圓錐曲線中的探究性問題-2021高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題

專題九圓錐曲線中的探究性問題

近年來(lái)，在圓錐曲線考查的題型中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)探究性問題.探究性問題是一種開放性問

題，是指命題中缺少一定條件或無(wú)明確結(jié)論，需要經(jīng)過(guò)猜測(cè)、歸納并加以證明的題型.圓錐

曲線的考題主要是結(jié)論探究的開放性問題，有探究位置關(guān)系的，有探究點(diǎn)是否存在直線是否

存在圓是否存在的，有探究圓是否過(guò)定點(diǎn)直線是否過(guò)定點(diǎn)的，等等，有結(jié)論存在和結(jié)論不存

在兩種情形.這類題型在考查圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)和幾何性質(zhì)的同時(shí)，能很好地考查學(xué)生的運(yùn)

算求解、推理論證等數(shù)學(xué)能力，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.

模塊1整理方法提升能力

圓錐曲線中的探究性問題的常用解題策略有2種：一是先假設(shè)存在或結(jié)論成立，然后引

進(jìn)未知數(shù)、參數(shù)并建立有關(guān)未知數(shù)、參數(shù)的等量關(guān)系，若能求出相應(yīng)的量，則表示存在或結(jié)論成

立，否則表示不存在或結(jié)論不成立；另一種方法是在假設(shè)存在或結(jié)論成立的前提下，利用特殊情

況作出猜想，然后加以驗(yàn)證.

?fflll

；--------

----橢--圓--E--：-滔/+I方I=1I(4II>6>?-0-)-的--左--焦--點(diǎn)--為-石--，--右--焦-點(diǎn)--為--F-”---離--心--率-e--=-'.過(guò)百的

直線交橢圓于力、8兩點(diǎn)，且aABF：的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線/：丫=履+加與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)尸，且與直線x=4相交于點(diǎn)

Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在，求

出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】(1)因?yàn)锳B+AFz+BF?

=8,BPAF.+BF1+AF,

=8,而

\AF+AF=BF+BF=2〃，所以4。=8,a=2.又因?yàn)閑=°=1，所以c=1,

1212

加=/_。2=3,所以橢圓E的方程為外

a2

+V=1.—

43

(2)法1：假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由對(duì)稱性可知點(diǎn)M必在x軸上，設(shè)〃。,0).

^y=kx+tn

由222('

I4

,消去y可得4k

=1

+3卜

Sknix+4"/

+

-12=0,因?yàn)橹本€/與橢圓有且只

有一個(gè)公共點(diǎn)，所以A=64公/一4（4左2+3）（4/-12）=22

,W7/M+3=0.設(shè)P（X。,%）,

4km4k3匚匚“?（4KV聯(lián)立降="+巴可得.

則milXn=-41^-卡3-機(jī),=n既+n卅=，/附以P-，

mm

Q(4,4Z+.

—(4k3、

因?yàn)镸P=|--t,I,MQ=(4-t,4k+m),由MP-MQ=O可得

4*\l甲m)k⑷-4=0

--t(4-?)+2-(4Z:+/7?)=0,整理可得(4/-4)-+/一4/+3=0,由解

mtn

tnr2-4r+3=0

l)I

得f=l,所以存在定點(diǎn)M(1,O),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.

法2：假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由對(duì)稱性可知點(diǎn)M必在x軸上.若直線/為

尸曲，則尸(0,⑹，Q(4,?再)，以尸。為直徑的圓為x(x-4)+(y—W/

軸交于點(diǎn)隔(1,0)和例式3,0).下面進(jìn)行驗(yàn)證.

3)(y-

3)=0,與x

^y=kx+m

222

由小

4

,消去y可得4k

=1

+3卜

Sknix+4"/

+

-12=0,因?yàn)橹本€/與橢圓有且只

有一個(gè)公共點(diǎn)，所以A=64攵2m2_4（4公+3乂4/-12）=0,即我？=（）.設(shè)pQ力），

mil04km4k0d3n（4%3、w/.^\y=kx+m

則i=-4^--F3-機(jī)丁=h+用=，所以P-,?聯(lián)u，可得

mm

x=4

Q(4,4Z+m).

(4k3、

…、3

因?yàn)镸P=|-—-1,_|＜必。=(3,4"+〃?)，所以3|---11+_-(4^+m)=0.因?yàn)?/p>

mmjmjm

(4k3、

…、3

=MQ=(l,4k+m),所以1上-3[+-(4k+w)0.

mmjmjm

綜上所述，存在定點(diǎn)M(1,O),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.

題!!2

橢圓二+二=1(a>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)離心率e=L直線/的方程為x=4.

crb"12?2

(1)求橢圓C的方程；

(2)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P),設(shè)直線AB與直線/相交于點(diǎn)M,記

PA,PB、PM的斜率分別為匕、右、網(wǎng)?問：是否存在常數(shù)為使得匕+&=&？若存

在，求泄值；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】(1)由’3、在橢圓上，所以1+9=1.又因?yàn)閑=c=l,解得病=4,

P1，?2

2

Z?=3,所以橢圓C的方程為^^y=l.

