第6講高一學(xué)科素養(yǎng)能力競賽三角函數(shù)圖象與性質(zhì)專題訓(xùn)練

第6講高一學(xué)科素養(yǎng)能力競賽三角函數(shù)圖象與性質(zhì)專題訓(xùn)練【題型目錄】模塊一：易錯(cuò)試題精選模塊二：培優(yōu)試題精選模塊三：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題精選【典例例題】模塊一：易錯(cuò)試題精選【例1】已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：①的最小正周期為：

②是奇函數(shù)：③的值域?yàn)椋?/p>

④在上單調(diào)遞增．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①，畫出函數(shù)圖象可以判斷最小正周期；②，利用定義判斷奇偶性；③，配方后求出最值，求出值域；④代入檢驗(yàn)判斷單調(diào)性.【詳解】，畫出函數(shù)圖象如下：顯然的最小正周期為，①正確；，故，且，所以是非奇非偶函數(shù)，②錯(cuò)誤；，因?yàn)椋栽谌〉米畲笾?，，?dāng)時(shí)，取得最小值，，所以的值域?yàn)椋壅_；當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知單調(diào)遞增，④正確.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是作出函數(shù)的大致圖象，數(shù)形結(jié)合分析，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的能力.【例2】若函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：①定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，都有；②對(duì)于定義域內(nèi)任意，當(dāng)時(shí)，恒有；則稱函數(shù)f（x）為“DM函數(shù)”.若“DM函數(shù)”滿足，則銳角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，確定函數(shù)具有的性質(zhì)，借助性質(zhì)脫去法則“f”即可求解作答.【詳解】由①知，，由②知，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，依題意，，即，整理得：，而，，不等式成立，于是得，所以銳角的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.【例3】設(shè)函數(shù)，已知在上單調(diào)遞增，則在上的零點(diǎn)最多有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)題意得出參數(shù)的范圍，設(shè)，則，由，得出函數(shù)在上的零點(diǎn)情況出答案.【詳解】由，，得，，取，可得.若在上單詞遞增，則，解得.若，則.設(shè)，則，因?yàn)樗院瘮?shù)在上的零點(diǎn)最多有2個(gè).所以在上的零點(diǎn)最多有2個(gè).故選：A【例4】已知函數(shù)，現(xiàn)給出下列四個(gè)結(jié)論：①為偶函數(shù)；②的最小正周期為；③在上單調(diào)遞增；④在內(nèi)有2個(gè)解．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①利用函數(shù)的奇偶性判斷即可.②由可知.③利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.④數(shù)形結(jié)合判斷即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，，所以為偶函數(shù)，①正確．由，可得的最小正周期為，②錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，③錯(cuò)誤．，則，，或，．當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)解，，無解，故在內(nèi)有2個(gè)解，④正確．故選：B.【點(diǎn)睛】本題利用復(fù)合函數(shù)，綜合考察三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于難題.在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)需注意先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.【例5】已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上有且僅有2條對(duì)稱軸；②在區(qū)間上單調(diào)遞增；③的取值范圍是.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】對(duì)于③，令，得，可知，求得；對(duì)于①，利用的對(duì)稱軸為可判斷；對(duì)于②，利用利用的增區(qū)間為可判斷；【詳解】對(duì)于③，，，令，得，由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)，即取得0，，所以，解得，故③正確；對(duì)于①，當(dāng)，，由，知，令，由于值不確定，所以不一定取到，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，由，知即，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故②正確；所以正確的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：C【例6】（多選題）已知函數(shù)（）在區(qū)間上有且僅有條對(duì)稱軸，給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的是（

