2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第七章 不等式、推理與證明

第1節(jié)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式考綱要求1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景；2.會(huì)從實(shí)際問(wèn)題的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；4.會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖．知識(shí)梳理1．實(shí)數(shù)大小比較的依據(jù)(1)a>b?a－b>0；(2)a＝b?a－b＝0；(3)a<b?a－b<0.2．不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a>b，c<0?ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開(kāi)方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??1．有關(guān)分式的性質(zhì)(1)若a>b>0，m>0，則eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)若ab>0，且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．對(duì)于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時(shí)不要忘記a＝0時(shí)的情形．3．當(dāng)Δ<0時(shí)，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別．診斷自測(cè)1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)a＞b?ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集為R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)由不等式的性質(zhì)，ac2＞bc2?a＞b；反之，c＝0時(shí)，a＞bac2＞bc2.(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)沒(méi)有實(shí)根，則不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集為?.(4)當(dāng)a＝b＝0，c≤0時(shí)，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立．2．已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，則A∩B＝()A．(－2,3) B．(1,3)C．(3,4) D．(－2,4)答案B解析由題意知A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以A∩B＝(1,3)．3.若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B．eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D．eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)答案B解析因?yàn)閏＜d＜0，所以0＞eq\f(1,c)＞eq\f(1,d)，兩邊同乘－1，得－eq\f(1,d)＞－eq\f(1,c)＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性質(zhì)可知－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0.兩邊同乘－1，得eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).4．(2020·廈門期末)設(shè)a，b∈R，則“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若a>2且b>1，則由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分條件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，則“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝eq\f(1,2).所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要條件．故選A.5．(2020·鎮(zhèn)江期末)某輛汽車以xkm/h的速度在高速公路上勻速行駛(60≤x≤120)，每小時(shí)的油耗(所需要的汽油量)為eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x)))L，其中k為常數(shù)．當(dāng)汽車以120km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為11.5L，欲使每小時(shí)的油耗不超過(guò)9L，則速度x的取值范圍為()A．[60,120] B．[60,100]C．[45,100] D．[45,120]答案B解析由題意得eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120－k＋\f(4500,120)))＝11.5，解得k＝100，故每小時(shí)的油耗為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4500,x)))－20))L，依題意得eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4500,x)))－20≤9，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，所以60≤x≤100.故選B.6．(2021·北京海淀區(qū)調(diào)研)若關(guān)于x的不等式kx2－kx<1的解集是全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案(－4,0]解析當(dāng)k＝0時(shí)，0<1恒成立，當(dāng)k≠0時(shí)，要使kx2－kx－1<0的解集是全體實(shí)數(shù)，只需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,k2＋4k<0，))解得－4<k<0.綜上可知，－4<k≤0.故k的取值范圍是(－4,0].考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用1．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列結(jié)論不正確的是()A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<b2C．a(chǎn)＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|答案D解析由題意可知b<a<0，所以A，B，C正確，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D錯(cuò)誤．2．若a<0，b<0，則p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)與q＝a＋b的大小關(guān)系為()A．p<q B．p≤qC．p>q D．p≥q答案B解析(作差法)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因?yàn)閍<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，則p－q＝0，故p＝q；若a≠b，則p－q<0，故p<q.綜上，p≤q.故選B.3．若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是________．答案(－π，0)解析由－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，α<β，得－π<α－β<0.4．設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________．答案[5,10]解析法一設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝a－b，,f1＝a＋b))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)[f－1＋f1]，,b＝\f(1,2)[f1－f－1]，))∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法三由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a－b≤2，,2≤a＋b≤4))確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，當(dāng)f(－2)＝4a－2b過(guò)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))時(shí)，取得最小值4×eq\f(3,2)－2×eq\f(1,2)＝5，當(dāng)f(－2)＝4a－2b過(guò)點(diǎn)B(3,1)時(shí)，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.