試驗(yàn)結(jié)果也表明第1號(hào)試驗(yàn)轉(zhuǎn)化率最低。例3-2：2,4—二硝基苯肼是一種試劑產(chǎn)品，可用于總抗壞血酸(Vc)含量的測(cè)定。過去的工藝過程長(zhǎng),工作量大且產(chǎn)品經(jīng)常不合格。北京化工廠改革了工藝,接受2,4—二硝基氯化苯(以下簡(jiǎn)稱氯化苯)與水合肼在乙醇作溶劑的條件下合成的新工藝。小的試驗(yàn)已初步成功,但收率只有45%,期望用正交試驗(yàn)法找出好的生產(chǎn)條件,達(dá)到提高生產(chǎn)效率的目的。試驗(yàn)指標(biāo):產(chǎn)率(%)與外觀顏色。A.制定因素水平表因素水平A乙醇用量B水合肼用量C溫度D時(shí)間E水合肼級(jí)別F攪拌速度12200ml0ml2倍1.2倍回流60℃4小時(shí)2小時(shí)精品粗品中速快速B.選擇合適的正交表,確定試驗(yàn)方案將本試驗(yàn)的6個(gè)因素及相應(yīng)水平按因素挨次上列、水平對(duì)號(hào)入座原則,排入L8(27)表中前6個(gè)直列。試驗(yàn)方案如下表。C.結(jié)果分析(1)直接看,牢靠又便利產(chǎn)率越大越好，2號(hào)試驗(yàn)最好，搭配為A2B1C2D2E1F1。這種好條件是通過試驗(yàn)直接找到的，比較牢靠。(2)算一算,重要又簡(jiǎn)潔求出指標(biāo)和、指標(biāo)和平均值及其極差。極差大的是重要因素，極差小的是不重要的因素。本例中E和A相對(duì)都不是很重要的的因素，故本著節(jié)省的原則A和E取2水平。(3)可能好協(xié)作。A2B1C2D2E2F2D．進(jìn)一步正交試驗(yàn)在第一批試驗(yàn)的基礎(chǔ)上,為弄清產(chǎn)生不同顏色的緣由及進(jìn)一步如何提高產(chǎn)率,打算再撒個(gè)小網(wǎng)。做其次批正交試驗(yàn)。(1)制定因素—水平表對(duì)最重要的因素B,應(yīng)詳加考察,從趨勢(shì)上看,隨水合肼用量的增加產(chǎn)率提高?，F(xiàn)打算在好用量?jī)杀兜乃闹?再取1.7倍與2.3倍兩個(gè)新用量連續(xù)試驗(yàn)——這即是有苗頭處著重加密原則。依據(jù)因素水平表，應(yīng)選用L4(23)表。(2)利用正交表確定試驗(yàn)方案（3）試驗(yàn)結(jié)果的分析依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果可以看出，依據(jù)2號(hào)試驗(yàn)投產(chǎn)平均產(chǎn)率超過80%,從未消滅過紫色外形,質(zhì)量達(dá)到出口標(biāo)準(zhǔn)?？傊?這是一個(gè)最優(yōu)方案,達(dá)到了優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低消耗的目的?，F(xiàn)將正交試驗(yàn)法的一般步驟小結(jié)如下:第一步:明確試驗(yàn)?zāi)康?確定試驗(yàn)指標(biāo)。其次步:確定因素—水平表后,選擇合適的正交表,進(jìn)而確定試驗(yàn)方案。第三步:對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析,其中有:1)直接看2)算一算a.各列的K、k和R計(jì)算R(第j列)=第j列中的k1、k2…中最大的減去最小的差。b.畫趨勢(shì)圖(指標(biāo)—因素圖)對(duì)于多于兩個(gè)水平的因素畫指標(biāo)—因素圖。c.比較各因素的極差R,排出因素的主次。3)選取可能好的協(xié)作綜合直接看與算一算這兩步的結(jié)果，并參照實(shí)際閱歷與理論上的生疏選取可能好的協(xié)作。若所選取的可能好的協(xié)作在正交試驗(yàn)中沒有消滅過,則需做驗(yàn)證試驗(yàn)。