）A．在區(qū)間上有且僅有個(gè)不同的零點(diǎn)B．的最小正周期可能是C．的取值范圍是D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸情況可得的取值范圍，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).【詳解】解：由函數(shù)（），令，，則，，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有條對(duì)稱軸，即有個(gè)整數(shù)符合，由，得，即，則，，，，即，，C正確；對(duì)于A，，，，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有個(gè)不同的零點(diǎn)；故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，周期，由，則，，又，所以的最小正周期可能是，故B正確；對(duì)于D，，，又，又，所以在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；故選：BC．【例7】（多選題）設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．的取值范圍是B．的圖象與直線在上的交點(diǎn)恰有2個(gè)C．的圖象與直線在上的交點(diǎn)恰有2個(gè)D．在上單調(diào)遞減【答案】AB【分析】對(duì)于A,確定，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定，求得參數(shù)范圍；對(duì)于B，C，采用整體代換思想，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，確定，計(jì)算的范圍，從而確定在上單調(diào)性.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏嫌星覂H有4個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故A正確；又由以上分析可知，函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，且，則在上，出現(xiàn)兩次最大值，此時(shí)函數(shù)的大致圖象如圖示：即在上兩次出現(xiàn)最大值1，即取時(shí)，取最大值，故的圖象與直線在上的交點(diǎn)恰有2個(gè)，故B正確；由于當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，由于是否取到不確定，故的圖象與直線在上的交點(diǎn)可能是1個(gè)或2個(gè)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋裕?，故的值不一定小于，所以在上不一定單調(diào)遞減.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合型余弦函數(shù)的解析式中參數(shù)的確定以及零點(diǎn)以及最值和單調(diào)性問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，解答時(shí)要能綜合應(yīng)用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)靈活解答，關(guān)鍵是整體代換思想的應(yīng)用.【例8】（多選題）設(shè)函數(shù)，若在有且僅有5個(gè)最值點(diǎn)，則（