感悟升華1.比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的兩種方法2．與命題真假判斷相結(jié)合問(wèn)題．解決此類問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．3．利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí)，在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍，解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍．考點(diǎn)二一元二次不等式的解法【例1】(1)不等式0<x2－x－2≤4的解集為_(kāi)_______．(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<－\f(1,3)))，則不等式x2－bx－a≥0的解集是________．答案(1){x|－2≤x<－1，或2<x≤3}(2){x|x≥3，或x≤2}解析(1)原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2>0，,x2－x－2≤4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2>0，,x2－x－6≤0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2或x<－1，,－2≤x≤3.))故原不等式的解集為{x|－2≤x<－1，或2<x≤3}．(2)由題意，知－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)是方程ax2－bx－1＝0的兩個(gè)根，且a<0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝\f(b,a)，,－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝\f(－1,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝5.))故不等式x2－bx－a≥0為x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.所以，所求不等式的解集為{x|x≥3或x≤2}．【例2】解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0.①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1.②當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0，解得x≥eq\f(2,a)或x≤－1.③當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0.當(dāng)eq\f(2,a)＞－1，即a＜－2時(shí)，解得－1≤x≤eq\f(2,a)；當(dāng)eq\f(2,a)＝－1，即a＝－2時(shí)，解得x＝－1滿足題意；當(dāng)eq\f(2,a)＜－1，即－2<a<0時(shí)，解得eq\f(2,a)≤x≤－1.綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤－1}；當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥\f(2,a)或x≤－1))))；當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)≤x≤－1))))；當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式的解集為{－1}；當(dāng)a＜－2時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(2,a))))).感悟升華對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．【訓(xùn)練1】(1)(2021·西安一模)關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案C解析關(guān)于x的不等式ax－b<0即ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化為(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．(2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．解原不等式可化為12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(a,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)；當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，＋∞)).考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問(wèn)題角度1在實(shí)數(shù)集R上恒成立【例3】對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－2,2) D．(－2,2]答案D解析當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，－4<0恒成立；當(dāng)a－2≠0，即a≠2時(shí)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝[－2a－2]2－4×a－2×－4<0，))解得－2<a<2.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2,2]．角度2在給定區(qū)間上恒成立【例4】設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，則m的取值范圍是________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜\f(6,7)))或m＜0))解析要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，故mx2－mx＋m－6＜0，則meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．法一令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．當(dāng)m＞0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以m＜eq\f(6,7)，則0＜m＜eq\f(6,7).當(dāng)m＜0時(shí)，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，所以m＜0.綜上所述，m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜\f(6,7)或m＜0)))).法二因?yàn)閤2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，又因?yàn)閙(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜eq\f(6,x2－x＋1).因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值為eq\f(6,7)，所以只需m＜eq\f(6,7)即可．因?yàn)閙≠0，所以m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜\f(6,7)))或m＜0)).角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題【例5】對(duì)任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍．解由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由題意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，,g1＝x－2＋x2－4x＋4>0，))解得x<1或x>3.故當(dāng)x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)時(shí)，對(duì)任意的m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)的值恒大于零．感悟升華1.對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值．2．