3.6考慮交互作用的正交試驗(yàn)3.6.1交互作用的概念有些因素間各水平的聯(lián)合搭配對(duì)指標(biāo)也產(chǎn)生影響，我們稱這種聯(lián)合作用為交互作用。例：考慮氮肥（N）和磷肥（P）對(duì)豆類增產(chǎn)的效果，試驗(yàn)結(jié)果如下：從表中可以看出，加4斤磷肥，畝產(chǎn)增加50斤；加6斤氮肥，畝產(chǎn)增加30斤；而同時(shí)加兩種肥料，畝產(chǎn)增加160斤，而不等于分別增加的：50＋30＝80斤。這就是交互作用，記作N×P。這里N×P起加強(qiáng)作用，大小為：（560－400）－（430－400）－（450－400）=80（斤）3.6.2考慮交互作用時(shí)正交表的使用在常用的正交表中，有些只能考察因素本身的效應(yīng)，不能用來考察因素之間的交互作用。但另一些正交表則能夠分析因素之間的交互效應(yīng)。對(duì)于后者，在附表中給出了二列（因素）間的交互作用表。例如L8(27)表就附有其二列間交互作用表，見表3－5。表3－5L8(27)二列間交互作用使用表1234567列號(hào)(1)3254761(2)167452(3)76543(4) 1234(5)325(6)16(7)7如需要查第1列和第2列的交互作用列，則從(1)橫向右看，從(2)豎向上看，它們的交叉點(diǎn)為3。第3列就是1列與2列的交互作用列。假如第1列排A因素，第2列排B因素，第3列則需要反映它們的交互作用A×B，就不能在第3列支配C因素或者其它因素。3.6.3關(guān)于自由度和正交表的選用原則考慮交互作用時(shí)選正交表必需遵循一條原則：要考察的因素及交互作用的自由度總和必需小于所選用正交表的總自由度。有關(guān)自由度的兩條規(guī)定：（1）正交表的總自由度f總＝試驗(yàn)次數(shù)－1；正交表每列的自由度f列＝此列水平數(shù)－1（2）因素A的自由度fA＝因素A的水平數(shù)－1；因素A、B間交互作用的自由度fAxB＝fA×fB3.6.4有交互作用的正交試驗(yàn)及結(jié)果分析例3－3通過正交試驗(yàn)探求乙酰胺苯磺化反應(yīng)試驗(yàn)以提高乙酰胺苯的產(chǎn)率。首先制定因素－水平表。依據(jù)閱歷考慮反應(yīng)溫度與反應(yīng)時(shí)間可能會(huì)有交互作用，另外，反應(yīng)溫度與硫酸濃度也可能會(huì)有交互作用，即考慮A×B、A×C。首先依據(jù)自由度驗(yàn)證能否使用L8(27)表。共有4個(gè)因素及交互作用A×B、A×C，總自由度數(shù)＝4×1＋2×1＝6。而L8(27)共有8－1＝7個(gè)自由度，因此可以使用該表。把需要試驗(yàn)的各因素的各水平依據(jù)交互作用使用表支配入正交表內(nèi)肯定列：(1)考慮交互作用的因素A和B，將A放第1列，B放第2列。則由L8(27)的交互作用表查得A×B在第3列，這樣C因素就不能放在第3列了。(2)將C放在第4列，此時(shí)A×C由L8(27)的交互作用表查得占第5列，第6、7列為空，D可排其中任意一列，我們將其排在第6列，這樣得到如下表頭：表頭設(shè)計(jì)ABA×BCA×CD列號(hào)1234567假如例3-3中交互作用A×B、A×C、A×D、B×C、B×D、C×D都要考慮，假如我們?nèi)允褂肔8(27)來支配試驗(yàn)，則表頭設(shè)計(jì)如下：表頭設(shè)計(jì)ABA×BCA×CA×DC×DB×DB×CD列號(hào)1234567這樣就產(chǎn)生了混雜，是不合理的。4因素及6個(gè)交互作用，自由度總和為4×1＋6×1＝10，而L8(27)表卻只有8－1＝7個(gè)自由度，容納不下，只能選用更大正交表的L16(215)來做表頭設(shè)計(jì)，如下所示：表頭ABA×BCA×CB×CDA×DB×DC×D列號(hào)1234567891011127，11，13，14，15均擔(dān)憂排因素。