圖像的幾何變換

關(guān)于圖像的幾何變換第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第6章圖像的幾何變換幾何變換基礎(chǔ)圖像比例縮放圖像平移圖像鏡像圖像旋轉(zhuǎn)灰度插值第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1、幾何變換基礎(chǔ)圖像的幾何變換，是指使用戶獲得或設(shè)計(jì)的原始圖像，按照需要產(chǎn)生大小、形狀和位置的變化。從圖像類型來分，圖像的幾何變換有：

二維平面圖像的幾何變換；三維圖像的幾何變換；三維向二維平面投影變換等。從圖像的性質(zhì)分，圖像的幾何變換有：

平移、比例縮放、旋轉(zhuǎn)、反射和錯(cuò)切等基本變換；透視變換和復(fù)合變換；插值運(yùn)算等。第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1、幾何變換基礎(chǔ)圖像的幾何變換是通過改變圖像中物體（像素）之間的空間關(guān)系的過程。圖像的幾何變換可以看成將各像素在圖像內(nèi)移動(dòng)的過程。其定義為：其中，f(x,y)表示輸入圖像，g(x,y)表示輸出圖像，a(x,y)和b(x,y)表示空間變換。幾何變換改變的是圖像中各物體之間的空間關(guān)系。其效果正如在一塊橡皮板上畫圖，拉伸該橡皮板，并在不同的點(diǎn)固定該橡皮板。第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1、幾何變換基礎(chǔ)一個(gè)幾何變換需要兩個(gè)獨(dú)立的算法：

1.需要一個(gè)算法來定義空間變換本身，用它描述每個(gè)像素如何從其初始位置“移動(dòng)”到終止位置，即每個(gè)像素的“運(yùn)動(dòng)”，如平移、縮放、旋轉(zhuǎn)等。

2.還需要一個(gè)用于灰度插值的算法，這是因?yàn)?，在一般情況下，輸入圖像的位置坐標(biāo)(x，y)為整數(shù)，而輸出圖像的位置坐標(biāo)為非整數(shù)，反過來也是如此。第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1、幾何變換基礎(chǔ)幾何變換常用于攝象機(jī)的幾何校正過程，這對(duì)于利用圖像進(jìn)行幾何測(cè)量的工作是十分重要的。如：仿射變換（AffineTransformation），它屬于射影幾何變換，多用于圖像配準(zhǔn)（ImageRegistration）作為比較或匹配的預(yù)處理過程；圖像卷繞（ImageWarping），即用控制點(diǎn)控制變換過程，通過插值運(yùn)算，將一幅圖像逐漸變化到另一幅圖像的圖像變形（Morphing）過程是其典型的應(yīng)用，多見于影視特技及廣告的制作。

第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1齊次坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)進(jìn)行平移后，移到P(x,y),其中x方向的平移量為x,y方向的平移量為y。那么，點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)為：這個(gè)變換用矩陣的形式可以表示為：第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1齊次坐標(biāo)點(diǎn)的平移第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1齊次坐標(biāo)而平面上點(diǎn)的變換矩陣中沒有引入平移常量，無論a、b、c、d取什么值，都不能實(shí)現(xiàn)上述的平移變換。因此，需要使用2×3階變換矩陣，取其形式為：第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1齊次坐標(biāo)為了運(yùn)算方便，通常將2×3階矩陣擴(kuò)充為3×3階矩陣，以拓寬功能。P(x,y)按照3X3的變換矩陣T平移結(jié)果為：第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1齊次坐標(biāo)這種用n＋1維向量表示n維向量的方法稱為齊次坐標(biāo)表示法。因此，2D圖像中的點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)通常表示成齊次坐標(biāo)（Hx,Hy,H），其中H表示非零的任意實(shí)數(shù)，當(dāng)H＝1時(shí)，則(x,y,1)就稱為點(diǎn)(x,y)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)。由點(diǎn)的齊次坐標(biāo)（Hx,Hy,H）求點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)(x,y,1)，可按如下公式進(jìn)行：第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2二維圖像幾何變換的矩陣?yán)谬R次坐標(biāo)及改成3×3階形式的變換矩陣，實(shí)現(xiàn)2D圖像幾何變換的基本變換的一般過程是：將2×n階的二維點(diǎn)集矩陣 表示成齊次坐標(biāo) 的形式，然

后乘以相應(yīng)的變換矩陣即可完成。第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2二維圖像幾何變換的矩陣引入齊次坐標(biāo)后，表示2D圖像幾何變換的3×3矩陣的功能就完善了，可以用它完成2D圖像的各種幾何變換。下面討論3×3階變換矩陣中各元素在變換中的功能。幾何變換的3×3矩陣的一般形式為：第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2二維圖像幾何變換的矩陣其中，這一子矩陣可使圖像實(shí)現(xiàn)恒等