解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù)，一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．【訓(xùn)練2】函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若當(dāng)a∈[4,6]時(shí)，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．解(1)∵當(dāng)x∈R時(shí)，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－6,2]．(2)由題意可轉(zhuǎn)化為x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a，則有①Δ≤0或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)<－2，,g－2＝7－3a≥0，))或③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)>2，,g2＝7＋a≥0，))解①得－6≤a≤2，解②得a∈?，解③得－7≤a<－6.綜上可得，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－7,2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.當(dāng)a∈[4,6]時(shí)，h(a)≥0恒成立．只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h4≥0，,h6≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))解得x≤－3－eq\r(6)或x≥－3＋eq\r(6).∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是(－∞，－3－eq\r(6)]∪[－3＋eq\r(6)，＋∞)．一元二次方程根的分布情況一元二次方程的根即為對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，一元二次方程的根的分布問(wèn)題，可以借助二次函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)研究．往往根據(jù)方程根的情況結(jié)合對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象建立不等關(guān)系式(組)，求得參數(shù)的取值范圍．【例1】已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解設(shè)f(x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，由(2m＋1)·f(0)＜0，即(2m＋1)(m－1)＜0，解得－eq\f(1,2)＜m＜1，即m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).【例2】已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解設(shè)f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,－\f(－m＋1,2×2)＞0，,f0＞0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋12－8m＞0，,m＞－1，,m＞0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜3－2\r(2)或m＞3＋2\r(2)，,m＞0))?0＜m＜3－2eq\r(2)或m＞3＋2eq\r(2)，即m的取值范圍為(0,3－2eq\r(2))∪(3＋2eq\r(2)，＋∞)．【例3】已知二次函數(shù)f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解由(m＋2)·f(1)＜0，即(m＋2)·(2m＋1)＜0?－2＜m＜－eq\f(1,2)，即m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2))).A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2021·石家莊模擬)已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|lg(x＋1)≤1}，則(?RA)∩B＝()A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤9}C．{x|－1<x≤3} D．{x|－1<x<9}答案C解析由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3；由lg(x＋1)≤1，得0<x＋1≤10，解得－1<x≤9.所以A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|－1<x≤9}，則?RA＝{x|－1≤x≤3}，因此，(?RA)∩B＝{x|－1<x≤3}，故選C.2．(2020·漢中二模)若a<b<0，則下列不等式中不成立的是()A．|a|>|b| B．eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)C.eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D．a(chǎn)2>b2答案B解析由于a<b<0，兩個(gè)負(fù)數(shù)中，較小的其絕對(duì)值較大，于是|a|>|b|，故A正確；函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，又a<a－b<0，所以eq\f(1,a－b)<eq\f(1,a)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閍<b<0，所以eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故C正確；兩個(gè)負(fù)數(shù)，越小的其平方越大，所以當(dāng)a<b<0時(shí)，a2>b2，故D正確，綜上，只有B項(xiàng)錯(cuò)誤．3．若a>0，且a≠7，則()A．77aa<7aa7B．77aa＝7aa7C．77aa>7aa7D．77aa與7aa7的大小不確定答案C解析eq\f(77aa,7aa7)＝77－aaa－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a，則當(dāng)a>7時(shí)，0<eq\f(7,a)<1,7－a<0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a>1，∴77aa>7aa7；當(dāng)0<a<7時(shí)，eq\f(7,a)>1,7－a>0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a>1，∴77aa>7aa7.綜上，77aa>7aa7.4．(2021·武漢調(diào)研)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足c<b<a，那么“ac<0”是“ab>ac”成立的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析已知c<b<a，若ac<0，則必有c<0<a，由b>c，可得ab>ac，即ac<0?ab>ac；若ab>ac，且c<b<a，則a>0，b，c符號(hào)不確定，不一定有ac<0.因此，“ac<0”是“ab>ac”成立的充分不必要條件．5．(2020·廊坊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集為(－1,3)，那么不等式f(－2x)<0的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))答案A解析由f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1,3)，則a<0，故eq\f(1,a)＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3.∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(3,2)，故不等式f(－2x)<0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).故選A.6．已知x∈(0，＋∞)，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，則m的取值范圍是()A．(2－2eq\r(2)，2＋2eq\r(2)) B．(－∞，2)C．(－∞，2＋2eq\r(2)) D．[2＋2eq\r(2)，＋∞)答案C解析法一令t＝3x(t>1)，則由已知得，函數(shù)f(t)＝t2－mt＋m＋1在t∈(1，＋∞)上的圖象恒在x軸的上方，則有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,\f(m,2)≤1，,f1＝1－m＋m＋1≥0，))解得m<2＋2eq\r(2).法二因?yàn)閤∈(0，＋∞)，所以3x>1,3x－1>0，所以由9x－m·3x＋m＋1>0得m<eq\f(9x＋1,3x－1).