表頭設(shè)計(jì)的重要原則：交互作用也可以看作影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素，總因素不能超過正交表的列數(shù)，假如要進(jìn)行方差分析，則至少要空余1列擔(dān)憂排因素；凡是可以忽視的交互作用完量刪除，一般使用較小的正交表來制定試驗(yàn)方案，以削減試驗(yàn)次數(shù)。試驗(yàn)方案及計(jì)算結(jié)果見下表：從極差可以看出，因素和交互作用主次為：由極差知，A×C是次要因素，可不必考慮。A×B、C是重要因素，A是較重要因素，B、D是次重要因素，它們對(duì)指標(biāo)的影響較大，對(duì)其水平的選取按下列原則：(1)不涉及交互作用的因素（或交互作用不考慮的因素）它的水平選平均值中指標(biāo)較好的水平；(2)有交互作用的因素，它的水平的選取無法單獨(dú)考慮，需要畫出二元表和二元圖，進(jìn)行比較后再選擇對(duì)指標(biāo)優(yōu)先的水平。A與B間有交互作用，二元表和二元圖如下：可以看出，A1B2（50℃，2小時(shí)）平均產(chǎn)率較高，與A2B1（70℃，1小時(shí)）產(chǎn)率差不多，從提高工效來看，A2B1比用A1B2好，由于時(shí)間可以削減一半。于是得到最好條件為：A2B1C2D2本節(jié)小結(jié)(1)在支配表頭時(shí)，應(yīng)使要考慮的交互作用和因素不致發(fā)生混雜；(2)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算后，在優(yōu)選各個(gè)因素的水平常，對(duì)有交互作用的因素，它們的水平不能單獨(dú)考慮，必需用二元表和二元圖進(jìn)行綜合考慮。3.7正交試驗(yàn)的方差分析在正交試驗(yàn)的直觀分析中，極差分析雖然能看出因素影響的重要程度，但不能估量試驗(yàn)因素及試驗(yàn)結(jié)果測(cè)定中必定存在的誤差(偶然誤差)的大小。為了彌補(bǔ)這個(gè)缺點(diǎn)，可接受方差分析的方法。正交試驗(yàn)方差分析法基本思想與2.8.2方差分析方法全都，即利用差方和的加和性，將總的差方和分解成各因素及各交互作用的差方和，對(duì)每個(gè)因素的差方和相對(duì)于試驗(yàn)隨機(jī)誤差的差方和構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量，通過F檢驗(yàn)判定各因素是否對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)具有顯著影響。因素的水平數(shù)以p表示，每個(gè)水平在列中的重復(fù)次數(shù)以r表示。3.7.1無交互作用正交方差分析以例3－1為例。試驗(yàn)支配及結(jié)果見下表：(1)總平方和等于各列的平方和總差方和QT是n次試驗(yàn)結(jié)果的差方和。(3-1)依據(jù)差方和加和性原理：QT=QA+QB+QC+Qe(3-2)fT=fA+fB+fC+fe(3-3)(2)因素差方和及方差的計(jì)算在正交表中每一個(gè)因素都和每一列相對(duì)應(yīng)，由于正交表的整齊可比和均衡分散的特點(diǎn)，各列差方和的計(jì)算完全一樣。設(shè)Ki表示因素相應(yīng)第i個(gè)水平r個(gè)數(shù)據(jù)之和，則K＝K1+K2+…＋Kp（3-4）該列的差方和(3-5)相應(yīng)的自由度f=p-1(3-6)相應(yīng)的方差S2＝Q/f(3-7)在例3－1中，第4列沒有支配因素，該列就反映試驗(yàn)誤差。