比例、反射（或鏡像）、錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)變換。

[lm]這一行矩陣可以使圖像實(shí)現(xiàn)透視變換,但當(dāng)l=0，m=0時(shí)它無透視作用。

[p

q]T這一列矩陣可以使圖像實(shí)現(xiàn)平移變換，

[s]這一元素可以使圖像實(shí)現(xiàn)全比例變換。第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放比例縮放前后兩點(diǎn)P0(x0,y0)、P(x,y)之間的關(guān)系用矩陣形式可以表示為：其中fx,fy>1為放大，fx,fy<1為縮小。第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放比例縮放所產(chǎn)生的圖像中的像素可能在原圖像中找不到相應(yīng)的像素點(diǎn)，這樣就必須進(jìn)行插值處理。插值處理常用的方法有兩種，一種是直接賦值為和它最相近的像素值；另一種是通過一些插值算法來計(jì)算相應(yīng)的像素值。前一種方法計(jì)算簡單，但會(huì)出現(xiàn)馬賽克現(xiàn)象；后者處理效果要好些，但是運(yùn)算量也相應(yīng)增加。在下面的算法中直接采用了前一種做法。實(shí)際上，這也是一種插值算法，稱為最鄰近插值法（NearestNeighborInterpolation）。第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放最簡單的比例縮小是當(dāng)fx=fy=1／2時(shí)，圖像被縮到一半大小，此時(shí)縮小后圖像中的(0，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0，0)像素；(0，1)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0，2)像素；(1，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(2，0)像素，依此類推。圖像縮小之后，因?yàn)槌休d的信息量小了，所以畫布可相應(yīng)縮小。此時(shí)，只需在原圖像基礎(chǔ)上，每行隔一個(gè)像素取一點(diǎn)，每隔一行進(jìn)行操作，即取原圖的偶（奇）數(shù)行和偶（奇）數(shù)列構(gòu)成新的圖像，如下圖所示。如果圖像按任意比例縮小，則需要計(jì)算選擇的行和列。第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放圖像縮小一半第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放如果M×N大小的原圖像F(x，y)縮小為

kM×kN大?。╧<1）的新圖像I(x，y)時(shí)，則

I(x,y)=F(int(c×x),int(c×y))

其中，c=1／k。由此公式可以構(gòu)造出新圖像，如下圖所示。第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放當(dāng)fx≠fy(fx,fy＞0)時(shí)，圖像不按比例縮小，這種操作因?yàn)樵趚方向和y方向的縮小比例不同，一定會(huì)帶來圖像的幾何畸變。圖像不按比例縮小的方法是：如果M×N大小的舊圖F(x，y)縮小為k1M×k2N（k1<1，k2<1）大小的新圖像I(x，y)時(shí)，則

I(x,y)=F(int(c1×x),int(c2×y))第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放在圖像的放大操作中，需要對(duì)尺寸放大后所多出來的空格填入適當(dāng)?shù)南袼刂?，這是信息的估計(jì)問題，所以較圖像的縮小要難一些。當(dāng)fx＝fy＝2時(shí)，圖像被按全比例放大2倍，放大后圖像中的(0，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0，0)像素；(0，1)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0，0.5)像素，該像素不存在，可以近似為(0，0)也可以近似(0，1)；(0，2)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0，1)像素；(1，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0.5，0)，它的像素值近似于(0，0)或(1，0)像素；(2，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(1，0)像素，依此類推。其實(shí)這是將原圖像每行中的像素重復(fù)取值一遍，然后每行重復(fù)一次。第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放

放大前的圖像按最近鄰域法放大兩倍按插值法放大兩倍

第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放一般地，按比例將原圖像放大k倍時(shí)，如果按照最近鄰域法則需要將一個(gè)像素值添在新圖像的k×k的子塊中。顯然，如果放大倍數(shù)太大，按照這種方法處理會(huì)出現(xiàn)馬賽克效應(yīng)。當(dāng)fx≠fy(fx,fy＞0)時(shí)，圖像在x方向和y方向不按比例放大，此時(shí)，這種操作由于x方向和y方向的放大倍數(shù)不同，一定帶來圖像的幾何畸變。為了提高幾何變換后的圖像質(zhì)量，常采用線性插值法。該方法的原理是，當(dāng)求出的分?jǐn)?shù)地址與像素點(diǎn)不一致時(shí)，求出周圍四個(gè)像素點(diǎn)的距離比，根據(jù)該比率，由四個(gè)鄰域的像素灰度值進(jìn)行線性插值，如下圖所示。第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放線性插值法示意圖第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、圖像比例縮放簡化后的灰度值計(jì)算式如下:g（x，y）=（1-q）{（1-p）×g（［x］，［y］）+p×g（［x］+1，［y］）}+q{（1-p）×g（［x］，［y］+1）+p×g（［x］+1，［y］+1）}

