無窮級數(shù)知識點

無窮級數(shù)級數(shù)收斂充要條件：部分和存在且極值唯一，即：氣=lim￡uk存在，稱級數(shù)收斂。nT8,,

k=1若任意項級數(shù)￡u收斂，￡u|發(fā)散，則稱￡u條件收斂，若￡u|收斂，則稱級數(shù)￡u絕n n n n nn=1 n=1 n=1 n=1 n=1對收斂，絕對收斂的級數(shù)一定條件收斂。.2.任何級數(shù)收斂的必要條件是limu廣0nT33.若有兩個級數(shù)￡un和￡匕，￡u廣S,￡匕2n=1 n=1 n=1 n=1①黨(u①黨(u土V)=s±b，n=1〔￡\

n=1"r\￡Vk1nJn=1s?b②￡u收斂，￡v發(fā)散，則￡(u+v)發(fā)散。n n nnn=1 n=1 n=1③若二者都發(fā)散，則￡(un+七)不確定，如￡1,￡(-1)發(fā)散，而￡(1-1)=0收斂。n=1 k=1k=1 k=14.三個必須記住的常用于比較判斂的參考級數(shù)：a)等比級數(shù):n=0—，收斂,|1一r發(fā)散,|r>1a)等比級數(shù):n=0—，收斂,|1一r發(fā)散,|r>1b)P級數(shù):￡_!npn=1收斂，p>1發(fā)散，P<1c)對數(shù)級數(shù):5.三個重要結(jié)論①￡=n=21nInpn收斂，p>1

發(fā)散，p<1￡(a-a)收斂=lima存在,nn1 nsn-n=1 正項(不變號)級數(shù)￡七收n￡a：收，反之不成立|，③￡a2和￡b2都收斂n￡|ab|收，￡些J或￡七收nn nn n n6.常用收斂快慢正整數(shù)lnn—na(a>0)—an(a>1)—n!—nn由慢到快

連續(xù)型lnx—xa(a>0)—ax(a>1)—xx 由慢到快正項（不變號）級數(shù)斂散性的判據(jù)與常用技巧 u \1<1,收 _1.|達朗貝爾比值法|lim"=lU>1,發(fā)（實際上導(dǎo)致了lim旦。0）nsU nT+8nn l=1,單獨討論（當(dāng)?shù)檫B乘時）n1<1,收上□甘二、42.柯西根值法lim^^ns=l“>1,2.柯西根值法lim^^nsl=1,單獨討論3.比階法①代數(shù)式un<七n￡)收斂n￡u收斂,3.比階法①代數(shù)式un<七n￡)收斂n￡u收斂,￡u發(fā)散n￡v發(fā)散n=1n nn=1 n=1nn=1②極限式UA

lim—n—A,nT3Vn其中:￡U和、v都是正項級數(shù)。n=1 n=11[n+1

^=ln nu、.：nn-1n—2_1=31n+1 1ln ——=n-1 <n(ln1+V2? ,3n2￡Jn里dxn0<u=J。三dx<Jn.^dx=-x—，也可選用基準級數(shù)黨—就可知原級o1+x2 n01+x2 0 33 3n=1 n2 n=1n28、任意項級數(shù)的斂散性的判據(jù)與常用技巧?萊布尼茨判交錯?。ㄈ我忭椉墧?shù)的特例）①limu〃=0②七>"“尸￡（-1）n,收斂。En—3 八（-1）nun必發(fā)散，若只有②不滿足，則0不一定收斂還是發(fā)散，要使用絕對收斂判別其斂散性「°?任意項級數(shù)判斂使用絕對值，使之轉(zhuǎn)換為正項級數(shù)，即絕對收斂、條件收斂或發(fā)散。?任意項級數(shù)判斂的兩個重要技巧：（a）微分積分法。換成連續(xù)變量，再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。（b）k階無窮小試探法。在不能估計出通項的無窮小階次時，使用該試探法，冪級數(shù)芝a(x-x)n1.阿貝爾（Abel1.阿貝爾（Abel）定理如果級數(shù)￡axn當(dāng)x=x，一? 1 —-x0。0,因為x0=0n*"2—0顯然收斂1點收斂，則級數(shù)在圓域