計(jì)算結(jié)果見下表：方差分析在將F值和臨界值比較時(shí)，若F>F0.05，則因素影響特殊顯著，記為“**”；F0.05≥F>F0.10，則因素影響顯著，記為“*”;F0.10≥F>F0.25，則該因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有肯定影響，記為“△”；F0.25≥F，則看不出該因素對(duì)指標(biāo)有什么影響。本例分析結(jié)果見下表：3.7.2有交互作用正交方差分析當(dāng)任意兩因素之間(如A與B）存在交互作用而且顯著時(shí)，則不論因素A、B本身的影響是否顯著，A和B的最佳因素都應(yīng)從A與B的搭配中去選擇。例3－4某分析試驗(yàn)，其測(cè)定值受A、B、C三種因素的影響，每個(gè)因素取兩個(gè)水平，由于因素間存在交互作用，在設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案時(shí)，可選用L8(27)表，試驗(yàn)支配結(jié)果如下表。（試驗(yàn)指標(biāo)要求越小越好）將計(jì)算結(jié)果列成以下方差分析表。由于因素A、A×B、B×C的差方和甚至小于試驗(yàn)誤差，故可以與試驗(yàn)誤差的差方和合并，這樣可以提高方差分析的靈敏度。方差分析表明，在選擇最優(yōu)試驗(yàn)條件時(shí)主要取決于有顯著影響的B、C、A×C。本例中，指標(biāo)值越小越好，故B可取B2。A和C存在顯著的交互作用，可通過二元表和二元圖來確定其最優(yōu)搭配。由圖可知，A2C1最好,故最佳試驗(yàn)條件為A2B2C1，這正好是第7號(hào)試驗(yàn)。事實(shí)上，從試驗(yàn)結(jié)果看，它的效果也最好。3.8混和水平的正交設(shè)計(jì)例3－3為了探究某膠壓板的制造工藝，因素—水平見下表：因素水平A壓力（公斤）B溫度（℃）C時(shí)間（分）123481011129590912此試驗(yàn)方案可以直接套用混和正交表L8(4×24)，試驗(yàn)方案及計(jì)算結(jié)果見下表。方差分析方法同3.7節(jié)，需要留意的是各因素的p、r值是不同的。對(duì)于有混和水平的問題，除了直接應(yīng)用混和水平的正交表外，還可以將原來已知正交表加以適當(dāng)?shù)母脑欤玫叫碌幕旌退降恼槐?。L8(4×24)表就是由L8(27)改造而來：（1）首先從L8(27)中任憑選兩列，例如1、2列，恰好4種不同搭配即(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)各消滅兩次，我們把每種搭配重新編號(hào)作為一個(gè)新的水平，合并成一個(gè)新列：檢查這張新表各列之間搭配是否均衡。可以發(fā)覺新列的4個(gè)水平和第4，5，6，7各列的2個(gè)水平之間的搭配都是均衡的，各種搭配均消滅1次。但是新列和第3列的搭配是不均衡的，（1，1），（2，2），（3，2），（4，1）各消滅1次，而（1，2），（2，1），（3，1），（4，2）則不消滅。第3列是第1，2列的交互作用列，假如把第3列刪去，并且把列號(hào)按挨次改寫成1，2，3，4，5列，即得L8(4×24)表。由此可見，選定了兩列合并成新列后，新列和原有的其它列通常會(huì)有因搭配不均衡而需要?jiǎng)h除的列，該列即被合并兩列的交互作用列。明顯，新的表L8(4×24)仍舊是一張正交表，不難驗(yàn)證，它仍舊具有正交表均衡分散、整齊可比的性質(zhì)。3.9擬水平正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)擬水平法是將水平數(shù)少的因素納入水平數(shù)多的正交表中的一種設(shè)計(jì)方法，即將水平數(shù)少的因素的某些水平重復(fù)，使之與別的因素水平數(shù)相等。這樣重復(fù)的水平只是形式上假設(shè)的水平，故稱擬水平。