式中：g（x，y）為坐標(biāo)（x，y）處的灰度值，［x］、［y］分別為不大于x，y的整數(shù)。關(guān)于這個(gè)問題的詳細(xì)算法及其實(shí)現(xiàn)可以參考有關(guān)的參考文獻(xiàn)。第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3、圖像平移設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)進(jìn)行平移后，移到P(x,y)，其中x方向的平移量為Δx，y方向的平移量為Δy。那么，點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)為：利用齊次坐標(biāo)，變換前后圖像上的點(diǎn)P0(x0,y0)和P(x,y)之間的關(guān)系可以用如下的矩陣變換表示為：第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3、圖像平移圖像平移第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月4、圖像鏡像圖像的鏡像變換也可以用矩陣變換表示。設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)進(jìn)行鏡像后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y)，圖像高度為fHeight，寬度為fWidth，原圖像中P0(x0,y0)經(jīng)過水平鏡像后坐標(biāo)將變?yōu)椋╢Width-x0，y0），垂直鏡像后坐標(biāo)將變?yōu)?x0，fHeight-y0)矩陣表達(dá)式為：水平鏡像垂直鏡像第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月4、圖像鏡像圖像的鏡像第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月5、圖像旋轉(zhuǎn)設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)旋轉(zhuǎn)θ角后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y)，如下圖所示：第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月5、圖像旋轉(zhuǎn)寫成矩陣形式，如下：第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月5、圖像旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)前后點(diǎn)P0(x0,y0)、P(x,y)的坐標(biāo)分別是：矩陣形式：第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月5、圖像旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖像旋轉(zhuǎn)時(shí)需要注意如下兩點(diǎn)：

（1）圖像旋轉(zhuǎn)之前，為了避免信息的丟失，一定要有坐標(biāo)平移；（2）圖像旋轉(zhuǎn)之后，會(huì)出現(xiàn)許多空洞點(diǎn)。對(duì)這些空洞點(diǎn)必須進(jìn)行填充處理，否則畫面效果不好，一般也稱這種操作為插值處理。最簡單的方法是行插值方法或列插值方法。第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6、灰度插值—向前映射法當(dāng)把輸入圖像的灰度一個(gè)一個(gè)像素地轉(zhuǎn)移到輸出圖像中時(shí)，如果一個(gè)輸入像素被映射到四個(gè)輸出像素之間的位置，則其灰度值就按插值算法在四個(gè)輸出像素之間進(jìn)行分配。我們稱之為像素移交(Pixelcarry-over)或稱為向前映射法。第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6、灰度插值—向后映射法另一種更有效地達(dá)到目的的方法是像素填充(Pixelfilling)或稱為向后映射算法：在這里輸出像素一次一個(gè)地映射回到輸入圖像中，以便確定其灰度級(jí)。如果—個(gè)輸出像素被映射到四個(gè)輸出像素之間。則其灰度值由灰度級(jí)插值決定。向后空間變換是向前變換的逆變換。第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6、灰度插值由于許多輸入像素可能映射到輸出圖像的邊界之外，故向前映射算法有些浪費(fèi)。而且，每個(gè)輸出像素的灰度值可能要由許多輸入像素的灰度值來決定，因而要涉及多次計(jì)算。如果空間變換中包括縮小處理，則會(huì)有四個(gè)以上的輸入像素來決定一輸出像素的灰度值。如果含有放大處理，則一些輸出像素可能被漏掉(如果沒有輸入像素被映射到它們附近位置的話)。

而向后映射算法是逐像素、逐行地產(chǎn)出輸出圖像。每個(gè)像素的灰度級(jí)由最多四個(gè)像素參與的插值所唯一確定。當(dāng)然，這種算法需按空間變換所定義的方式隨機(jī)訪問輸入圖像，因而可能有些復(fù)雜。雖然如此，像素填充法對(duì)一般的應(yīng)用更為切實(shí)可行。第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6、灰度插值1、最近鄰插值(NearestNeighborhoodInterpolation.NNI)問題：有失真（放大時(shí)只重復(fù)復(fù)制，縮小時(shí)只是扔掉一些象素）第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6、灰度插值2、線性插值（LinearInterpolation）已知x1,x2

處灰度g1,g2，求x3處灰度g3。

第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6、灰度插值3、雙線性插值（LinearInterpolation）已知正方形網(wǎng)格上四點(diǎn)灰度，求P點(diǎn)灰度。

第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月7、透視投影把三維物體或?qū)ο筠D(zhuǎn)變?yōu)槎S圖形表示的過程稱為投影變換。根據(jù)視點(diǎn)（投影中心）與投影平面之間距離的不同，投影可分為平行投影和透視投影，透視投影即透視變換。平行投影的視點(diǎn)與投影平面之間的距離為無窮大，而對(duì)透視投影（變換），該距離是有限的。這個(gè)距離決定著透視投影的特性——透視縮小效應(yīng)，即三維物體或?qū)ο笸敢曂队暗拇笮∨c形體到視點(diǎn)的距離成反比。第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月7、透視投影對(duì)于透視投影，一束平行于投影面的平行線的投影可保持平行，而不平行于投影面的平行線的投影會(huì)聚集到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為滅點(diǎn)(VanishingPoint)。滅點(diǎn)可以看作是無限遠(yuǎn)處的一點(diǎn)在投影面上的投影。透視投影的滅點(diǎn)可以有無限多個(gè)，不同方向的平行線在投影面上就能形成不同的滅點(diǎn)，坐標(biāo)軸方向的平行線