）A．在有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)B．在有且僅有4個(gè)零點(diǎn)C．的取值范圍是D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】令，利用圖像逐項(xiàng)分析最值點(diǎn)、零點(diǎn)個(gè)數(shù)，單調(diào)性即可.【詳解】，，，令，，畫出圖像進(jìn)行分析:對(duì)于A選項(xiàng)：由圖像可知：在上有且僅有這3個(gè)最大值點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)，即時(shí)，在有且僅有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，故B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)：在有且僅有個(gè)最值點(diǎn)，，，的取值范圍是，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，，，由C選項(xiàng)可知，，，在上單調(diào)遞增，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【例9】（多選題）已知函數(shù)，，，在上單調(diào)遞增，則的取值可以是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AC【分析】根據(jù)，可確定，即可確定的取值情況，然后結(jié)合在上單調(diào)遞增，進(jìn)行驗(yàn)證即可確定答案.【詳解】函數(shù)，,則①,又，則是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故②,兩式相減得：，在上單調(diào)遞增，則,則，故的取值在1,3,5,7,9,11之中；當(dāng)時(shí)，，，故，此時(shí)若，在單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，故，此時(shí)，因?yàn)椋瑒t，若，在單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，故，此時(shí)，，故在上不單調(diào)，不符合題意；故選：AC【例10】已知函數(shù).①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)是奇函數(shù)；③函數(shù)的值域?yàn)椋虎芎瘮?shù)的值域?yàn)?其中正確的結(jié)論序號(hào)為___________.【答案】①③【分析】對(duì)于選項(xiàng)①②.利用函數(shù)奇偶性的定義,即可判斷,對(duì)于選項(xiàng)③④,先利用三角函數(shù)的和差公式以及倍角公式化簡,再通過換元,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題即可.【詳解】解:因?yàn)?所以函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又,故函數(shù)為偶函數(shù).所以①正確,②錯(cuò)誤.,令,,所以,所以,函數(shù)的值域?yàn)?所以③對(duì),④錯(cuò).故選:①③.【例11】已知函數(shù)，若且在區(qū)間上有最小值無最大值，則_______．【答案】4或10##10或4【分析】根據(jù)可求出f(x)的一條對(duì)稱軸，根據(jù)該對(duì)稱軸可求出ω的表達(dá)式和可能取值，結(jié)合y＝sinx的圖像，根據(jù)在區(qū)間上有最小值無最大值判斷ω的取值范圍，從而判斷ω的取值.【詳解】∵f(x)滿足，∴是f(x)的一條對(duì)稱軸，∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴.當(dāng)時(shí)，，y＝sinx圖像如圖：要使在區(qū)間上有最小值無最大值，則：或，此時(shí)ω＝4或10滿足條件；區(qū)間的長度為：，當(dāng)時(shí)，f(x)最小正周期，則f(x)在既有最大值也有最小值，故不滿足條件.綜上，ω＝4或10.故答案為：4或10.【例12】設(shè)函數(shù)，.若方程在上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】，令，則，由題意，原問題等價(jià)于在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由一元二次方程根的分布即可求解.【詳解】解：，令，則，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)榉匠淘谏嫌?個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以原問題等價(jià)于在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以有，解得，故答案為：.【例13】若函數(shù)的最大值和最小值分別為M、m﹐則函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心是_________．【答案】(，1)##(0.5，1)【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合奇偶性考慮最值，可求出，從而可得函數(shù)為定值可求g(x)的對(duì)稱中心﹒【詳解】函數(shù)，令，h(x)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，是奇函數(shù)，若的最大值為，最小值為，則，∴，，，∴，∴當(dāng)a＝1時(shí)，，∴g(x)關(guān)于(，1)中心對(duì)稱.故答案為：(，1).【例14】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知在時(shí)，求方程的所有根的和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）將函數(shù)變形為，由函數(shù)的周期及奇偶性可求解；（2）解方程得或，即或，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求解.(1)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，的最小正周期為，即可得，又為奇函數(shù)，則，，又，，故的解析式為，令，得函數(shù)的遞減區(qū)間為，.(2)，，，方程可化為，解得或，即或當(dāng)時(shí)，或或解得或或當(dāng)時(shí)，，所以綜上知，在時(shí)，方程的所有根的和為【例15】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)a和正整數(shù)n，使得函數(shù)在上恰有2021個(gè)零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的a和n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)存在；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【分析】（1）求得在區(qū)間上的值域，根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可求得的不等關(guān)系，求解即可；（2）根據(jù)題意，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，(1)當(dāng)時(shí)，，，則要使對(duì)任意恒成立，令，則對(duì)任意恒成立，只需，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為．(2)假設(shè)同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿足條件，函數(shù)在上恰有2021個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與直線在上恰有2021個(gè)交點(diǎn)，故數(shù)形結(jié)合分類討論如下：①當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線在上無交點(diǎn)；②當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線在上僅有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)要使函數(shù)與直線在上有2021個(gè)交點(diǎn)，則；③當(dāng)或時(shí)，函數(shù)直線在上有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)與直線在上有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，不可能有2021個(gè)交點(diǎn)，不符合；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線在上有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)要使函數(shù)與直線在上恰有2021個(gè)交點(diǎn)，則；綜上所述，存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿足條件：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值域的求解以及圖象的繪制、涉及恒成立問題的處理，以及函數(shù)零點(diǎn)問題的求解，屬綜合困難題.模塊二：培優(yōu)試題精選【例1】已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）A．是的一個(gè)周期 B．函數(shù)在單調(diào)遞減C．函數(shù)的值域?yàn)?D．函數(shù)在內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)【答案】C【分析】對(duì)于A，根據(jù)即可判斷；對(duì)于B，當(dāng)將化簡，然后檢驗(yàn)即可；對(duì)于C，求出函數(shù)在一個(gè)周期的值域，先求當(dāng)，再求當(dāng)?shù)闹涤蚣纯膳袛?；?duì)于D，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可通過區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)從而確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)，，其中，不妨令為銳角，所以，所以，因?yàn)椋訠錯(cuò)誤；因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)周期，可取一個(gè)周期上研究值域，當(dāng)，，，所以，即；因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上的值域?yàn)椋蔆正確；因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)可通過區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由，在圖像知由2個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，所以D錯(cuò)誤．故選:C.【例2】已知函數(shù)在R上滿足，且時(shí)，對(duì)任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，按、分別探討函數(shù)的性質(zhì)，借助圖象關(guān)系及已知列出不等式，求解作答.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位而得，顯然的圖象總在的圖象的上方，即恒成立，因此，若，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槠婧瘮?shù)，函數(shù)在R上的圖象，如圖，把的圖象向右平移個(gè)單位得的圖象，要，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)射線經(jīng)平移后在射線及下方，于是得，則，綜上得，即，而，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由一個(gè)函數(shù)經(jīng)左右平移得另一函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)式為不等式的兩邊的不等式恒成立問題，作出原函數(shù)圖象，借助圖象分析求解是解決問題的關(guān)鍵.【例3】已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對(duì)函數(shù)化簡變形，然后由題意可得，求得，再由可得，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)椋渲?，，由于函?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，即，化簡得，所以，即，所以，故選：C.【例4】已知函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中b的可能取值為（