接受擬水平的試驗(yàn)，正交表的均衡搭配性質(zhì)會(huì)遭到破壞，它的好處是可以不接受大的正交表，從而少做試驗(yàn)。對(duì)例3－1的轉(zhuǎn)化率試驗(yàn)，假如除已考慮的溫度（A）、時(shí)間（B）、用堿量（C）外還要考慮攪拌速度（D）的影響，而電磁攪拌器只有快慢兩擋，即因素D只有兩個(gè)水平，這是一項(xiàng)四因素的混合水平試驗(yàn)，假如套用現(xiàn)成的正交表，則以L18（21×37）為宜，但由于人力物力所限，18次試驗(yàn)太多了，能否用L9(34)來支配呢？這是可以的，解決的方法給攪拌速度湊足三個(gè)水平。我們讓攪拌速度快的（或慢的）一檔多重復(fù)一次，湊成三個(gè)水平。制定因素水平表如下：試驗(yàn)及計(jì)算結(jié)果如下：計(jì)算得QD＝4.5，由于差方和及自由度的加和性，Qe＝QT－QA-QB-QC-QDfD=1fe＝fT－fA-fB-fC-fD=8-2-2-2-1=1明顯，因素D的影響是不顯著的，可將它與誤差合并，因此方差分析表與例3-1的方差分析表完全一樣。通過此例我們可看到擬水平法有如下特點(diǎn)：（1）每個(gè)水平的試驗(yàn)次數(shù)不一樣。轉(zhuǎn)化率的試驗(yàn)，D1的試驗(yàn)有6次，而D2的試驗(yàn)只有3次。通常把估計(jì)比較好的水平試驗(yàn)次數(shù)多一些，估計(jì)比較差的水平試驗(yàn)次數(shù)少一些。（2）自由度小于所在正交表的自由度，因此D占了L9(34)的第四列，但它的自由度fD=1小于第四列的自由度（f=2）。就是說，D雖然占了第四列，但沒有占滿，沒有占滿的地方就是試驗(yàn)誤差。（3）因素D由于和其他因素的水平數(shù)不同，用極差R來比較因素的主次是不恰當(dāng)?shù)摹５梅讲罘治龇ㄈ阅艿玫嚼慰康慕Y(jié)果。（4）雖然擬水平法擴(kuò)大了正交表的使用范圍，但值得留意的是，正交表經(jīng)擬水平改造后不再是一張正交表了，它失去了各因素的各水平之間的均衡搭配的性質(zhì)，這和混和水平正交法是不同的。3.10多指標(biāo)問題的處理衡量試驗(yàn)效果的指標(biāo)只有一個(gè)稱為單指標(biāo)試驗(yàn)；衡量試驗(yàn)效果的指標(biāo)有多個(gè)則稱為多指標(biāo)試驗(yàn)。多個(gè)指標(biāo)之間可能存在肯定的沖突，這時(shí)需要兼顧各個(gè)指標(biāo)，查找使得每個(gè)指標(biāo)都盡可能好的生產(chǎn)條件。3.10.1綜合評(píng)分法在對(duì)各個(gè)指標(biāo)逐個(gè)測(cè)定后，依據(jù)由具體狀況確定的原則，對(duì)各個(gè)指標(biāo)綜合評(píng)分，將各個(gè)指標(biāo)綜合為單指標(biāo)。此方法關(guān)鍵在于評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)要合理。例3－4某生產(chǎn)廠原來生產(chǎn)中核酸的得率太低，成本太高，甚至造成虧損。試驗(yàn)?zāi)康氖翘岣吆?，查找好的工藝條件。因素－水平表見下表：原料中核酸含量（％）腌制時(shí)間（小時(shí)）加熱時(shí)PH值加水量1237.48.46.224404.86.09.01:41:31:2評(píng)價(jià)指標(biāo)既要核酸泥的純度，又要有足夠的純核酸回收率，接受綜合評(píng)分法確定綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)：分?jǐn)?shù)＝2.5×純度＋0.5×回收率式中2.5和0.5稱為權(quán)重因子，一般依據(jù)相應(yīng)單個(gè)指標(biāo)的作用權(quán)重結(jié)合閱歷來選取。試驗(yàn)方案及結(jié)果分析見下表：從極差可以看出，因素的主次為：A→D→B→C。