令f(x)＝eq\f(9x＋1,3x－1)，因?yàn)閒(x)＝eq\f(9x＋1,3x－1)＝3x－1＋eq\f(2,3x－1)＋2≥2eq\r(2)＋2(當(dāng)且僅當(dāng)3x＝1＋eq\r(2)時(shí)取“＝”)，所以m<2＋2eq\r(2).二、填空題7．若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．答案(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析由題意得Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.∴a>4或a<－4.8．已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)一元二次不等式，使得該不等式的解集與集合A有且只有一個(gè)公共元素，這個(gè)不等式可以是________________．答案(x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)解析因?yàn)椴坏仁?x＋4)(x－6)>0解集為{x|x>6或x<－4}，解集中只有－5在集合A中．9．設(shè)a<0，若不等式－cos2x＋(a－1)cosx＋a2≥0對(duì)于任意的x∈R恒成立，則a的取值范圍是________．答案(－∞，－2]解析令t＝cosx，t∈[－1,1]，則不等式f(t)＝t2－(a－1)t－a2≤0對(duì)t∈[－1,1]恒成立，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≤0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－a2≤0，,2－a－a2≤0，))∵a<0，∴a≤－2.三、解答題10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞b的解集為(－1,3)，求實(shí)數(shù)a，b的值．解(1)由題意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3).所以不等式的解集為{a|3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3)}．(2)∵f(x)＞b的解集為(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1,3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))故a的值為3±eq\r(3)，b的值為－3.11．甲廠以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元．(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，則甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn)．解(1)根據(jù)題意，得200eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))≥3000，整理得5x－14－eq\f(3,x)≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.故要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，x的取值范圍是[3,10]．(2)設(shè)利潤(rùn)為y元，則y＝eq\f(900,x)·100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))＝9×104eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))＝9×104eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,6)))2＋\f(61,12)))，故當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝457500元．即甲廠以6千克/時(shí)的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時(shí)獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為457500元．B級(jí)能力提升12．(2021·北京通州區(qū)期中)2014年6月22日，中國(guó)大運(yùn)河項(xiàng)目在卡塔爾首都多哈召開(kāi)的第38屆世界遺產(chǎn)大會(huì)上成功入選世界遺產(chǎn)名錄，成為中國(guó)第46個(gè)世界遺產(chǎn)項(xiàng)目．隨著對(duì)大運(yùn)河的保護(hù)與開(kāi)發(fā)，大運(yùn)河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片，也成為眾多旅游者的游覽目的地．今有一旅游團(tuán)乘游船從奧體公園碼頭出發(fā)至漕運(yùn)碼頭，又立即返回奧體公園碼頭．已知游船在順?biāo)械乃俣葹関1，在逆水中的速度為v2(v1≠v2)，則游船此次航行的平均速度eq\x\to(v)與eq\f(v1＋v2,2)的大小關(guān)系是()A.eq\x\to(v)>eq\f(v1＋v2,2) B．eq\x\to(v)＝eq\f(v1＋v2,2)C.eq\x\to(v)<eq\f(v1＋v2,2) D．eq\x\to(v)≥eq\f(v1＋v2,2)答案C解析設(shè)兩碼頭的距離為S，則eq\x\to(v)＝eq\f(2S,\f(S,v1)＋\f(S,v2))＝eq\f(2v1v2,v1＋v2)，eq\x\to(v)－eq\f(v1＋v2,2)＝eq\f(2v1v2,v1＋v2)－eq\f(v1＋v2,2)＝eq\f(4v1v2－v1＋v22,2v1＋v2)＝eq\f(－v1－v22,2v1＋v2)<0(v1≠v2)，即eq\x\to(v)<eq\f(v1＋v2,2)，故選C.13．(2020·安徽江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝3x2，且不等式f(x＋m2)≥4f(x)對(duì)任意的x∈[m，m＋2]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________．答案(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．設(shè)x<0，則－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－3x2，故f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2x≥0，,－3x2x<0.))從而4f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32x2x≥0，,－32x2x<0))＝f(2x)，故不等式f(x＋m2)≥4f(x)同解于f(x＋m2)≥f(2x)，又f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)，故x＋m2≥2x，即m2≥x對(duì)任意的x∈[m，m＋2]恒成立，∴m2≥m＋2，即m≤－1或m≥2.14．若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)由f(0)＝2，得c＝2，所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝16，,4a＋2b＝0，))故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2.(2)因?yàn)榇嬖趚∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，即m的取值范圍為(－∞，－2)．

第2節(jié)二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題考綱要求1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決．知識(shí)梳理1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.3．線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組，是對(duì)x，y的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題1．畫(huà)二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點(diǎn)定域：(1)直線定界：不等式中無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成實(shí)線；(2)特殊點(diǎn)定域：若直線不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過(guò)原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0,1)或(1,0)來(lái)驗(yàn)證．2．