）A．0 B． C． D．4【答案】C【分析】先由題意得，在上有且只有一個(gè)解，再根據(jù)，的值域得到關(guān)于b的不等式，進(jìn)而得到b的取值范圍【詳解】令，，由函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則方程，其中，有且只有一個(gè)解，從而的值域?yàn)橛邢迏^(qū)間，故必有，從而有的值域?yàn)?，所以，即，從而可以選，故選項(xiàng)C正確．故選：C．【例5】已知，其中.若對(duì)一切的恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】利用輔助角公式，化簡得．根據(jù)對(duì)一切恒成立，可得當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值或最小值，從而得出，．再由知，，進(jìn)而得到，最后根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】根據(jù)題意，可得，其中．對(duì)一切恒成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值或最小值．因此，，解得，，，，從而取得到．由此可得，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，．故選：B．【例6】已知函數(shù)，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①的最小正周期為；②；③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為(

)A．①③④ B．①②④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】根據(jù)絕對(duì)值對(duì)函數(shù)圖像的影響，作出函數(shù)圖像，有圖像即可判斷①③；根據(jù)時(shí)f(x)的值域可判斷范圍，根據(jù)f(x)在的單調(diào)性，可比較的大小.【詳解】作出的部分圖象，如圖所示，由圖可知，的最小正周期是，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故①③正確；當(dāng)時(shí)，，而，∴，故②錯(cuò)誤；∵在上單調(diào)遞增，且，∴，故④正確.故選：A.【例7】（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．是奇函數(shù)D．有4個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【分析】根據(jù)對(duì)稱性，利用公式，可得A，B的正誤，根據(jù)函數(shù)的圖象變換，構(gòu)造新的函數(shù)，利用奇偶性的定義，可得C的正誤，根據(jù)零點(diǎn)的定義，三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得D的正誤.【詳解】對(duì)于A，，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故正確；對(duì)于C，，令，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，解得，則有兩個(gè)解，因?yàn)?，，，令，則，，由，則在內(nèi)有兩個(gè)根，故正確.故選：BD.【例8】（多選題）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上的值域?yàn)镈．函數(shù)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義、余弦的二倍角公式，利用換元法、二次函數(shù)的性質(zhì)、零點(diǎn)的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)镽．因?yàn)?，所以，則函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，即，令，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)，即時(shí)，，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域，二次函數(shù)對(duì)稱軸方程為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，令，即，解得或，當(dāng)時(shí)，或或，故函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：BD．【例9】（多選題）已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，，若函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱 B．C． D．有100個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】由題設(shè)有、、，即關(guān)于對(duì)稱且是周期為4的奇函數(shù)，利用周期性求、、，判斷A、B、C；再畫出與的函數(shù)部分圖象，數(shù)形結(jié)合法判斷它們的交點(diǎn)情況判斷D.【詳解】由題設(shè)，，即，關(guān)于對(duì)稱，A正確；又，則，即是周期為4的奇函數(shù)，由，即，，B正確；，，故，C錯(cuò)誤；綜上，與的函數(shù)部分圖象如下：當(dāng)，過點(diǎn)，故時(shí)與無交點(diǎn)；由圖知：上與有1個(gè)交點(diǎn)；上的每個(gè)周期內(nèi)與有兩個(gè)交點(diǎn)，共有個(gè)交點(diǎn)；而與且，即時(shí)無交點(diǎn)；當(dāng)，過點(diǎn)，故時(shí)與無交點(diǎn)；由圖知：上與有3個(gè)交點(diǎn)；上的每個(gè)周期內(nèi)與有兩個(gè)交點(diǎn)，共有個(gè)交點(diǎn)；而與且，即時(shí)無交點(diǎn)；綜上，共有個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：ABD【例10】（多選題）已知函數(shù)，下列關(guān)于此函數(shù)的論述正確的是（