所以，原料中核酸含量A取A2，加水量D取D1，PH值選取便于操作的水平C2，腌制時(shí)間B取B3，故，最優(yōu)條件為：A1B3C2D1。事實(shí)上，試驗(yàn)結(jié)果也證明，上述最優(yōu)條件效果很好。投產(chǎn)后核酸質(zhì)量得到顯著提高，做到了不經(jīng)提純一次可以入庫。3.10.2綜合平衡法對(duì)于某些多指標(biāo)試驗(yàn)，可以接受綜合平衡法。即首先對(duì)各個(gè)指標(biāo)進(jìn)行分析，與單指標(biāo)的分析方法完全一樣，找出各個(gè)指標(biāo)的最優(yōu)生產(chǎn)條件。然后將各個(gè)指標(biāo)的最優(yōu)生產(chǎn)條件綜合平衡，找出兼顧每個(gè)指標(biāo)都盡可能好的條件。例3－5液體葡萄糖生產(chǎn)工藝最佳條件選取。試驗(yàn)?zāi)康模荷a(chǎn)中存在的主要問題是出率低，質(zhì)量不穩(wěn)定。經(jīng)過問題分析，認(rèn)為影響出率、質(zhì)量的關(guān)鍵在于調(diào)粉、糖化這兩個(gè)工段，打算將其它工段的條件固定，對(duì)調(diào)粉、糖化的工藝條件進(jìn)行探究。試驗(yàn)評(píng)價(jià)指標(biāo)為：（1）出率：越高越好（2）總還原糖：在32％－40％之間（3）明度：比濁度越小越好，不得大于300mg/l（4）色澤：比色度越小越好，不得大于20ml。制定因素水平表如下：選用L9(34)表進(jìn)行試驗(yàn)，分別考察出率（產(chǎn)量）、總還原糖、明度、比濁度、色澤這4個(gè)指標(biāo)，得到相應(yīng)的試驗(yàn)指標(biāo)及計(jì)算結(jié)果如下：四個(gè)因素對(duì)四個(gè)指標(biāo)的主次關(guān)系為：產(chǎn)量：D——C——A——B還原糖：B——D——A——C明度：A——B——C——D色澤：B——A——C——D因素A、B各水平對(duì)產(chǎn)量和還原糖的影響區(qū)分不大，假如僅考慮這兩個(gè)指標(biāo)，最優(yōu)條件為A3B1，這樣的條件所得產(chǎn)品不符合據(jù)明度、色澤的指標(biāo)要求，故將最優(yōu)條件調(diào)整為A2B2。工作壓力D對(duì)產(chǎn)量影響最大，取D3最好。但它的色澤不好，用D2產(chǎn)量會(huì)低一些，但其余指標(biāo)都還比較好，因此確定為D2。穩(wěn)壓時(shí)間對(duì)四個(gè)指標(biāo)來說，對(duì)產(chǎn)量影響最大，對(duì)還原糖沒有什么影響，對(duì)明度、色澤影響也不大，照看產(chǎn)量應(yīng)選C2＝5分鐘。但此時(shí)色澤、明度都不好，考慮將時(shí)間延長(zhǎng)一些，定為5～7分鐘。最終得出最優(yōu)條件為A2B2C2D2，驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果表明接受這樣的條件后各項(xiàng)指標(biāo)都有明顯提高。本章練習(xí)題習(xí)題1利用原子吸取測(cè)定鋁合金中痕量鐵，需要以下3個(gè)因素的最佳條件：A酸度，B絡(luò)合劑(8-羥基喹哪啶)濃度，C釋放劑(鍶鹽)濃度。利用L9(34)支配試驗(yàn)，因素水平及試驗(yàn)結(jié)果見下表，試用直觀分析及方差分析方法對(duì)因素進(jìn)行分析，并確定出最優(yōu)條件。因素－水平表因素水平ABC酸度(1:1HCl)0.5%8-羥基喹哪啶20mg/ml鍶鹽1234ml7ml10ml3ml6ml9ml1ml9ml17ml正交支配及試驗(yàn)結(jié)果表因素試驗(yàn)號(hào)ABC試驗(yàn)結(jié)果吸光度值123456789L9(34)0.130.150.200.220.290.170.210.190.19習(xí)題2爭(zhēng)辯某三因素二水平體系，選取L8(27)表支配試驗(yàn)，試驗(yàn)方案及結(jié)果見下表，指標(biāo)值越大越好。