古典概率模型和幾何概率模型

關(guān)于古典概率模型和幾何概率模型1第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月2一、古典概率模型

1o只有有限多個基本事件，并記它們?yōu)棣?,ω2,…，ωn

；一類最簡單的隨機試驗具有下述特征:2o每個基本事件發(fā)生的概率相等，即

這種可等能的概率模型曾經(jīng)是概率論發(fā)展初期的主要研究對象，謂之為古典概率模型，簡稱為古典概型．第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月3古典概型在概率論中有很重要的地位，一方面是因為它比較簡單，許多概念既直觀又容易理解，另一方面是因為它概括了許多實際問題，有廣泛的應(yīng)用．

對于古典概型下的任何事件A，若A中所包含第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月4求概率問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題

.排列組合是計算古典概率的重要工具.基本計數(shù)原理1.加法原理設(shè)完成一件事有m類方式，第一類方式有n1種方法，第二類方式有n2種方法,…

,第m類方式有nm種方法.則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.特點:一步完成第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月5例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3

+2

種方法回答是第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月6基本計數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個步驟，第一個步驟有n1種方法，第二個步驟有n2種方法,…,

第m個步驟有nm種方法.特點：多步完成例如,A地到B地有兩種走法,B地到C地有三種走法,C地到D地有四種走法,則A地到D地共有種走法.第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月7特別,k=n時稱全排列排列、組合的定義及計算公式1.排列:從n個元素中取k個不同元素的排列數(shù)為：階乘若允許重復(fù),則從n個元素中取k個元素的排列數(shù)為：注意第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月82.組合:從n個元素中取k個元素的組合數(shù)為：推廣:n個元素分為s組，各組元素數(shù)目分別為r1,r2,…,rs的分法總數(shù)為第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月9例7在盒子里有10個相同的球，分別標(biāo)上號碼1，2，…，10。從中任取一球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率。

解設(shè)m表示所取的球的號碼為m(m=1,2,…,10)，則試驗的樣本空間為S={1,2,…,10}，因此基本事件總數(shù)n=10。又設(shè)A表示“所取的球號碼為偶數(shù)”這一事件，則A={2,4,6,8,10}，所以A中含有k=5個樣本點，故第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月10古典概型的基本類型舉例古典概率的計算關(guān)鍵在于計算基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)。由于樣本空間的設(shè)計可由各種不同的方法，因此古典概率的計算就變得五花八門、紛繁多樣。但可歸納為如下幾種基本類型。第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月111、抽球問題例8

設(shè)盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅球一白球的概率。解設(shè)A——取到一紅球一白球答:取到一紅一白的概率為3/5。第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月12

一般地，設(shè)盒中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月13例9

某箱中裝有m+n個球，其中m個白球，n個黑球。

(1)從中任意抽取r+s個球，試求所取的球中恰好有r個白球和s個黑球的概率；

解

試驗E：從m+n球中取出r+s個，每r+s個球構(gòu)成E的一個基本事件，不同的基本事件總數(shù)為

設(shè)事件A：“所取的球中恰好有r個白球和s個黑球”，總共有多少個基本事件呢？所以，事件A發(fā)生的概率為第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月14(2)從中任意接連取出k+1(k+1≤m+n)個球，如果每一個球取出后不還原，試求最后取出的球是白球的概率。解試驗E：從m+n球中接連地不放回地取出k+1個球每k+1個排好的球構(gòu)成E的一個基本事件，不同的基本事件總數(shù)為

設(shè)事件B：“第k+1個取出的球是白球”，由于第k+1個球是白球，可先從m個白球中取一個留下來作為第k+1個球，一共有

其余k個球可以是余下的m+n-1個球中任意k個球的排列，總數(shù)為種保留下來的取法，事件B所包含的基本事件總數(shù)為第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月15所以最后所取的球是白球的概率為注：P(B)與k無關(guān)，即不論是第幾次抽取，抽到白球的概率均為第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月16在實際中，有許多問題的結(jié)構(gòu)形式與抽球問題相同，把一堆事物分成兩類，從中隨機地抽取若干個或不放回地抽若干次，每次抽一個，求“被抽出的若干個事物滿足一定要求”的概率。如產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月172、分球入盒問題解設(shè)A：每盒恰有一球，B：空一盒例10將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）恰好空一盒的概率是多少？第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月18一般地，把n個球隨機地分配到N個盒子中去(nN)，則每盒至多有一球的概率是：第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月19例11設(shè)有n個顏色互不相同的球，每個球都以概率1/N落在N(n≤N)個盒子中的每一個盒子里，且每個盒子能容納的球數(shù)是沒有限制的，試求下列事件的概率：