判定二元一次不等式表示的區(qū)域(1)若B(Ax＋By＋C)>0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0的上方．(2)若B(Ax＋By＋C)<0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0的下方．診斷自測(cè)1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的．()(3)線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上．()(4)在目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析(1)不等式x－y＋1>0表示的平面區(qū)域在直線x－y＋1＝0的下方．(4)直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距是eq\f(z,b).2．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6≥0，,x－y＋2<0))表示的平面區(qū)域是()答案B解析x－3y＋6≥0表示直線x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直線x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)B.3．已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))則z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分別是()A．3，－3 B．2，－4C．4，－2 D．4，－4答案C解析不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示．其中A(－1，－1)，B(2，－1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，畫(huà)直線l0：y＝－2x，平移l0過(guò)B時(shí)，zmax＝4，平移l0過(guò)點(diǎn)A時(shí)，zmin＝－2.4．(2020·浙江卷)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋1≤0，,x＋y－3≥0，))則z＝x＋2y的取值范圍是()A．(－∞，4] B．[4，＋∞)C．[5，＋∞) D．(－∞，＋∞)答案B解析畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線x＋2y＝0，平移該直線，易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)時(shí)，z取得最小值，zmin＝2＋2×1＝4，再數(shù)形結(jié)合可得z＝x＋2y的取值范圍是[4，＋∞)．5.(2020·漢中質(zhì)檢)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－y－1≥0，,y≥0))所表示的平面區(qū)域的面積等于________．答案eq\f(1,4)解析畫(huà)出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，通過(guò)上圖，可以發(fā)現(xiàn)不等式組表示的平面區(qū)域以點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，B(1,0)和C(2,0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(含邊界)，因此S△ABC＝eq\f(1,2)×(2－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).6．(2021·成都診斷)已知x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))若使得z＝ax＋y取最大值的點(diǎn)(x，y)有無(wú)數(shù)個(gè)，則a的值為_(kāi)_______．答案－1解析先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，當(dāng)直線z＝ax＋y和直線AB重合時(shí)，z取得最大值的點(diǎn)(x，y)有無(wú)數(shù)個(gè)，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域1．已知點(diǎn)(－3，－1)和點(diǎn)(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側(cè)，則a的取值范圍為()A．(－24,7)B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案B解析根據(jù)題意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x＋y≤3，,－1≤x－y≤1))表示圖形的面積等于()A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，即對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD，其中A(0,1)，D(1,0)，邊長(zhǎng)AD＝eq\r(2)，則正方形的面積S＝eq\r(2)×eq\r(2)＝2.3．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域的形狀是三角形，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．(0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))) D．(0,1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))答案D解析作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分表示)．由圖知，要使原不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為三角形，只需動(dòng)直線l：x＋y＝a在l1，l2之間(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)，故0<a≤1或a≥eq\f(4,3).感悟升華平面區(qū)域的形狀問(wèn)題主要有兩種題型：(1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時(shí)先畫(huà)滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀；(2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問(wèn)題，求解時(shí)通常先畫(huà)滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行必要的討論．考點(diǎn)二求目標(biāo)函數(shù)的最值角度1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例1】(2021·鄭州模擬)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－2y＋3≥0，,x－y≥0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最小值為()A．－1 B．0 C．1 D．3答案C解析由約束條件可得可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，將z＝2x－y變?yōu)閥＝2x－z，當(dāng)z取最小值時(shí)，y＝2x－z在y軸截距最大，由y＝2x圖象平移可知，當(dāng)y＝2x－z過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在y軸截距最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝x))得A(1,1)，∴zmin＝2×1－1＝1，故選C.角度2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例2】(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋2y－8≤0，,x≥1，))則z＝eq\f(y,x＋2)的取值范圍是________．(2)(2020·景德鎮(zhèn)模擬改編)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y－3≤0，,x≥0，))則(x－1)2＋y2的最小值為_(kāi)_______．答案(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(7,6)))(2)eq\f(4,5)解析(1)作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋2y－8≤0，,x≥1))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，這是一個(gè)三角形區(qū)域(包含邊界)，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(1,2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(7,2)))，D(2,3)，eq\f(y,x＋2)的幾何意義是可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)P(－2,0)連線的斜率，連接PB，PC，由于直線PB的斜率為eq\f(2,3)，直線PC的斜率為eq\f(7,6)，由圖可知z＝eq\f(y,x＋2)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(7,6))).