高二排列組合常見題型素質(zhì)能力提高競賽綜合測試

高二排列組合常見題型素質(zhì)能力提高競賽綜合測試第I卷（選擇題）一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（

）種不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．360【答案】A【分析】通過分析題目給出的圖形，可知要完成給圖中、、、、、六個區(qū)域進行染色，最少需要3種顏色，即同色，同色，同色，由排列知識可得該類染色方法的種數(shù)；也可以4種顏色全部用上，即，，三組中有一組不同色，同樣利用排列組合知識求解該種染法的方法種數(shù)，最后利用分類加法求和．【詳解】解：要完成給圖中、、、、、六個區(qū)域進行染色，染色方法可分兩類，第一類是僅用三種顏色染色，即同色，同色，同色，則從四種顏色中取三種顏色有種取法，三種顏色染三個區(qū)域有種染法，共種染法；第二類是用四種顏色染色，即，，中有一組不同色，則有3種方案不同色或不同色或不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有種染法，剩余兩種染在不同色區(qū)有2種染法，共有種染法．由分類加法原理得總的染色種數(shù)為種．故選：A．2．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（

）A．257 B．336 C．343 D．384【答案】C【分析】共有三種情況，3人各站一個臺階，或有一個臺階有2人另一個是1人，或3人站一個臺階，然后根據(jù)分類計數(shù)原理即得．【詳解】由題意知本題需要分組解共有三種情況：第一種情況是3人各站一個臺階，有種；第二種情況有一個臺階有2人，另一個臺階是1人，共有種，第三種情況3人站一個臺階，有種所以根據(jù)分類計數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是種．故選：C．3．現(xiàn)有語文、數(shù)學、外語、物理、化學、生物各一本，均分給3個人，其中數(shù)學和物理不分給同一個人，則不同的分配方法有（

）A．36 B．54 C．72 D．84【答案】C【分析】先計算將6本書平均分給三人，再計算數(shù)學物理作為一組分配給一個人的分法，利用間接法即可求解.【詳解】根據(jù)題意，先計算將6本書平均分給三人的情況數(shù)目，分2步分析：①，將6本書分成3組，有種分組方法，②，將分好的三組全排列，對應(yīng)三人，有種情況，則將6本書平均分給三人，有種分配方法；再計算其中數(shù)學和物理分給同一個人的情況，分2步分析：①，將除數(shù)學和物理之外的4本書，分成2組，有種分組方法，②，將數(shù)學和物理作為1組，和其他2組一起全排列，對應(yīng)三人，有種情況，則數(shù)學和物理分給同一個人的分配方法有種分派方法，則數(shù)學和物理不分給同一個人的分配方法有種；故選：C4．若從甲?乙2名女志愿者和6名男志愿者中選出正組長1人，副組長1人，普通組員2人到北京冬奧會花樣滑冰場館服務(wù)，且要求女志愿者甲不能做正組長，女志愿者乙不能做普通組員，則不同的選法種數(shù)為（

）A．210 B．390 C．555 D．660【答案】C【分析】分為四種情況即可得出答案，第一種4人均從6名男志愿者中選取，第二種女志愿者甲被選中且乙沒有被選中，第三種女志愿者乙被選中且甲沒有被選中，第四種女志愿者甲?乙均被選中.【詳解】若4人均從6名男志愿者中選取，則不同的選法種數(shù)為；若女志愿者甲被選中且乙沒有被選中，則不同的選法種數(shù)為；若女志愿者乙被選中且甲沒有被選中，則不同的選法種數(shù)為；若女志愿者甲?乙均被選中，則不同的選法種數(shù)為.所以滿足題意的不同選法種數(shù)為.故選：C.5．一個國際象棋棋盤（由個方格組成），其中有一個小方格因破損而被剪去（破損位置不確定）.“L”形骨牌由三個相鄰的小方格組成，如圖所示.現(xiàn)要將這個破損的棋盤剪成數(shù)個“L”形骨牌，則（