A={某指定的一個盒子中沒有球}

B={某指定的n個盒子中各有一個球}

C={恰有n個盒子中各有一個球}

D={某指定的一個盒子中恰有m個球}(m≤n)解把n個球隨機地分配到N個盒子中去(n≤N),總共有Nn種放法。即基本事件總數(shù)為Nn。事件A：指定的盒子中不能放球，因此，n個球中的每一個球可以并且只可以放入其余的N-1個盒子中?？偣灿?N–1)n種放法。因此第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月20事件B：指定的n個盒子中，每個盒子中各放一球，共有n!種放法，因此

事件C：恰有n個盒子，其中各有一球，即N個盒子中任選出n個，選取的種數(shù)為CNn

在這n個盒子中各分配一個球，n個盒中各有1球(同上)，n!種放法；事件C的樣本點總數(shù)為事件D：指定的盒子中，恰好有m個球，這m個球可從n個球中任意選取，共有Cnm種選法，而其余n-m個球可以任意分配到其余的N-1個盒子中去，共有(N-1)n-m種，所以事件D所包含的樣本點總數(shù)為Cnm·(N-1)n-m第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月21某班級有n

個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？?分球入盒問題，或稱球在盒中的分布問題。有些實際問題可以歸結(jié)為分球入盒問題，只是須分清問題中的“球”與“盒”，不可弄錯。(1)生日問題：n個人的生日的可能情況，相當(dāng)于n個球放入N=365個盒子中的可能情況(設(shè)一年365天)；(2)旅客下車問題(電梯問題)：一列火車中有n名旅客，它在N個站上都停車，旅客下車的各種可能場合，相當(dāng)于n個球分到N個盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配問題：n個人被分配到N個房間中；(4)印刷錯誤問題：n個印刷錯誤在一本具有N頁書的一切可能的分布，錯誤球，頁盒子。第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月223.分組問題例12

30名學(xué)生中有3名運動員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。解設(shè)A：每組有一名運動員；B：3名運動員集中在一組第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月23一般地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i組恰有ni個球(i=1,…,m)，共有分法：第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月244.隨機取數(shù)問題例13從1到200這200個自然數(shù)中任取一個,(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率；(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率；(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率。解N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分別為：33/200,1/8,1/25第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月25例14

全班有50個學(xué)生，問至少有兩人生日相同的概率為多少？（設(shè)一年有365天）解事件總數(shù):有利場合數(shù):概率之大有點出乎意料.從下表中可以看出,當(dāng)人數(shù)超過23時，打賭說至少有兩人同生日是有利的.第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月26200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994有人同生日的概率人數(shù)第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月27*二、幾何概率模型

幾何概型借助于幾何度量確定事件的概率，習(xí)慣上稱這種概率為幾何概率．類似于古典概型的有限性和等可能性，幾何概型滿足下述兩個特征：其幾何度量度、面積或體積等）大小可用表示；

1o隨機試驗的樣本空間充滿某個區(qū)域，第27頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月28事件A的概率為對于幾何概型下的任何事件A，若A對應(yīng)于中的某個子區(qū)域，其幾何度量可用表示，則2o任意一點落在中任何子區(qū)域的概率只與其幾何度量有關(guān)，并與之成正比．第28頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月29

例1.12

某地鐵車站每隔5分鐘有一列車通過，乘客到達車站的時刻是隨機的，求一位乘客候車時間不超過3分鐘的概率．記A={候車時間不超過3分鐘}

則這里和分別表示A和的長度．解設(shè)x為乘客到達車站的時刻，則樣本空間第29頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月30

例1.1３在區(qū)間（0,1）中隨機地取兩個數(shù)，