）A．為函數(shù)的一個(gè)周期 B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)【答案】CD【分析】A選項(xiàng)，舉出反例即可；BD選項(xiàng)，從函數(shù)奇偶性和得到周期性入手，得到函數(shù)的圖象性質(zhì)，得到零點(diǎn)和值域；C選項(xiàng)，代入檢驗(yàn)得到函數(shù)單調(diào)性，判斷C選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B、D：函數(shù)定義域?yàn)镽，并且，所以函數(shù)為偶函數(shù)；因?yàn)?，為周期函?shù)，故僅需研究函數(shù)在區(qū)間上的值域及零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，則，可得且僅一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，可得且僅一個(gè)零點(diǎn)；所以函數(shù)的值域?yàn)榍以谏嫌?個(gè)零點(diǎn)．故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．選項(xiàng)C：函數(shù)在上，有，所以，則得函數(shù)在該區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)．故選項(xiàng)C正確．故選：CD．【例11】（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．是周期函數(shù) B．在上單調(diào)遞增C．的值域?yàn)?D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABCD【分析】A、D應(yīng)用誘導(dǎo)公式判斷、與是否相等即可判斷；B、C令，可得，結(jié)合二次函數(shù)、正弦函數(shù)的單調(diào)性研究的單調(diào)性，并確定值域范圍.【詳解】A：，故是周期函數(shù)，正確；令，則，在且上遞增，在且上遞減，且且，所以在一個(gè)周期內(nèi)，在上遞增，在上遞減，而在上遞減，在上遞增，B：由時(shí)，則在上單調(diào)遞增，正確；C：由上分析知：的值域?yàn)?，正確；D：，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，正確.故選：ABCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用換元法，結(jié)合二次函數(shù)、正弦型函數(shù)及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷的單調(diào)性和值域，代入驗(yàn)證法判斷的周期性和對(duì)稱性.【例12】（多選題）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．的周期為 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在上的最大值為 D．在上的所有零點(diǎn)之和為【答案】BCD【分析】對(duì)A，根據(jù)正弦與正切的周期判斷即可；對(duì)B，計(jì)算是否成立即可；對(duì)C，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，進(jìn)而求得上的最大值即可；對(duì)D，根據(jù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合分析即可【詳解】對(duì)A，因?yàn)榈闹芷跒?，的周期為，故的周期為，A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，故關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；對(duì)C，因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)在上為減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，即，故在上，，單調(diào)遞增；在上，，；對(duì)D，分析在上的所有零點(diǎn)即圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又均關(guān)于對(duì)稱，故分析時(shí)的圖象即可.由C選項(xiàng),在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，又關(guān)于對(duì)稱，在上，為減函數(shù)，故可畫出在區(qū)間圖象交點(diǎn)有三對(duì)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，故零點(diǎn)和為,故D正確故選：BCD【例13】（多選題）已知函數(shù)，其中，，且滿足①；②；③在區(qū)間單調(diào)，則下述結(jié)論中正確的為（

）A． B．C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增【答案】AB【分析】由①可得在處取得最值，由②可得關(guān)于對(duì)稱，由③可得，結(jié)合①②與題設(shè)條件可得，進(jìn)而判斷選項(xiàng)【詳解】由得：，；由得：，；∴，.由在區(qū)間單調(diào)得：，，又，綜上可得，，，故AB正確；又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，滿足在區(qū)間單調(diào)遞減.故CD錯(cuò)誤；故選：AB【例14】（多選題）設(shè)函數(shù)，給出的下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)，時(shí)，為偶函數(shù)B．當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)C．當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)，時(shí)，設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最大值為【答案】ACD【分析】利用余弦型函數(shù)的奇偶性可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；在時(shí)解方程，可判斷C選項(xiàng)；對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，求出的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，為偶函數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由可得，解得，此時(shí)在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)?，則，①若，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；②若時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，，因?yàn)?，則，，所以，；③若，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則；④若時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，，因?yàn)?，則，，所以，.綜上所述，，D對(duì).故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)基本性質(zhì)的綜合，難點(diǎn)在于判斷D選項(xiàng)，要注意對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求得、的值或表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性來求解.【例15】已知函數(shù).①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)是奇函數(shù)；③函數(shù)的值域?yàn)椋虎芎瘮?shù)的值域?yàn)?其中正確的結(jié)論序號(hào)為___________.【答案】①③【分析】對(duì)于選項(xiàng)①②.利用函數(shù)奇偶性的定義,即可判斷,對(duì)于選項(xiàng)③④,先利用三角函數(shù)的和差公式以及倍角公式化簡,再通過換元,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題即可.【詳解】解:因?yàn)?所以函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又,故函數(shù)為偶函數(shù).所以①正確,②錯(cuò)誤.,令,,所以,所以,函數(shù)的值域?yàn)?所以③對(duì),④錯(cuò).故選:①③.【例16】方程，的所有根的和等于2024，則滿足條件的整數(shù)m的值是___________.【答案】1009或1010##1010或1009【分析】構(gòu)造函數(shù)，，分析探討函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，確定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)計(jì)算作答.【詳解】方程，令函數(shù)，，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，其圖象如圖，區(qū)間關(guān)于數(shù)1對(duì)稱，函數(shù)，在的交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，它們關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因方程在上所有根的和等于2024，因此，兩函數(shù)圖象在上有1012對(duì)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的交點(diǎn)，則有或，解得或，所以滿足條件的整數(shù)m的值是1009或1010.故答案為：1009或1010【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).【例17】高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如．已知函數(shù)，函數(shù)，則下列命題正確的是__________．①函數(shù)是周期函數(shù)；