(2)畫(huà)出約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y－3≤0，,x≥0))表示的可行域，如圖中陰影部分所示．設(shè)z＝(x－1)2＋y2，則其幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)(1,0)的距離的平方，由圖知點(diǎn)(1,0)到直線2x－y＝0的距離最小，點(diǎn)(1,0)到直線2x－y＝0的距離d＝eq\f(|2×1－0|,\r(22＋－12))＝eq\f(2,\r(5))，則zmin＝d2＝eq\f(4,5)，所以(x－1)2＋y2的最小值為eq\f(4,5).角度3求參數(shù)值或取值范圍【例3】(2021·太原調(diào)研)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＋5≥0，,x＋y－1≤0，,x＋a≥0，))若z＝x＋2y的最小值為－4，則實(shí)數(shù)a＝()A．1 B．2 C．4 D．8答案B解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線z＝x＋2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a－5,3)))時(shí)，z取得最小值－4，所以－a＋2·eq\f(a－5,3)＝－4，解得a＝2.感悟升華線性規(guī)劃兩類問(wèn)題的解決方法(1)求目標(biāo)函數(shù)的最值：畫(huà)出可行域后，要根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解，常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)有：①截距型：例如z＝ax＋by；②距離型：形如z＝eq\r(x－a2＋y－b2)；③斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).(2)求參數(shù)的值或范圍：參數(shù)的位置可能在目標(biāo)函數(shù)中，也可能在約束條件中．求解步驟為：①注意對(duì)參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫(huà)出來(lái)；②在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解．【訓(xùn)練1】(1)(2021·昆明質(zhì)檢)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2≤0，,2x－y＋3≥0，,x＋y≤0，))則eq\f(y＋4,x＋6)的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)) B．[－3,1]C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,7)，1))(2)若x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－5y＋6≥0，,2x＋3y－15≤0，,y≥0，))當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝3時(shí)，z＝ax＋y取最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(3,5))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(2,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，＋∞))答案(1)B(2)C解析(1)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(含邊界)所示，目標(biāo)函數(shù)z＝eq\f(y＋4,x＋6)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P(－6，－4)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(－1,1)處取得最大值為eq\f(1＋4,－1＋6)＝1，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)B(－5，－7)處取得最小值為eq\f(－7＋4,－5＋6)＝－3，故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是[－3,1]．故選B.(2)不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足－eq\f(2,3)<－a<eq\f(3,5)，即－eq\f(3,5)<a<eq\f(2,3)時(shí)，z＝ax＋y僅在x＝y(tǒng)＝3時(shí)取得最大值，故選C.考點(diǎn)三實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問(wèn)題【例4】(2020·安慶聯(lián)考)某農(nóng)戶計(jì)劃種植萵筍和西紅柿，種植面積不超過(guò)30畝，投入資金不超過(guò)25萬(wàn)元，假設(shè)種植萵筍和西紅柿的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表：年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)萵筍5噸1萬(wàn)元0.5萬(wàn)元西紅柿4.5噸0.5萬(wàn)元0.4萬(wàn)元那么，該農(nóng)戶一年種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)＝總銷售收入－總種植成本)的最大值為_(kāi)_______萬(wàn)元．答案43解析設(shè)萵筍和西紅柿的種植面積分別為x，y畝，一年的種植總利潤(rùn)為z萬(wàn)元．由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤30，,x＋0.5y≤25，,x≥0，,y≥0，))z＝0.5×5x＋0.4×4.5y－(x＋0.5y)＝1.5x＋1.3y，作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，當(dāng)直線z＝1.5x＋1.3y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30，,x＋0.5y＝25，))解得x＝20，y＝10，即A(20,10)，代入z＝1.5x＋1.3y可得z＝43.感悟升華1.解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟．(1)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫(xiě)出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題；(2)求解——解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問(wèn)題；(3)作答——將數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案還原為實(shí)際問(wèn)題的答案．2．解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件，寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問(wèn)題．【訓(xùn)練2】某旅行社租用A，B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過(guò)21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為()A．31200元 B．36000元C．36800元 D．38400元答案C解析設(shè)旅行社租用A型客車x輛，B型客車y輛，租金為z元，則線性約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤21，,y－x≤7，,36x＋60y≥900，,x，y∈N.))目標(biāo)函數(shù)為z＝1600x＋2400y.畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示，可知目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)N時(shí)，取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x＝7，,36x＋60y＝900，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝12，))故N(5,12)，故zmin＝1600×5＋2400×12＝36800(元)．