高二解析幾何難點(diǎn)微專(zhuān)題25講07-橢圓第三定義_第1頁(yè)
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第7講：橢圓的第三定義1.基礎(chǔ)知識(shí)：如圖，橢圓上任意一點(diǎn)與過(guò)原點(diǎn)為中心的弦的兩端點(diǎn)、連線、與坐標(biāo)軸不平行，則直線、的斜率之積為定值．證明設(shè)，，則．所以①②由①－②得，所以，所以為定值．這條性質(zhì)是圓的性質(zhì)：圓上一點(diǎn)對(duì)直徑所張成的角為直角在橢圓中的推廣，它充分揭示了橢圓的本質(zhì)屬性.：(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科)已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為．記的軌跡為曲線．求的方程，并說(shuō)明是什么曲線；過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．證明：是直角三角形；求面積的最大值．【詳解】（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，不包括左右兩頂點(diǎn)的橢圓，其方程為；（2）（i）設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,即或,點(diǎn)P在第一象限，所以，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立，，消去得，（*），設(shè)點(diǎn)，顯然點(diǎn)的橫坐標(biāo)和是方程（*）的解所以有，代入直線方程中，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為;,因?yàn)樗?，因此是直角三角形；（ii）由（i）可知：，的坐標(biāo)為，，,,因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)

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