②函數(shù)的值域是；③函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱；

④方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；【答案】②④【分析】先研究函數(shù)的奇偶性，作出函數(shù)的圖象，作出函數(shù)的圖象判斷①②的正確性，由特值判斷③的正確性，再分類討論判斷方程的根的個(gè)數(shù)得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)的圖象如圖所示，所以函數(shù)的圖象如圖所示，由函數(shù)的圖象得到不是周期函數(shù)，故選項(xiàng)①不正確；所以函數(shù)的值域是，故選項(xiàng)②正確；由，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故選項(xiàng)③不正確；對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根；故方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D正確.故答案為：②④.【例18】函數(shù).(1)若，，求函數(shù)的值域；(2)當(dāng)，且有意義時(shí)，①若，求正數(shù)的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，令，令，，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)在上的值域，即可得解；（2）①分析可知，可得出，分、兩種情況討論，化簡函數(shù)的函數(shù)解析式或求出函數(shù)的最小值，綜合可得出正實(shí)數(shù)的取值范圍；②令，則，可得出，分析可得出，利用雙勾函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合比較法可求得.(1)解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則，令，則，可得，設(shè)，其中，令，則，令，其中，下面證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，任取、且，則，當(dāng)，則，此時(shí)，當(dāng)，則，此時(shí)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因此，函數(shù)在上的值域?yàn)?(2)解：因?yàn)?，則，令，設(shè)，①若，必有，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，可得，合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)且時(shí)，則，合乎題意.綜上所述，；②令，則，則，令，下面證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上為增函數(shù)，任取、且，則，，所以，，所以，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，同理可證函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，且，所以，，又，，，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可得，綜上所述.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解本題第二問第2小問中，要通過不斷地?fù)Q元，將問題轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)的最值，結(jié)合比較法可得出結(jié)果.【例19】已知函數(shù)．(1)若，，求的對(duì)稱中心；(2)已知，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在（且）上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，求的最小值；(3)已知函數(shù)，在第（2）問條件下，若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或;(2);(3).【分析】（1）由，可求得函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而確定參數(shù)的值，再由整體代換即可求得對(duì)稱中心；（2）由三角函數(shù)的平移變換求得的解析式，再由零點(diǎn)的定義確定參數(shù)的值，結(jié)合圖象可得的最小值；（3）將所給條件轉(zhuǎn)化為和的值域的包含關(guān)系，即可求得參數(shù)的取值范圍．(1)∵的最小正周期為，又∵，，∴的最小正周期是，故，解得，當(dāng)時(shí)，，由，的對(duì)稱中心為；當(dāng)時(shí)，，由，的對(duì)稱中心為；綜上所述，的對(duì)稱中心為或.(2)∵函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，∴.又∵是的一個(gè)零點(diǎn)，，即，∴或，解得或，由可得∴，最小正周期.令，則即或，解得或，；若函數(shù)在（且）上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，故要使最小，須、恰好為的零點(diǎn)，故.(3)由（2）知，對(duì)任意，存在，使得成立，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由可得，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題第（3）小問為不等式的恒成立問題，解決方法如下：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．【例20】已知．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；(3)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)所有都成立．若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，的取值范圍為【分析】（1）先化簡，再代入進(jìn)行求解；（2）換元法，化為二次函數(shù)，結(jié)合對(duì)稱軸分類討論，求出最小值時(shí)m的值；（3）換元法，參變分離，轉(zhuǎn)化為在恒成立，根據(jù)單調(diào)性求出取得最大值，進(jìn)而求出的取值范圍.(1)，當(dāng)時(shí)，(2)設(shè)，則，，，其對(duì)稱軸為，的最小值為，則；