試分析因素A、B、C及其交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響，并確定最優(yōu)條件。4優(yōu)選法基礎(chǔ)(OptimumSeekingMethod)優(yōu)選法是盡可能少做試驗(yàn)，盡快地找到生產(chǎn)和科研的最優(yōu)方案的方法。優(yōu)選法的應(yīng)用在我國從70年月初開頭，首先由我國數(shù)學(xué)家華羅庚等推廣并大量應(yīng)用，優(yōu)選法也叫最優(yōu)化方法。4.1單因素優(yōu)選法假如在試驗(yàn)時(shí)，只考慮一個(gè)對(duì)目標(biāo)影響最大的因素，其它因素盡量保持不變，則稱為單因素問題。一般步驟：（1）首先應(yīng)估量包含最優(yōu)點(diǎn)的試驗(yàn)范圍假如用a表示下限，b表示上限，試驗(yàn)范圍為[a，b]（2）將試驗(yàn)結(jié)果和因素取值的關(guān)系寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式不能寫出表達(dá)式時(shí)，就要確定評(píng)定結(jié)果好壞的方法。為便利起見，僅爭(zhēng)辯目標(biāo)函數(shù)為f（x）的狀況。4.1.1平分法假如在試驗(yàn)范圍內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)單調(diào)(如圖4-1所示)，則可以選用此法。平分法的作法為：總是在試驗(yàn)范圍的中點(diǎn)支配試驗(yàn)，中點(diǎn)公式為：圖4-1單調(diào)函數(shù)示意圖平分法的作法為：總是在試驗(yàn)范圍的中點(diǎn)支配試驗(yàn)，中點(diǎn)公式為：（4-1）依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，如下次試驗(yàn)在高處（取值大些），就把此試驗(yàn)點(diǎn)（中點(diǎn)）以下的一半范圍劃去；如下次試驗(yàn)在低處（取值小些），就把此試驗(yàn)點(diǎn)（中點(diǎn)）以上的一半范圍劃去，重復(fù)上面的試驗(yàn)，直到找到一個(gè)滿足的試驗(yàn)點(diǎn)。下面通過一個(gè)例子來說明平分法。例4－1乳化油加堿量的優(yōu)選（用循序試驗(yàn)法）高級(jí)紗上漿要加些乳化油脂，以增加松軟性，而油脂乳化需加堿加熱。某紡織廠以前乳化油脂加燒堿1％，需加熱處理4小時(shí)，但知道多加堿可以縮短乳化時(shí)間，堿過多又會(huì)皂化，所以加堿量?jī)?yōu)選范圍為1－4.4％第一次加堿量（試驗(yàn)點(diǎn)）：2.7%=(1%+4.4%)/2，有皂化，說明堿加多了，于是劃去2.7%以上的范圍；其次次試驗(yàn)加堿量（試驗(yàn)點(diǎn)）：1.85%=(1%+2.7%)/2，乳化良好；第三次，為了進(jìn)一步削減乳化時(shí)間，不考慮少于1.85%的加堿量，而取2.28%=(1.85%+2.7%)/2，乳化仍舊良好，乳化時(shí)間削減1小時(shí)，結(jié)果滿足，試驗(yàn)停止。4.1.2黃金分割法（0.618法）對(duì)于一般的單峰函數(shù)(如圖4-2)，我們可以接受此法。