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文檔簡介
2023屆東北三省遼寧實驗中學(xué)高三下學(xué)期3月月考(文理)數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.2.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.3.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為A. B. C.2 D.4.函數(shù)的值域為()A. B. C. D.5.2019年末,武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎()疫情,并快速席卷我國其他地區(qū),傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株,所以目前沒有特異治療方法,防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早,感染人員最多,防控壓力最大,武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員,強化網(wǎng)格化管理,不落一戶、不漏一人.在排查期間,一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測,若出現(xiàn)陽性,則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為()且相互獨立,該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為,當(dāng)時,最大,則()A. B. C. D.6.若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.7.已知,是橢圓的左、右焦點,過的直線交橢圓于兩點.若依次構(gòu)成等差數(shù)列,且,則橢圓的離心率為A. B. C. D.8.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.9.設(shè)集合,集合,則=()A. B. C. D.R10.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)11.已知函數(shù)滿足:當(dāng)時,,且對任意,都有,則()A.0 B.1 C.-1 D.12.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線(,)的左頂點為A,右焦點為F,過F作x軸的垂線交雙曲線于點P,Q.若為直角三角形,則該雙曲線的離心率是______.14.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是_____.15.設(shè)常數(shù),如果的二項展開式中項的系數(shù)為-80,那么______.16.二項式的展開式中項的系數(shù)為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角,,所對的邊分別是,,,且.(1)求的值;(2)若,求的取值范圍.18.(12分)如圖1,與是處在同-個平面內(nèi)的兩個全等的直角三角形,,,連接是邊上一點,過作,交于點,沿將向上翻折,得到如圖2所示的六面體(1)求證:(2)設(shè)若平面底面,若平面與平面所成角的余弦值為,求的值;(3)若平面底面,求六面體的體積的最大值.19.(12分)在數(shù)列和等比數(shù)列中,,,.(1)求數(shù)列及的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前n項和.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,∠,是邊長為2的正三角形,,為線段的中點.(1)求證:平面平面;(2)若為線段上一點,當(dāng)二面角的余弦值為時,求三棱錐的體積.21.(12分)在中,設(shè)、、分別為角、、的對邊,記的面積為,且.(1)求角的大小;(2)若,,求的值.22.(10分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)當(dāng)時,證明:對任意恒成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
求出集合,然后進行并集的運算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.3、A【解析】由給定的三視圖可知,該幾何體表示一個底面為一個直角三角形,且兩直角邊分別為和,所以底面面積為高為的三棱錐,所以三棱錐的體積為,故選A.4、A【解析】
由計算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域為.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對象角的取值范圍,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)題意分別求出事件A:檢測5個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B:檢測6個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A:檢測5個人確定為“感染高危戶”,事件B:檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,即.故選:A.【點睛】本題主要考查概率的計算,涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.6、C【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時,,求得,故選:C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
如圖所示,設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列,其公差為.根據(jù)橢圓定義得,又,則,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故選D.8、C【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可.【詳解】由得:本題正確選項:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運算法則的應(yīng)用,考查計算能力.9、D【解析】試題分析:由題,,,選D考點:集合的運算10、B【解析】
根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對稱,即可得到的單調(diào)區(qū)間,利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,有一定綜合性,屬于中檔題。11、C【解析】
由題意可知,代入函數(shù)表達(dá)式即可得解.【詳解】由可知函數(shù)是周期為4的函數(shù),.故選:C.【點睛】本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)周期的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運算法則的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的模的求法,考查計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
根據(jù)是等腰直角三角形,且為中點可得,再由雙曲線的性質(zhì)可得,解出即得.【詳解】由題,設(shè)點,由,解得,即線段,為直角三角形,,且,又為雙曲線右焦點,過點,且軸,,可得,,整理得:,即,又,.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),是常考題型.14、【解析】
對函數(shù)零點問題等價轉(zhuǎn)化,分離參數(shù)討論交點個數(shù),數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由題:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點,,等價于函數(shù)恰有兩個公共點,作出大致圖象:要有兩個交點,即,所以.故答案為:【點睛】此題考查函數(shù)零點問題,根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵在于對函數(shù)零點問題恰當(dāng)變形,等價轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合求解.15、【解析】
利用二項式定理的通項公式即可得出.【詳解】的二項展開式的通項公式:,令,解得.∴,解得.故答案為:-2.【點睛】本小題主要考查根據(jù)二項式展開式的系數(shù)求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.16、15【解析】
由題得,,令,解得,代入可得展開式中含x6項的系數(shù).【詳解】由題得,,令,解得,所以二項式的展開式中項的系數(shù)為.故答案為:15【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了利用通項公式去求展開式中某項的系數(shù)問題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理邊化角,結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得,進而求得和,代入求得結(jié)果;(2)利用正弦定理可將表示為,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為,根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法,結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理可得:即(2)由(1)知:,,即的取值范圍為【點睛】本題考查解三角形知識的相關(guān)應(yīng)用,涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問題;求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題,進而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.18、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
根據(jù)折疊圖形,,由線面垂直的判定定理可得平面,再根據(jù)平面,得到.(2)根據(jù),以為坐標(biāo)原點,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù),可知,,表示相應(yīng)點的坐標(biāo),分別求得平面與平面的法向量,代入求解.設(shè)所求幾何體的體積為,設(shè)為高,則,表示梯形BEFD和ABD的面積由,再利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】(1)證明:不妨設(shè)與的交點為與的交點為由題知,,則有又,則有由折疊可知所以可證由平面平面,則有平面又因為平面,所以....(2)解:依題意,有平面平面,又平面,則有平面,,又由題意知,如圖所示:以為坐標(biāo)原點,為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意知由可知,則則有,,設(shè)平面與平面的法向量分別為則有則所以因為,解得設(shè)所求幾何體的體積為,設(shè),則,當(dāng)時,,當(dāng)時,在是增函數(shù),在上是減函數(shù)當(dāng)時,有最大值,即六面體的體積的最大值是【點睛】本題主要考查線線垂直,線面垂直,面面垂直的轉(zhuǎn)化,二面角的向量求法和空間幾何體的體積,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于難題.19、(1),(2)【解析】
(1)根據(jù)與可求得,再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯位相減求和即可.【詳解】解:(1)依題意,,設(shè)數(shù)列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.(2)依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯位相減求和等.屬于中檔題.20、(1)見解析;(2).【解析】
(1)先證明,可證平面,再由可證平面,即得證;(2)以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),求解面的法向量,面的法向量,利用二面角的余弦值為,可求解,轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】(1)證明:因為是正三角形,為線段的中點,所以.因為是菱形,所以.因為,所以是正三角形,所以,所以平面.又,所以平面.因為平面,所以平面平面.(2)由(1)知平面,所以,.而,所以,.又,所以平面.以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則.于是,,.設(shè)面的一個法向量,由得令,則,即.設(shè),易得,.設(shè)面的一個法向量,由得令,則,,即.依題意,即,令,則,即,即.所以.【點睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合,考查了面面垂直的判斷,二面角的向量求解,三棱錐的體積等知識點,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.21、(1);(2)【解析】
(1)由三角形面積公式,平面向量數(shù)量積的運算可得,結(jié)合范圍,可求,進而可求的值.(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值,由正弦定理可求得的值.【詳解】解:(1)由,得,因為,所以,可得:.(2)中,,所以.所以:,由正弦定理,得,解得,【點睛】本題主要考查了三角形面積公式,平面向量數(shù)量積的運算,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角和的正弦函數(shù)公式,正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計
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