同<1*1內(nèi)絕對收斂；如果級數(shù)、anxn當(dāng)x=氣點發(fā)散，則級數(shù)在圓域X>|氣|外發(fā)散。由阿貝n=0爾(Abel)定理可見收斂點集或發(fā)散點集是分別連接成對稱連續(xù)區(qū)域，這一定理是引入幕級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域概念的理論依據(jù)。注意，除x=X0(%。0)外，該定理并沒有完全保證圓上每一點的斂散性，正確理解阿貝爾定理是學(xué)好幕級數(shù)的關(guān)鍵。如推論：如果、官不是僅在x=0一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個確n=0定的正數(shù)R存在，使得：10.幕級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域已知黨a(x-x)n，若p=limcn 0 n—sn已知黨a(x-x)n，若p=limcn 0 n—sn=0a—n+4-

anlimn—sa—n￥1anx-x|=p|x-x. 1 a<1收斂n|x-x|<—=R=lim—n-0P n—san+1收斂。?收斂半徑R:1「—=limPn—sR=+sn全平面收斂，a n—an-v1R=0n只有一個收斂點x=0,p^0p=0P=+s?收斂區(qū)間(x-R,x+R):級數(shù)在lx-x<Rnxc(x-R,x+R)收斂；幕級數(shù)的收斂區(qū)TOC\o"1-5"\h\z0 0 1 0 0 0間是非空點集，對a(x-x)n至少在x=x處收斂，對￡axn至少在x=0處收斂。由阿貝爾n 0 0 nn=0 n=0定理可以推出：幕級數(shù)的條件收斂點只能位于收斂區(qū)間端點。?收斂域：由于級數(shù)在收斂區(qū)間的端點上(收斂半徑 R上)收斂性待定，故收斂域是(x—R,x+R)、［x—R,x+R)、(x—R,x+r］或［x—R,x+R］四種情況之一。0 0 0 0 0 0 0 0在收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)⑴￡axn的和函數(shù)f(x)連續(xù)并有任意階導(dǎo)數(shù);nn=0(2)￡可逐項微分f\x)=(￡axn)，=￡naxn-in=0 n=0 n=1n=0￡可逐項積分fxf(x)dx=￡(fxaxndx)=￡--^^xn+10 0n n+1

n=0(4)黨axn絕對收斂。nn=011.利用泰勒公式可將常用初等函數(shù)展開成幕級數(shù)一泰勒級數(shù)展開的充要條件是泰勒公式中余項(包括拉氏余項，佩亞若余項)為零。以下是幾個常用的麥克勞林展開結(jié)論。①上=￡uue(-1,1)1—un=0②上=￡(-1)n"n Ue(-1,1)1+un=0unnn=0④Sinu=E(—1)nu2"+1(2n+1)!n=0⑤cosu=E(—1)nu2n+1TOC\o"1-5"\h\zn=0 (2n)!⑥ln(1+u)=E(—1)n—1也52=Ed ue(—1,1]n nn=1 n=1⑦(1+u)壹些n=ECu.n=0 n=0尸、 vgu2n+1⑧tanu=E 2n+1n=0_ V(—1)nu2n+1 1⑨arctanu=" =u一一u3+…2n+1 3yxJnxn=yxJnxn=7 xi(1—x》n=1E1E1e=J—=Jr vn! (n+1)!n=0 n=1x<1)E^n=—ln(1—x)nn=1e—1=E(—1》「EC*—n! (n+1)!n=0 n=15.冪級數(shù)求和方法?函數(shù)項級數(shù)求和方法一般先求收斂域，然后逐次積分或微分，利用上述10各泰勒級數(shù)結(jié)論進行零部件組裝?數(shù)項級數(shù)求和方法構(gòu)造輔助幕級數(shù)法。付立葉級數(shù)周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù).f⑴為在［-/,l］上周期為2/的周期函數(shù)，則?特別地，當(dāng)l=兀時.當(dāng)f3)是偶函數(shù)?當(dāng)f3)是奇函數(shù)非周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)方法如果非周期函數(shù)f(x)只是定義在區(qū)間［0,l］或［0,兀］，兩種區(qū)間可以令t=-x相互轉(zhuǎn)換，l為了利用付里葉級數(shù)展開，必須將f(x)拓展，其方式有兩種，即：偶拓展令F(x)=；f⑴ 0-x-l，使F(x)成為［-l,l］上的周期偶函數(shù)，展開后?。踗(-x) -l<x<00<x<l上的函數(shù)值即為f(x)的