）A．至多能剪成19塊“L”形骨牌 B．至多能剪成20塊“L”形骨牌C．一定能剪成21塊“L”形骨牌 D．前三個答案都不對【答案】C【分析】由如的一個圖形能剪成2塊“L”形骨牌，在一個國際象棋棋盤（由個方格組成），共包含有10個這樣的能剪成2塊“L”形骨牌的圖形，且包含一個田字圖形，這個田字圖形能剪成1塊“L”形骨牌，據(jù)此即可求出最多可以剪出多少個“L”形骨牌.【詳解】由下圖的一個圖形能剪成2塊“L”形骨牌，在一個國際象棋棋盤（由個方格組成），共包含有10個這樣能剪成2塊“L”形骨牌的圖形，且包含一個田字圖形，這個田字圖形能剪成1塊“L”形骨牌，故要將這個破損的棋盤剪成數(shù)個“L”形骨牌，一定能剪成21塊“L”形骨牌.故選：C.6．學校決定把12個參觀航天航空博物館的名額給二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四個班級.要求每個班分得的名額不比班級序號少；即二(1)班至少1個名額,二(2)班至少2個名額，……，則分配方案有()A．10種 B．6種 C．165種 D．495種【答案】A【詳解】根據(jù)題意，先在編號為2、3、4的3個班級中分別分配1、2、3個名額，編號為1的班級里不分配；再將剩下的6個名額分配4個班級里，每個班級里至少一個，分析可得，共種放法，即可得符合題目要求的放法共10種，故答案為A7．現(xiàn)安排甲乙丙丁戊5名學生分別擔任語文、數(shù)學、英語、物理、化學學科的科代表，要求甲不當語文科代表，乙不當數(shù)學科代表，若丙當物理科代表則丁必須當化學科代表，則不同的選法共有多少種A．53 B．67 C．85 D．91【答案】B【詳解】丙當物理課代表則丁必須當化學課代表，以丙進行分類

第一類，當丙當物理課代表時，丁必須當化學課代表，再根據(jù)甲當數(shù)學課代表，乙戊可以當英語和語文中的任一課，有種，當甲不當數(shù)學課代表，甲只能當英語課代表，乙只能當語文課代表，戊當數(shù)學課代表，有種，共計種，

第二類，當丙不當物理課代表時，分四類①丙為語文課代表時，乙只能從英語、物理和U學中選擇一課，剩下的甲丁戊任意排給剩下的三課，有種，②丙為數(shù)學課代表時，甲只能從英語、物理和化學課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有種，③丙為英語課代表時，繼續(xù)分類，甲當數(shù)學課代表時，其他三位同學任意當有種，當甲不當數(shù)學課代表，甲只能從物理和化學課中選一課,乙只能從語文和甲選完后的剰下的一課中選一課，丁和戊做剰下的兩課，有,共計種④丙為化學課代表時，同③的選法一樣有種，根據(jù)分類計數(shù)原理得，不同的選法共有故選.【方法點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.8．小林同學喜歡吃4種堅果：核桃?腰果?杏仁?榛子，他有5種顏色的“每日堅果”袋.每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果.小林同學希望五個袋子中所裝堅果種類各不相同，且每一種堅果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（