圖4-2單峰函數(shù)示意圖0.618法的作法為：第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)x1設(shè)在范圍（a，b）的0.618位置上，其次個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)x2取成x1的對(duì)稱點(diǎn)，即：（4-2）（4-3）試驗(yàn)點(diǎn)的選擇示意圖見圖4-3所示。圖4-3黃金分割試驗(yàn)點(diǎn)選擇示意圖假如用f(x1)和f(x2)分別表示x1和x2上的試驗(yàn)結(jié)果，有兩種情形：第一種，假如f(x1)比f(x2)好，x1是好點(diǎn)，于是把試驗(yàn)范圍（a，x2）劃去剩下（x2，b）；其次種，假如f(x1)比f(x2)差，x2是好點(diǎn)，于是把試驗(yàn)范圍（x1，b）劃去剩下（a，x1），下一步是在余下的范圍內(nèi)查找好點(diǎn)。依據(jù)（4-2）和（4-3）式，對(duì)于第一種情形，x1的對(duì)稱點(diǎn)x3計(jì)算公式為：x3=x2+b-x1(4-4)對(duì)于其次種情形，x2的對(duì)稱點(diǎn)x3計(jì)算公式為：x3=a+x1-x2(4-5)假如f(x1)和f(x2)一樣，則應(yīng)具體分析，看最優(yōu)點(diǎn)可能在哪一邊，再打算取舍。一般狀況下可以同時(shí)劃去（a，x2）和（x1，b），在（x2,x1）內(nèi)重新支配試驗(yàn)。重復(fù)進(jìn)行以上過程，直至找出滿足的點(diǎn)，得出比較好的試驗(yàn)結(jié)果；或者留下的試驗(yàn)范圍已經(jīng)很小，再做下去試驗(yàn)范圍差別不大時(shí)也可中止試驗(yàn)。例4-2煉某種合金鋼，需添加某種化學(xué)元素以增加強(qiáng)度，加入范圍是1000－2000克，求最佳加入量第一步:先在試驗(yàn)范圍長(zhǎng)度的0.618處做第（1）個(gè)試驗(yàn)，由公式（4-3）可知x1=a+(b-a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克其次步：由公式（4-3）計(jì)算第（2）個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。x2=2000+1000-1618=1382克第三步：比較（1）與（2）兩點(diǎn)上所做試驗(yàn)的效果，現(xiàn)在假設(shè)第（1）點(diǎn)比較好，就去掉第（2）點(diǎn)，即去掉[1000,1382]那一段范圍。留下[1382,2000]，由（4－4）式可知x3=1383+2000-1618=1764克第四步：比較在上次留下的好點(diǎn)，即第（1）處和第（3）處的試驗(yàn)結(jié)果，看那個(gè)點(diǎn)好，然后就去掉效果差的那個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)以外的那部分范圍，留下包含好點(diǎn)在內(nèi)的那部分范圍作為新的試驗(yàn)范圍，……如此反復(fù)，直到得到較好的試驗(yàn)結(jié)果為止。可以看出每次留下的試驗(yàn)范圍是上一次長(zhǎng)度的0.618倍，隨著試驗(yàn)范圍越來越小，試驗(yàn)越趨于最優(yōu)點(diǎn)，直到達(dá)到所需精度即可。4.2多因素方法——降維法多因素問題：首先對(duì)各個(gè)因素進(jìn)行分析，找出主要因素，略去次要因素，劃“多”為“少”，以利于解決問題。4.2.1等高線法又叫坐標(biāo)輪換法，方法如下：（1）固定其中一個(gè)因素在適當(dāng)?shù)奈恢?，或者放?.618處，對(duì)另外一個(gè)因素使用單因素優(yōu)選法，找出好點(diǎn)（2）固定該因素于好點(diǎn)，反過來對(duì)前一個(gè)因素使用單因素優(yōu)選法，選出更好點(diǎn)，如此反復(fù)?，F(xiàn)通過一個(gè)例子加以說明。例4-3阿