的最小值為；則綜上，或(3)由，對(duì)所有都成立.設(shè)，則，恒成立，

在恒成立，當(dāng)時(shí)，遞減，則在遞增，時(shí)取得最大值得,∴所以存在符合條件的實(shí)數(shù)，且m的取值范圍為【例21】已知函數(shù)，，.(1)求函數(shù)的定義域；(2)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用同角關(guān)系式及三角函數(shù)的符號(hào)可得，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)及余弦函數(shù)的性質(zhì)即求；（2）由題可得，結(jié)合條件可得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，即求.(1)∵函數(shù)，∴，又，∴，∴，同理，∴，由，得，由，得，即，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?2)∵，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，∴，，∴，令，；解之得，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，∴，解之得，，又，∴，∴.【例22】已知函數(shù)，則的最小正周期為___________；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)開__________.【答案】

【分析】先根據(jù)函數(shù)周期性的定義說明是函數(shù)的一個(gè)周期，在利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而證明是最小正周期；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得最大值，再比較時(shí)端點(diǎn)處的函數(shù)值大小，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，故為的一個(gè)周期,而當(dāng)時(shí)，，由題意可知，令，得，故，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的最小正周期為π，且在上的最大值為，而，，故，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：；模塊三：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題精選【例1】（2018吉林預(yù)賽）已知，則對(duì)任意，下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得，所以該式不一定成立，sinx有可能是負(fù)數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；.所以選項(xiàng)B正確；=表示單位圓上的點(diǎn)和（-2,0）所在直線的斜率的絕對(duì)值，數(shù)形結(jié)合觀察得到，所以選項(xiàng)C正確；，所以選項(xiàng)D正確.故答案為A【例2】（2018四川預(yù)賽）函數(shù)的最大值為（

）.A． B．1 C． D．【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)?，令，則，于是令，則.由知或1.因?yàn)?，于是的最小值是，所以的最大值?故答案為:B【例3】（2019全國競賽）對(duì)任意閉區(qū)間，用表示函數(shù)在上的最大值．若正數(shù)滿足，則的值為．【答案】或【詳解】若，,與條件不符，所以，此時(shí)，，于是存在非負(fù)整數(shù)，使得①，且①處至少有一處取到等號(hào)。當(dāng)時(shí)，得或，經(jīng)檢驗(yàn)得或均滿足條件；當(dāng)時(shí)，由于，故不存在滿足①的。綜上或?！纠?】（2016全國競賽）設(shè)函數(shù)，其中是一個(gè)正整數(shù)。若對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，則的最小值為【答案】16【詳解】由條件知，其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值．根據(jù)條件知，任意一個(gè)長為1的開區(qū)間至少包含一個(gè)最大值點(diǎn)，從而，即．反之，當(dāng)時(shí)，任意一個(gè)開區(qū)間均包含的一個(gè)完整周期，此時(shí)成立．綜上可知，正整數(shù)的最小值為．【例5】（2019全國競賽）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）（表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）.A． B．C． D．【答案】D【解析】【詳解】..下面的討論均視.（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，；（4）當(dāng)或時(shí)，；（5）當(dāng)時(shí)，；（6）當(dāng)時(shí)，；（7）當(dāng)時(shí)，.綜上，.故答案為D【例6】（2021全國競賽）函數(shù)的最小正周期為____________．【答案】【解析】【詳解】解析：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，其中且，畫出圖象可得函數(shù)周期為．故答案為：.【例7】（2021浙江競賽）若，則函數(shù)的最小值為______.【答案】【詳解】令，,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：.【例8】（2015全國競賽）設(shè)是正實(shí)數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是【答案】【詳解】由知，，而，故題目條件等價(jià)于：存在整數(shù)，使得．①當(dāng)時(shí)，區(qū)間的長度不小于，故必存在滿足①式．當(dāng)時(shí)，注意到，故僅需考慮如下幾種情況：(i)，此時(shí)且無解；(ii)，此時(shí);(iii)，此時(shí),得．綜合(i)、(ii)、(iii)，并注意到亦滿足條件，可知．【例9】（2019江蘇競賽）已知函數(shù)的最小值為－6，則實(shí)數(shù)a的值為________.【答案】【解析】【詳解】令，則，∴，∴，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的最小值為：，解得：，不合題意，舍去；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的最小值為：，解得：，不合題意，舍去；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的最小值為：，解得：，滿足題意.故答案為：．【例10】（2018全國競賽）已知函數(shù)在有最大值2.求實(shí)數(shù)的值.【答案】【解析】【詳解】注意到，.令.則.由，有以下兩種情形.（1）.由，知，矛盾.（2）.若，即時(shí)，；若，即時(shí)，，矛盾；若，即時(shí)，，矛盾.綜上，.【例11】（2007全國競賽）設(shè)函數(shù)。