）A．20160 B．20220 C．20280 D．20340【答案】A【分析】設(shè)出核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，分類討論求出分堆情況，再進行排列，求出最后答案.【詳解】依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，則每個字母出現(xiàn)2次或4次，分類計算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.若是“8=4+1+1+1+1”，則其中的“4”必須是HYXZ，故1種可能；若是“8=3+2+1+1+1”，則考慮（HYX）（Z※）（※）（※），故有種可能；若是“8=1+1+2+2+2”，則考慮（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有種可能；小計：1+12+12=25；（2）諸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”類型若是“10=4+3+1+1+1”，則四個H無論怎么安排，都會出現(xiàn)某兩個袋僅放H，故0種可能；若是“10=4+2+2+1+1”，則“1+1”中有一個是H，“4+2+2”中各一個H，“2+2”中除了一個H外，另一個互異，故有種可能；若是“10=3+3+2+1+1”，則“1+1”中各有1個H，“3+3+2”中各一個H，可以考慮含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有種可能；若是“10=3+2+2+2+1”，則可用下表進一步分類，有1+種可能；YXZH※H※H※HH※※H※H※H※※H※H※※※H若是“10=2+2+2+2+2”，則四個H至少有兩個出現(xiàn)搭配相同，故0種可能；小計：；（3）諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”類型若是“12=4+4+2+1+1”，則“4+4”必然重復，故0種可能；若是“12=4+3+3+1+1”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)僅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12=4+3+2+2+1”，則考慮（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），故有種可能；若是“12=3+3+3+2+1”，則有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2種可能；若是“12=3+3+2+2+2”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2種可能.小計；諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”類型若是“14=4+4+*+*+*”，則“4+4”必然重復，故0種可能；若是“14=4+3+3+3+1”，則“4+3+3+3”中至少有3個Z，故0種可能；若是“14=4+3+3+2+2”，則“4+3+3”至少有2個Z，考慮（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有種可能，故此小類有3種可能；若是“14=3+3+3+3+2”，則“3+3+3+3”中至少有3個Z，故0種可能；小計；（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z”只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1種可能；綜上：共有25+76+54+12+1=168個分堆可能，故不同的方案數(shù)為=種.故選：A【點睛】比較復雜一些的排列組合問題，要結(jié)合分類加法原理和分步乘法原理進行求解，特別是分類標準，要做到不重不漏，本題中，應(yīng)用的是把8,10,12,14,16分為5個數(shù)（從1到4）的和的分類標準，可以做到不重不漏.二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．下列命題中，正確的命題是（

）A．長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學生每天玩手機超過1，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機不超過1的學生中任意調(diào)查一名學生，則他近視的概率為B．在三位數(shù)中，形如“”的數(shù)叫做“對稱凹數(shù)”，如：，，，則在所有三位數(shù)中共有個對稱凹數(shù)C．北京2022年冬奧會即將開幕，北京某大學5名同學報名到甲?乙?丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，每個場館至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有150種D．用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字且比1000大的四位奇數(shù)共有36個【答案】ACD【分析】設(shè)該學校的學生數(shù)為，得出該校學生有人近視，有人學生每天玩手機超過1，有人學生每天玩手機不超過1，每天玩手機超過1的近視的學生人數(shù)為，可得每天玩手機不超過1的近視的學生為，從而可判斷A；利用列舉法可判斷BD；5名同學分三組有和兩種分法再計算每種情況的安排分法可判斷C.【詳解】對于A，假設(shè)該學校的學生數(shù)為，因為該校學生大約40%的人近視，所以該校學生大約有人近視，因為該校大約有20%的學生每天玩手機超過1，所以該校大約有人學生每天玩手機超過1，所以該校有人學生每天玩手機不超過1，因為每天玩手機超過1的近視率約為50%，所以該校每天玩手機超過1的近視的學生人數(shù)為，所以該校每天玩手機不超過1的近視的學生為，所以從每天玩手機不超過1的學生中任意調(diào)查一名學生，則他近視的概率為，故正確；對于B，當時，，共有9個“對稱凹數(shù)”，當時，，共有8個“對稱凹數(shù)”，當時，，共有7個“對稱凹數(shù)”，當時，，共有6個“對稱凹數(shù)”，當時，，共有5個“對稱凹數(shù)”，當時，，共有4個“對稱凹數(shù)”，當時，，共有3個“對稱凹數(shù)”，當時，，共有2個“對稱凹數(shù)”，當時，，共有1個“對稱凹數(shù)”，則在所有三位數(shù)中共有個對稱凹數(shù)，故錯誤；對于C，5名同學報名到甲?乙?丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，每個場館至少安排1名志愿者有和兩種分法，當為時，有種安排分法，當為時，有種安排分法，則不同的安排方法共有150種，故正確；對于D，用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字且比1000大的四位奇數(shù)共有36個當千位是1個位數(shù)字是3時，中間兩個數(shù)字隨意安排都比1000大，有個，當千位是2個位數(shù)字是1時，中間兩個字數(shù)字隨意安排都比1000大，有個，當千位是2個位數(shù)字是3時，中間兩個字數(shù)字隨意安排都比1000大，有個，當千位是3個位數(shù)字是1時，中間兩個字數(shù)字隨意安排都比1000大，有個，當千位是4個位數(shù)字是1時，中間兩個字數(shù)字隨意安排都比1000大，有個，當千位是4個位數(shù)字是3時，中間兩個字數(shù)字隨意安排都比1000大，有個，所以共有36個數(shù)字，故正確；故選：ACD.10．2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩，有著可愛的外表和豐富的寓意，現(xiàn)有5個不同造型的“冰墩墩”，則下面正確的是（

