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-多項式的因式分解定理多項式的因式分解定理/NUMPAGES66/6-多項式的因式分解定理-多項式的因式分解定理§1-5多項式的因式分解定理引入課題初等數(shù)學中的因式分解,何為不能再分?多項式引入課題初等數(shù)學中的因式分解,何為不能再分?在不同的系數(shù)域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多項式（不等于零的常數(shù)）、多項式自身、前兩個的乘積Definition8：（不可約多項式）令的一個次數(shù)大于零的多項式，如果中只有平凡因式，就稱f(x)為數(shù)域P上（或在P[x]中）的不可約多項式.（p(x)在數(shù)域P上不能表示成兩個次數(shù)低的多項式的乘積）若除平凡因式外，在P[x]中還有其它因式，f(x)就說是在數(shù)域P上（或在P[x]中）是可約的.如果，都小于的次數(shù).反之，若能寫成兩個這樣多項式的乘積，那么有非平凡因式；如果P[x]的一個n次多項式能夠分解成P[x]中兩個次數(shù)都小于n的多項式即那么在P上可約.由不可約多項式的定義可知：任何一次多項式都是不可約多項式的.不可約多項式的重要性質(zhì)：一個多項式是否不可約是依賴于系數(shù)域；1.如果多項式不可約，那么P中任意不為零的元素c與的乘積c都不可約.2.設是一個不可約多項式而P(x)是一個任意多項式，那么或者與P(x)互素，或者整除P(x).3.如果多項式與的乘積能被不可約多項式P(x)整除，那么至少有一個因式被P(x)整除.Theorem5.如果是一個不可約多項式,P(x)整除一些多項式的乘積,那么一定整除這些多項式之中的一個.證明:對被除多項式的個數(shù)s用數(shù)學歸納法當s=1時,顯然成立;假設s=n-1時,結(jié)論成立;當s=n時,令,如果命題成立,如果,從而,即n-1多項式的乘積,由歸納法假設整除其中一個多項式,根據(jù)數(shù)學歸納法原理,命題得證.證明因式分解定理因式分解及唯一性定理：多項式環(huán)P[x]的每一個次多項式都可以唯一分解成P[x]的不可約多項式的乘積；證明因式分解定理所謂唯一性是說，如果有兩個分解式那么，必有s=t，并且適當?shù)嘏帕幸蚴降捻樞蚝笥袠藴史纸馐剑ǖ湫头纸馐剑浩渲衏是f(x)的首項系數(shù)，是不同的、首項系數(shù)為1的不可約多項式，而正整數(shù).例1：在有理數(shù)域上分解多項式，.例2：求.例3.求分解式.例4：分別在有理數(shù)域、實數(shù)域和復數(shù)域上分解多項式突出不同數(shù)域上不同多項式的因式分解的特點和為不可約多項式的乘積.突出不同數(shù)域上不同多項式

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