“隱性”的線性規(guī)劃問(wèn)題數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)．主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征．近幾年的高考及模擬考試中常出現(xiàn)一類隱性線性規(guī)劃問(wèn)題，即通過(guò)數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系，抽象出線性規(guī)劃問(wèn)題，有時(shí)以解析幾何、函數(shù)、數(shù)列為背景綜合考查．【典例】如果函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上單調(diào)遞減，則mn的最大值為()A．16 B．18 C．25 D．eq\f(81,2)答案B解析f′(x)＝(m－2)x＋n－8.由已知得：對(duì)任意的x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，f′(x)≤0，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤0，f′(2)≤0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，n≥0，,m＋2n≤18，,2m＋n≤12.))畫(huà)出可行域，如圖，令mn＝t，則當(dāng)n＝0時(shí)，t＝0；當(dāng)n≠0時(shí)，m＝eq\f(t,n).由線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，只有當(dāng)直線2m＋n＝12與曲線m＝eq\f(t,n)相切時(shí)，t取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(t,n2)＝－\f(1,2)，,6－\f(1,2)n＝\f(t,n)，))解得n＝6，t＝18.所以(mn)max＝18.素養(yǎng)升華1.本例以函數(shù)為載體隱蔽“約束條件”，有效實(shí)現(xiàn)了知識(shí)模塊的交匯，本例要求從題設(shè)中抓住本質(zhì)條件，轉(zhuǎn)化為關(guān)于“m，n”的約束條件．2．解題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確無(wú)誤地將已知條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件作出可行域，抓住可行域中所求點(diǎn)的相應(yīng)幾何意義．該題立意新穎，在注意基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，提升了數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，滲透了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．【訓(xùn)練】在等差數(shù)列{an}中，已知首項(xiàng)a1>0，公差d>0，a1＋a2≤60，a2＋a3≤100，則5a1＋a5的最大值為_(kāi)_______，取到最大值時(shí)d＝________，a1＝________.答案2002020解析由題意得點(diǎn)(a1，d)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,d>0，,2a1＋d≤60，,2a1＋3d≤100，))畫(huà)出可行域，又5a1＋a5＝6a1＋4d，故經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，即a1＝d＝20時(shí)，5a1＋a5取最大值200.A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列各點(diǎn)中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3)答案C解析把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得(－1,3)不適合，故選C.2．(2021·合肥模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≥0，,2x＋y－3≥0，,x＋y－3≤0，))則2x＋3y的最小值為()A．4 B．5 C．6 D．7答案B解析畫(huà)出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≥0，,2x＋y－3≥0，,x＋y－3≤0))表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(含邊界)所示，令z＝2x＋3y，則y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(1,3)z，分析知，當(dāng)x＝1，y＝1時(shí)，z取得最小值，且zmin＝2＋3＝5.故選B.3．設(shè)點(diǎn)(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≥0，,x－5y－1≤0，,3x＋y－3≤0，))且x∈Z，y∈Z，則這樣的點(diǎn)共有()A．12個(gè) B．11個(gè) C．10個(gè) D．9個(gè)答案A解析畫(huà)出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≥0，,x－5y－1≤0，,3x＋y－3≤0))表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，由圖可知，滿足x∈Z，y∈Z的(x，y)為(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12個(gè)，故選A.4．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－y＋2≥0，,x≥－1，,y≥－1，))則目標(biāo)函數(shù)z＝－4x＋y的最大值為()A．2 B．3 C．5 D．6答案C解析由約束條件作出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示．∵z＝－4x＋y可化為y＝4x＋z，∴作直線l0：y＝4x，并進(jìn)行平移，顯然當(dāng)l0過(guò)點(diǎn)A(－1,1)時(shí)，z取得最大值，zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故選C.5．(2021·哈師大附中模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥1，))則z＝2－2x＋y的最大值為()A.eq\f(1,32) B．eq\f(1,4) C．eq\f(1,2) D．2答案C解析由實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥1))作出可行域如圖，則z＝2－2x＋y的最大值就是u＝－2x＋y的最大值時(shí)取得．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,y＝1，))解得A(1,1)，化目標(biāo)函數(shù)u＝－2x＋y為y＝2x＋u，由圖可知，當(dāng)直線y＝2x＋u過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z有最大值2－2＋1＝eq\f(1,2).故選C.6．(2019·全國(guó)Ⅲ卷)記不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面區(qū)域?yàn)镈.命題p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9；命題q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面給出了四個(gè)命題：①p∨q；②綈p∨q；③p∧綈q；④綈p∧綈q.這四個(gè)命題中，所有真命題的編號(hào)是()A．①③ B．①② C．②③ D．③④答案A解析法一畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示．目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y是一組平行移動(dòng)的直線，且z的幾何意義是直線z＝2x＋y的縱截距．顯然，直線過(guò)點(diǎn)A(2,4)時(shí)，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命題p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9正確；命題q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12不正確．∴①③真，②④假．法二取x＝4，y＝5，滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0，))且滿足2x＋y≥9，不滿足2x＋y≤12，故p真，q假．∴①③真，②④假．7．(2019·北京卷)若x，y滿足|x|≤1－y，且y≥－1，則3x＋y的最大值為()A．