）A．把這5個“冰墩墩”裝入3個不同的盒內(nèi)，共有129種不同的裝法B．從這5個“冰墩墩”中選出3個分別送給3位志愿者，每人1個，共有60種沒選法C．從這5個“冰墩墩”中隨機取出3個，共有10種不同的取法D．把這5個“冰墩墩”裝入3個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有150種不同的裝法【答案】BCD【分析】對于A，根據(jù)分步乘法原理即可求解，對于B，C，D，根據(jù)排列組合以及分組分配問題即可求解.【詳解】對于A:5個“冰墩墩”裝入3個不同的盒內(nèi),每個冰墩墩可選擇3個盒子中的任意一個，所以根據(jù)分步乘法原理一共有，故錯誤；對于B:5個“冰墩墩”中選出3個分別送給3位志愿者共有,故正確；對于C:5個“冰墩墩”中隨機取出3個,共有種，故正確；對于D：5個“冰墩墩”裝入3個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有兩種情況：3個盒子的球數(shù)為1，1，3和1，2，2，若球數(shù)為1，1，3，則有種，若球數(shù)為1，2，2，則有,所以一共有種，故正確；故選：BCD11．生命在于運動，小蘭給自己制定了周一到周六的運動計劃，這六天每天安排一項運動，其中有兩天練習瑜伽，另外四天的運動項目互不相同，且運動項目為跑步、爬山、打羽毛球和跳繩.（

