第07講平面幾何一些重要定理（原卷版）

第07講平面幾何一些重要定理【考點預(yù)測】1、梅涅勞斯（Menelaus）定理【定理1】設(shè)分別是△的邊或其延長線上的點，且有奇數(shù)個點在邊的延長線上，則三點共線的充要條件是．（*）2、塞瓦（Ceva）定理【定理2】設(shè)分別是△的邊或其延長線上的點，且有偶數(shù)個點在邊的延長線上，則三線共點或互相平行的充要條件是．3、托勒密（Ptolemy）定理【定理3】設(shè)四邊形內(nèi)接于一圓，則．4、斯特瓦爾特（Stewart）定理【定理4】設(shè)是△的邊上的一點，則．5、西姆松（Simsson）定理【定理5】在凸四邊形中，若分別是點在的邊邊或其延長線上的射影，則三點共線的充要條件是四邊形內(nèi)接于一圓．【典例例題】例1．（2021·全國·高三競賽）在銳角中，D為邊上一定點，P為邊上一動點，直線交于點Q，交于點X．、、的三個外接圓分別交于X外的另三點、、，過、、分別作垂線、、，證明：、、均過定點．例2．（2021·全國·高三競賽）點P為橢圓外一點，過P作橢圓兩條切線、，切點分別為A、B，連結(jié)，點M、N分別為、中點，連結(jié)并延長交橢圓于點C，連結(jié)交橢圓于另一點D，連結(jié)并延長交于Q，證明：Q為的中點．例3．（2019·全國·高三競賽）在中，，是的中點，以為圓心的圓分別切、于點、，在的上任取一點，過作圓的切線分別交、于點、，聯(lián)結(jié)交于點．求證：．例4．（2019·全國·高三競賽）是的內(nèi)切圓，、、是邊、、上的切點，、、都是的直徑.求證：、、三線共點.例5．（2019·全國·高三競賽）如圖，△ABC的內(nèi)切圓分別與邊BC、CA、AB切于點D、E、F，AD與BE交于點P，設(shè)點P關(guān)于直線EF、FD、DE的對稱點分別X、Y、Z.證明：AX、BY、CZ三線共點.例6．（2018·全國·高三競賽）如圖，點、是的外接圓上（異于、、）的兩點，點關(guān)于直線、、的對稱點分別是、、，連線、、分別與直線、、交于點、、．求證：（1）、、三點共線；（2）、、三點共線．例7．證明：存在唯一圓，與內(nèi)切、與外切，并且與內(nèi)切于點A．例8．設(shè)圓與、的切點分別為P、Q．如果，求證：．例9．（2018·全國·高三競賽）已知正實數(shù)、、滿足．證明：對任意正實數(shù)、、，有．【過關(guān)測試】1．（2022·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考競賽）如圖，是的內(nèi)心，的外角平分線交于點，直線交外接圓于點，直線與直線交點為，證明：.2．（2018·全國·高三競賽）在正的平面內(nèi)有任一點（不在的三條高線所在直線上），點關(guān)于直線、、的對稱點為，、.證明：的外心在一條直線上.3．（2021·全國·高三競賽）如圖所示，在等腰中，，設(shè)點D是邊上一點，點E是線段的中點，延長與底邊交于點F，證明：若，求證：.4．（2021·全國·高三競賽）如圖，、為圓的兩切線，為圓的一條割線，為切點連線，D為過C、B關(guān)于圓的切線的交點，證明：D、E、F共線．5．（2006·江蘇·高三競賽）已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，直線AC、BD相交于點P，并且.設(shè)E為AC的中點.求證：.6．（2005·河南·高一競賽）為內(nèi)接三角形，.點在劣弧上，從點分別作、的垂線交于點、，射線、交于點.若，求證：.7．（2018·全國·高三競賽）如圖，已知△ABC內(nèi)切圓分別與邊AB、BC、AC切于點F、D、Q，直線AD、CF分別與交于另一點H、K,證明：.8．（2019·全國·高三競賽）如圖，內(nèi)接于圓，是劣弧的中點，圓與圓切于點，與邊切于點.過點作圓的切線，切點為.證明：.9．（2018·全國·高三競賽）如圖，凸四邊形的兩組對邊的延長線分別交于點，設(shè)分別為的外心．求證：∽，∽，∽，∽．10．（2018·全國·高三競賽）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，E是弧上的任意一點，點D關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點分別為，聯(lián)結(jié)，分別交BC、CA、AB所在直線于點．證明：(1)三點共線；(2)，三點共線．11．（2019·全國·高三競賽）如圖，設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD的頂點D在直線AB、BC、CA上的射影分別為P、Q、R，且∠ABC與∠ADC的角平分線交于點E.求證：點E在AC上的充要條件是PR=QR.12．（2012·江