－7 B．1 C．5 D．7答案C解析由|x|≤1－y，且y≥－1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≤0，,y≥－1.))作出可行域如圖陰影部分所示．設(shè)z＝3x＋y，則y＝－3x＋z.作直線l0：y＝－3x，并進(jìn)行平移．顯然當(dāng)l0過(guò)點(diǎn)A(2，－1)時(shí)，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.故選C.8．(2021·全國(guó)大聯(lián)考)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,2x－y＋2≥0，,x≥1))表示的平面區(qū)域?yàn)镸，則()A．M的面積為eq\f(9,2)B．M內(nèi)的點(diǎn)到x軸的距離有最大值C．點(diǎn)A(x，y)在M內(nèi)時(shí)，eq\f(y,x＋2)<2D．若點(diǎn)P(x0，y0)∈M，則x0＋y0≠2答案C解析作出可行域，如圖中陰影部分所示，由圖可知，可行域?yàn)殚_(kāi)放區(qū)域，所以選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；由圖可知點(diǎn)(1,1)在可行域內(nèi)，而此時(shí)x＋y＝1＋1＝2，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；eq\f(y,x＋2)表示區(qū)域M內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與N(－2,0)連線的斜率，由圖知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋2)))min＝kNB＝eq\f(1,3)，∴eq\f(y,x＋2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，故選項(xiàng)C正確，故選C.二、填空題9．(2020·山西名校聯(lián)考)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y－6≤0，,x＋y－2≥0，,x－4y＋8≥0，))則z＝x－2y的最小值是________．答案－4解析由約束條件畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示，將z＝x－2y化為y＝eq\f(1,2)x－eq\f(z,2)，可知z的最小值即為y＝eq\f(1,2)x－eq\f(z,2)在y軸上截距最大時(shí)z的取值，由圖可知，當(dāng)y＝eq\f(1,2)x－eq\f(z,2)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－4y＋8＝0))得A(0,2)，∴zmin＝0－2×2＝－4.10．(2021·平頂山一模)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(－1，－2)，P為平面區(qū)域M：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2≤0，,2x＋y－2≤0，,x≥0，,y≥0))內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最小值為_(kāi)_______．答案－2解析由題意可得，平面區(qū)域M(如圖)是由點(diǎn)O(0,0)，D(0,1)，B(1,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))圍成的四邊形區(qū)域(包括邊界)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝－x－2y，設(shè)z＝－x－2y，當(dāng)直線z＝－x－2y平移到與DC重合時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝－x－2y有最小值(此時(shí)點(diǎn)P為線段DC上任意一點(diǎn))，且最小值為－2.故eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最小值為－2.11．(2020·昆明診斷)已知x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤15，,2x＋y≤12，,x∈N，,y∈N，))則z＝3x＋2y的最大值為_(kāi)_______．答案19解析根據(jù)條件畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所表示的整點(diǎn)，由圖可知z＝3x＋2y在點(diǎn)M處取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝12，,x＋3y＝15))得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,5)，\f(18,5)))，但M點(diǎn)的坐標(biāo)不是整數(shù)，經(jīng)過(guò)平移可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,2)滿足要求，且代入得z＝19，故最大值為19.12．已知點(diǎn)A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面區(qū)域D由所有滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的點(diǎn)P組成，則D的面積為_(kāi)_______．答案3解析設(shè)P(x，y)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2λ＋μ，,y＝－1＋λ＋2μ))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3μ＝2y－x＋3，,3λ＝2x－y－3，))又1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x－2y≤3，,6≤2x－y≤9))表示的可行域是平行四邊形及內(nèi)部．如圖，點(diǎn)B(3,0)到直線x－2y＝0的距離d＝eq\f(3\r(5),5).又|BN|＝eq\r(5).∴區(qū)域D的面積S＝eq\f(3\r(5),5)×eq\r(5)＝3.B級(jí)能力提升13．若函數(shù)y＝2x圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))則實(shí)數(shù)m的最大值為()A.eq\f(1,2) B．1 C．eq\f(3,2) D．2答案B解析在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝2x的圖象及eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0))所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示．由圖可知，當(dāng)m≤1時(shí)，函數(shù)y＝2x的圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件，故m的最大值為1.14．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤(rùn)分別為2千元/件、1千元/件．甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時(shí)，B設(shè)備6小時(shí)；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備3小時(shí)，B設(shè)備1小時(shí)．A，B兩種設(shè)備每月可使用時(shí)間數(shù)分別為480小時(shí)、960小時(shí)，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時(shí)售出，則該企業(yè)每月利潤(rùn)的最大值為()A．320千元 B．360千元C．400千元 D．440千元答案B解析設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，利潤(rùn)為z千元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y∈N，,2x＋3y≤480，z＝2x＋y，,6x＋y≤960，))作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示的整點(diǎn)，作出直線2x＋y＝0，平移該直線，當(dāng)直線z＝2x＋y經(jīng)過(guò)直線2x＋3y＝480與直線6x＋y＝960的交點(diǎn)(150,60)(滿足x∈N，y∈N)時(shí)，z取得最大值，為360.故該企業(yè)每月利潤(rùn)的最大值為360千元．15．(2021·西安模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，則x2＋y2的最小值為_(kāi)_______．答案eq\f(9,5)解析由(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，得eq\b\lc\{\rc\(\