）A．若瑜伽被安排在周一和周六，則共有48種不同的安排方法B．若周二和周五至少有一天安排練習瑜伽，則共有216種不同的安排方法D．若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則共有240種不同的安排方法【答案】BCD【分析】對于A，安排剩下的四種運動項目即可；對于B，利用間接法可求解；對于C，先排特殊的項目；對于D，先排其他四項運動，再插空可求解.【詳解】對于A，若瑜伽被安排在同一和周六，則共有種不同的安排方法，故A不正確；對于B，若周二和周五至少有一天安排練習瑜伽，則由間接法可得，不同的安排方法種數(shù)為，故B正確對于C，若周一不練習瑜伽，周三爬山，則共有種不同的安排方法，故C正確；對于D，若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則先排其他四項運動，共有種不同的安排方法，再從5個空位里插入2個安排練習瑜伽，故共有種不同的安排方法，故D正確.故選：BCD12．如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】選項ACD均可以對其每一步的方法數(shù)進行合理解釋，而選項B方法總數(shù)錯誤，不能對其每一步的方法數(shù)進行合理解釋.【詳解】選項A：表示先著色中間兩格下面一格.從4種顏色取3種，有個方法，上面一格，從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有個方法，故共有個不同方法.正確；選項B：,方法總數(shù)不對.錯誤；選項C：表示先對中間兩格涂顏色.從4種顏色取2種，共有個方法，上下兩格都是從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有個不同方法.正確；選項D：表示兩種情況：①上下兩格顏色相同，中間兩格從3個剩下的顏色取2種，共有個不同方法；②上下兩格顏色不同，中間兩格從2個剩下的顏色取2種，共有個不同方法.綜合①②可知方法總數(shù)為：個不同方法.正確.故選：ACD第II卷（非選擇題）三、填空題:本題共4個小題，每小題5分，共20分．13．由可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為__________．【答案】204【解析】根據(jù)所選的數(shù)字的情況將此問題可以分為以下三種情況：i）選取的4個數(shù)字是1,2,3,4；ii）從四組中任取兩組；iii）從四組中任取一組，再從剩下的3組中的不同的三個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字，利用排列與組合的計算公式及其乘法原理即可得出.【詳解】詳解：i）選取的四個數(shù)字是1,2,3,4，則可組成個不同的四位數(shù)；ii）從四組中任取兩組有種取法，如假設(shè)取的是1，1，2，2四個數(shù)：得到以下6個四位數(shù)：1122，2211，1212，2121，1221，2112．所以此時共有個不同的四位數(shù)；iii）從四組中任取一組有種取法，再從剩下的三組中的不同的三個數(shù)中任取2個不同的數(shù)字有種取法，把這兩個不同的數(shù)字安排到四個數(shù)位上共有種方法，而剩下的兩個相同數(shù)字只有一種方法，由乘法原理可得此時共有個不同的四位數(shù)；綜上可知，用8個數(shù)字1,1,2,2,3,3,4,4可以組成不同的四位數(shù)個數(shù)是，故答案為：204【點睛】本題考查了排列與組合的計算公式及其乘法原理、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．14．某高校大一新生中的6名同學打算參加學校組織的“雅荷文學社”、“青春風街舞社”、“羽乒協(xié)會”、“演講團”、“吉他協(xié)會”五個社團，若每名同學必須參加且只能參加1個社團且每個社團至多兩人參加，則這6個人中至多有1人參加“演講團”的不同參加方法數(shù)為________．【答案】5040【分析】參加“演講團”人數(shù)分為有1人或無人的情況，而每種情況又各自包含2種情況，分別求出對應(yīng)的方法數(shù)，結(jié)合計數(shù)原理計算即可.【詳解】若有人參加“演講團”，則從人選人參加該社團，其余人去剩下個社團，人數(shù)安排有種情況：和，故人參加“演講團”的不同參加方法數(shù)為；若無人參加“演講團”，則人參加剩下個社團，人數(shù)安排安排有種情況：和，故無人參加“演講團”的不同參加方法數(shù)為，故滿足條件的方法數(shù)為，故答案為：504015．從A，B，C，D，a，b，c，d中任選5個字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按先后順序，但大小寫可以交換位置，如或都可以），這樣的情況有__________種．（用數(shù)字作答）【答案】160【分析】先根據(jù)A、B、C、D選取的個數(shù)分為四類：第一類:A、B、C、D中取四個，a、b、c、d中取一個；第二類:A、B、C、D中取三個，a、b、c、d中取二個；第三類:A、B、C、D中取二個,a、b、c、d中取三個；第四類:A、B、C、D中取一個,a、b、c、d中取四個.【詳解】分為四類情況：第一類：在A、B、C、D中取四個，在a、b、c、d中取一個，共有；第二類：在A、B、C、D中取三個，在a、b、c、d中取兩個，分兩種情況：形如AaBbC(大小寫有兩個字母相同)共有，形如AaBCd（大小寫只有一個字母相同）共有；第三類：在A、B、C、D中取兩個，在a、b、c、d中取三個，取法同第二類情況；第四類：在A、B、C、D中取一個，在a、b、c、d中取四個，取法同第一類情況；所以共有：2(8++)=160【點睛】本題考查了分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，對學生的思維能力要求較高，其中有序排列給題目增加了分類的難度，在解題時需要耐心細致，認真思考分類標準.16．下圖中共有__________個矩形.【答案】45.【詳解】分析：結(jié)合圖形進行分類，利用排列組合的性質(zhì)求解每類中矩形的個數(shù)，然后利用加法原理即可求得圖中矩形的個數(shù).詳解：如圖所示，由排列組合知識可知，在矩形中，含有矩形的個數(shù)為，在矩形中，含有矩形的個數(shù)為，除去上面考慮過的情況，在矩形中，含有矩形的個數(shù)為，在矩形中，含有矩形的個數(shù)為，綜上可得：圖中矩形的個數(shù)為：.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．四、解答題17．已知，對于有限集，令表示集合中元素的個數(shù)．