異面直線所成的角同步練 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

異面直線所成的角一、單選題1.直三棱柱ABC?A1B1C1中所有棱長均相等，M，N分別為A1110 B.3C.710 D.2.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A.π2 B.π3 C.π43.已知正六棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，則這個棱柱側(cè)面的對角線E1D與A.90° B.60° C.4.在正方體ABCD?A1BA.直線B1C與直線AC所成的角為B.直線B1C與平面AC.直線B1C與直線AD.直線B1C與直線AB5.三棱錐D?ABC中，∠ACD=2∠ACB=120°，CD=2BC，則異面直線AC與A.30° B.45° C.二、填空題6.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥AB，A第6題第7題7.如圖，已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長為2，高為8.將正方形ABCD沿對角線AC折疊，使∠BAD=45°，此時異面直線AD和BC所成角的余弦值為____．9.已知A，B，C三點都在以PA為直徑的球O的表面上，AB⊥BC，AB=3，BC=4，若球O的體積為113310.已知正四面體ABCD中，M為AB中點，則CM，AD所成角的余弦值為____.11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形且斜邊BC=2，D是BC的中點．若AA1=2，則異面直線A1B與AD所成的角為____．三、解答題12.如圖，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，且AC=AA1．（1）求證：AB⊥A1C；（2）求異面直線A1C與BB1所成角的大?。?3.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC(1)求異面直線A1C與(2)求A1C與平面14.如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)棱PB與底面所成的角為π(1)求三棱錐P?ABC的體積V；(2)若D為PB的中點，求異面直線PA與CD所成角的大小.答案和解析1.【答案】C【解析】取BC的中點D，連接AD，ND，MN，∵MN∥B1C1，MN=12

∴MN∥BD，且MN=BD，∴四邊形BDNM是平行四邊形，∴DN∥BM，∴BM與AN所成的角等于∠AND令A(yù)B=2，則AD=3，AN=DN=

∴cos∠AND=2.【答案】D【解析】如圖，∠PBC1為異面直線PB易知△A1BC1為正三角形，又P3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】B【解析】設(shè)CD=2BC=2m,..由于∠ACB+∠ACD=180°，將側(cè)面ACD沿AC展開到平面ABC，則三點B、C、D共線，又此三棱錐可看成將△ACD沿直線AC翻折而成的，故不難可得設(shè)異面直線AC與BD所成的角為θ，則，即θ∈(π66.【答案】6【解析】依題意，得BC∥B故異面直線A1C與B1C1連接A1∵AA1⊥AB，∴∴在△A1BC中，BC=即異面直線A1C與B17.【答案】28.【答案】2?【解析】不妨設(shè)AD=1．在△ABD中，由余弦定理可得：BD2=2-2cos45°=2-2．根據(jù)BD→=BC→+CA→解：如圖所示，不妨設(shè)AD=1．在△ABD中，由余弦定理可得BD2=2-2cos45°=2-2．∵BD→=BC→+CA→∴BD→2=BC→2+CA→2+AD→2+2BC→?CA∴2-2=1+2+1+22cos135°+2cosAD→，BC化簡得cosAD→，BC∴此時異面直線AD和BC所成角的余弦值為2?2故答案為：2?29.【答案】4解：∵A，B，C三點都在以PA為直徑的球O的表面上，AB⊥BC，AB=3，BC=4，∴△ABC的外心O′是AC的中點，由球的性質(zhì)得OO′⊥平面ABC.∵球O的半徑R=OA，而球O的體積為43πR3=∵AC=32+42=5取AB的中點E，BC的中點F，連接OE，OF，O′E，O′F，EF.由三角形的中位線定理可得OE∥PB，EF∥AC.設(shè)PB與AC所成角為θ，則∠OEF=θ或π?θ，由已知求解直角三角形可得EF=52，OE=6，OF=17在△OEF中，cos∠OEF=(6∴異面直線PB與AC所成角θ的余弦值為46故答案為：4610.【答案】3解：取BD中點N，連接MN，CN，設(shè)正四面體ABCD棱長為2，∵M為AB中點，∴MN∥AD，且MN=12∴∠CMN是CM，AD所成角（或所成角的補角），CM=CN=22?1∴cos∠CMN=CM2+MN2∴CM，AD所成角的余弦值為36故答案為：3611.【答案】π3解：如圖，以點A為原點，直線AB，AC，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)ΔABC為等腰直角三角形可得AB=2A1(0，0，2∴A1B→∴cos＜A1B→，∴A1B→與AD∴異面直線A1B與AD所成的角為π312.解：（1）證明：側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，可得AB⊥AA1，又∵AB⊥AC，AC∩AA1=A，∴AB⊥平面AA1C1C，且A1C?平面AA1C1C，∴AB⊥A1C.（2）解：因為幾何體是棱柱，BB1∥AA1，則直線A1C與AA1所成的角就是異面直線A1C與BB1所成的角．直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，AC=AA1，∴三角形CAA1是等腰直角三角形，∠A∴異面直線A1C與BB1所成角的大小為45°．【解析】（1）通過直線與平面垂直，證明直線與直線垂直即AB⊥A1C；（2）異面直線A1C與BB1所成角即A1C與AA1所成角，在直角三角形中求解異面直線所成角即可．13.(1)取A1C1的中點G，AC連接GF，GE，GH，HE，BC1在△A1∵G是A1E是C1∴GF∥A1C∴∠GFE即為異面直線A1CA1GF=1C1EF是△BCC1的中d位線，又EH是△ABC的中位線，HE=∵GF∴∠GFE=∴異面直線A1C與EF的所成角為(2)以A為坐標(biāo)原點，AB→方向為x軸正方向，AC→方向為y軸正方向，AA1A1(0,0,2)，C(0,2,0)，A(0,0,0)，E(1,1,0)，A1C→=(0,2,?2)，AE設(shè)平面AEF的一個法向量n=(x,y,z)AE→⊥n令y=?1，n=(1,?1,2)設(shè)A1C與平面AEF所成角為sinα=|cos?A1∴A1C與平面AEF14.(1)解：∵PA⊥底面ABC，∴∠PBA為側(cè)棱PB與底面所成的角，即∠∴PA=AB=2