例如：當時，，．(1)當時，請直接寫出集合的子集的個數(shù)；(2)當時，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求滿足條件的有序集合對的個數(shù)；(3)假設(shè)存在集合、具有以下性質(zhì)：將1，1，2，2，··，，．這個整數(shù)按某種次序排成一列，使得在這個序列中，對于任意，與之間恰好排列個整數(shù)．證明：是4的倍數(shù)．【答案】(1)8(2)454(3)證明見詳解【分析】（1）n元集合的直接個數(shù)為可得；（2）由已知結(jié)合可得，或，然后可得集合的包含關(guān)系可解；（3）根據(jù)每兩個相同整數(shù)之間的整數(shù)個數(shù)之和與總的數(shù)字個數(shù)之間的關(guān)系可證.(1)當時，集合的子集個數(shù)為(2)易知，又，所以，即，得，或，所以或1）若，則滿足條件的集合對共有，2）若，同理，滿足條件的集合對共有2433）當A=B時，滿足條件的集合對共有所以，滿足條件的集合對共243+243-32=454個.(3)記，則1，1，2，2，··，，共2n個正整數(shù)，將這2n個正整數(shù)按照要求排列時，需在1和1中間放入1個數(shù)，在2和2中間放入2個數(shù)，…，在n和n中間放入n個數(shù)，共放入了個數(shù)，由于排列完成后共有2n個數(shù)，且1，1，2，2，··，，剛好放完，所以放入數(shù)字個數(shù)必為偶數(shù)，即Z，所以，Z，所以是4的倍數(shù)．18．（1）把6個相同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（2）把6個相同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（3）把6個不同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（4）把6個不同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？【答案】（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560.【分析】(1)根據(jù)條件每個箱子先放一個，確定余下兩個小球的放法即為答案；(2)將6個相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得；(3)把6個不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1兩種方案分成4組，求出所有分組方法數(shù)即可；(4)把6個不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1兩種方案分成4組，再將每一種分法放入4個不同箱子即可得解.【詳解】（1）把6個相同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子至少放1個小球，每個箱子先放入1個小球，還剩下2個小球，則余下2個小球放在1個箱子中，或分開放在2個箱子中，所以共有2種放法；（2）6個相同的小球放入4個不同的箱子，每個箱子至少放1個小球，將6個相同的小球排成一列，在形成的中間5個空隙中插入3塊隔板，所以不同的放法種數(shù)為；（3）6個不同的小球放入4個相同的箱子，每個箱子至少放1個小球，先把6個不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1兩種方案分成4組，每一種分法的4組小球分別放入4個箱子滿足要求，一種分組方法即為一種放法，所以不同的放法種數(shù)為；（4）6個不同的小球放入4個不同的箱子，每個箱子至少放1個小球，先把6個不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1兩種方案分成4組，每一種分法的4組小球全排列，得到的每一個排列的4組小球分別放入4個箱子滿足要求，所以不同的放法種數(shù)為．19．江夏一中高二年級計劃假期開展歷史類班級研學活動，共有6個名額，分配到歷史類5個班級(每個班至少0個名額，所有名額全部分完).（1）共有多少種分配方案？（2）6名學生確定后，分成A、B、C、D四個小組，每小組至少一人，共有多少種方法？（3）6名學生來到武漢火車站.火車站共設(shè)有3個“安檢”入口，每個入口每次只能進1個旅客，求6人進站的不同方案種數(shù).【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為不定方程的非負整數(shù)解問題，再利用隔板原理進行求解；A、B、C、D四個小組即可；（3）每名學生有3種進站方法，分步乘法計數(shù)原理即得6人進站的不同方案種數(shù).【詳解】（1）由題意得：問題轉(zhuǎn)化為不定方程的非負整數(shù)解的個數(shù)，∴方程又等價于不定方程的正整數(shù)解的個數(shù)，利用隔板原理得：方程正整數(shù)解的個數(shù)為，∴共有種分配方案.（2））先把6名學生按人數(shù)分成沒有區(qū)別的4組，有2類：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人，再把每一類中的人數(shù)分到A、B、C、D四個小組.第一種分法：1人，1人，1人，3人，有種方法；第二種分法：1人，1人，2人，2人，有種方法.共有種方法.（3）每名學生有3種進站方法，分步乘法計數(shù)原理得6人進站有種不同的方案.【點睛】本題考查隔板原理的應(yīng)用，考查平均分組、分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，考查學生的邏輯推理能力和計算能力.20．5名男生4名女生站成一排，求滿足下列條件的排法：（1）女生都不相鄰有多少種排法？（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考慮位置的前后順序)，有多少種排法?（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？【答案】（1）43200（2）60480（3）287280【詳解】試題分析：（1）不相鄰排法，可使用插空法，先將男生排好，再將男生排入女生的空檔中；（2）可以先將所有學生任意全排列，再將男生三人的多余排法除去；（3）分類，先考慮甲在末位；甲在首位，乙在末位；甲不在首位，乙在末位；甲乙都在首位與末位的．試題解析：解：（1）任何2名女生都不相鄰，則把女生插空，所以先排男生再讓女生插到男生的空中，共有(種)不同排法.（2）9人的所有排列方法有種，其中甲、乙、丙的排序有種，又對應(yīng)甲、乙、丙只有

一種排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有(種)．（3）法一：甲不在首位，按甲的排法分類，若甲在末位，則有種排法，若甲不在末位，則甲有種排法，乙有種排法，其余有種排法，綜上共有(+)＝

287280(種)排法．

（或者）-2+=287280(種）（或者）-2-=287280(種)點睛：在處理排列問題時，要以兩個原理為基礎(chǔ)，確定好是分類還是分步，再用排列數(shù)表示每類或每步的個數(shù)，遇到特殊元素或特殊位置可用以下常見思路解決．一般情況下，會從受到限制的特殊元素開始考慮，有時也從特殊的位置開始討論，對于相鄰問題，常用”捆綁法”；對于不相鄰問題，常用”插空法”(特殊元素后考慮)，對于”在”與”不在”的問題，常常使用”直接法”或”排除法”(特殊元素先考慮)．21．把1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們由小大到的順序排成一個數(shù)列.（Ⅰ）求是這個數(shù)列的第幾項；（Ⅱ）求這個數(shù)列的第96項；（Ⅲ）求這個數(shù)列的所有項和.【答案】（1）第項.（2）.（3）.【詳解】試題分析：（1）可從反面出發(fā)：大于的數(shù)可分為以下三類：以5開頭，以45開頭，以435開頭，最后用減即得，（2）比第項所表示的五位數(shù)大的五位數(shù)有個，而以5開頭的有（個），所以第項為（3）每位數(shù)字之和為，共有（個），所以所有項和為試題解析：（Ⅰ）大于的數(shù)可分為以下三類：第一類：以5開頭的有（個），第二類：以45開頭的有（個），第三類：以435開頭的有（個），故不大于的五位數(shù)有（個），即是第項.（Ⅱ）數(shù)列共有項，項之后還有項．即比第項所表示的五位數(shù)大的五位數(shù)有個，∴小于開頭的五位數(shù)中最大的一個就是該數(shù)列的第項，即為.（Ⅲ）∵各在萬位上時都有個五位數(shù)，∴萬位上數(shù)字的和為，同理在千位、百位、十位、個位上也有個五位數(shù)，∴這個數(shù)列的所有項和為.22．在數(shù)字1，2，…，n(n≥2)的任意一個排列A：a1，a2，，an中，如果對于i，j∈N*，i＜j，有ai＞aj，那么就稱(ai，aj)為一個逆序?qū)Γ浥帕蠥中逆序?qū)Φ膫€數(shù)為S（A）．如n=4時，在排列B：3，2，4，1中，逆序?qū)τ校?，2），（3，1），（2，1），（4，1），則S（B）=4．（1）設(shè)排列C：3，5，6，4，1，2，寫出S（C）的值；（2）對于數(shù)字1，2，...，n的一切排列A，求所有S（A）的算術(shù)