43

(2)顯然直線A8的斜率存在，設(shè)為k,則直線A8的方程為y=k(x-l).聯(lián)立

"k(X-l)2222

~4

3

消去y可得（必

+3)x

-8%x+4(k

一3)=0,設(shè)A(x”y),3(%,%)，則有

8T

433)

3

2

_3

“-2

x^x=XX

241+3x2

4/+3

.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,3左），所以k產(chǎn)

x2—1々

k二“'.于是k+k

"一3

2+

3

y一

22

-k-3

2+

3

-k7-

32

4-12

2

x-1

x

x-1

x-12

r3、(3、2

2h

4&?+3

-I2k+I-,+21k+

1214^+312

x(x2-(x(+x2)+14（1-3）

4k2+3

8k2

,1—+

48+3

=2k-],又因?yàn)榕?/p>

=k—，所以％+攵=2左

.所以存在常數(shù)加2符合題意.

32123

【點(diǎn)評(píng)】引進(jìn)直線AB的斜率左,然后用人去表示《、右、％，將轉(zhuǎn)化為Z的

方程，該方程有解，則說(shuō)明實(shí)數(shù)4存在，否則壞存在.我們也可以考慮特殊情況，讓直線AB

的斜率氏=0,則有A(-2,0),8(2,0),M(4,0),<=；,k-2，勺=一？，此時(shí)"也

就是說(shuō)，要么常數(shù)4不存在，要么常數(shù)於2.該猜測(cè)能使解題方向更為清晰明確.

例3

所以C、C的方程分別為

【解析】（1）由題意知e=',又因?yàn)?$~=〃，a2=b2+c2,解得a=2,b=1,

a

+2

y

2

=1,y—x1—I.

124

【證明】(2)(i)由題意知，直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為)，="，A(X「H)，

,y

三空gp又刮物的坐標(biāo)為

y=x2-1

2I2

y+1y+1(kx+l)(h:+1)k~xx+k[x+1

緊加瞥"

MA

21212

M%匹工2

=-1,所以即

一1

（y=Z%-1

【解析】'（ii）設(shè)直線MA的斜率為匕，則直線MA的方程為y=%x—1,由《，可

[y=Y-l

得x=0或x=&，所以點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為k.設(shè)直線MB的斜率為-1,同理可得點(diǎn)B的橫坐

fy=k,x-1

標(biāo)為—，于是S=肪4「四耳=1+-F]

.由〈］可

21

2k,

^?+4/-4=0

得（l+4"）f-8Kx=0,解得》=0或％=

8匕1+4&2

,所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

8匕1+4公

同理可得

點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-

8匕4+公

，于是S2=

MDME=11

22

\+k2-

隊(duì)fnri一

I1+4父Vk；|

8匕4+k2

132(1+的.周，因此j=W+"+4

由題意知，*+17勺+4=17,解得公=4

(1+46)(女#4)邑64k；64%；32'

1k2_i13

或后=4?于是直線/的斜率為左h—=M-7,解得Z=±c，所以滿足條件的直線/存在，

4kk2

ii

且有兩條，其方程分別為y=13x和》==3x.

22

模塊2練習(xí)鞏固整合提升

練習(xí)1：在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y=」與直線y-kx+a（a>0）交于A/、N

4

兩點(diǎn).

（1）當(dāng)&=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

（2）），軸上是否存在點(diǎn)尸，使得當(dāng)左變動(dòng)時(shí)，總有/。/3加=/0尸'?說(shuō)明理由.

【解析】（1）不妨設(shè)M（2a,a）,N（-22,a）.因?yàn)閥'=，x,所以y=

5—在x2點(diǎn)處

24

的導(dǎo)數(shù)值為距，所以C在〃（應(yīng)4）處的切線方程為y-4=d（x-2碼，即

Jax-y-a=0.y=—在x=-21

4

處的導(dǎo)數(shù)值為-，所以C在N（-22,a）處的切線方

程為y—a=—

Q(X+2

a),即

ax+y+a=O.所以C在點(diǎn)M和N處的切線方程為

njax-y-a=0+y+a=O.

(2)存在符合題意的點(diǎn).

2日聲點(diǎn)「(。力”嚼合好總滑點(diǎn)，M(%，x),N&,%),直線PM、PN的斜率分別為匕、

+(a-/?)(x+x)

fy=kx+a

k,則2+&

-一二----------!=.聯(lián)立I

%，消去y，可得

XXXX

X

y=

I4

j^-4kx-4a=0,所以x+x=4女，xx

=-4a,于是

匕+內(nèi)=

2Z(-44)+(a-/?)(4k)

(-4a)

k(a+b)

a

.當(dāng)人=一。時(shí)，有％+&=0,則直線的傾斜

角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，所以NOPM=NOPN,所以尸(0,-。)符合題意.

r2

練習(xí)2：如圖，C：

2

+\=1(。＞匕＞0)的一

b2Bi

頂點(diǎn)為從、4、用、當(dāng)，焦點(diǎn)為居、心,7,

Q—9Q

^ABAB~L°BFBF*

(1)求橢圓C的方程;

4FiOA2x

(2)設(shè)"是過(guò)原點(diǎn)的直線，/是與〃垂直相交于P點(diǎn)、

與橢圓相交于A、8兩點(diǎn)的直線,國(guó)2=1,是否存在上述直線/,根APPB=I成立？若存

在，求出直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)由同0|=許可得"+/=7，由S

A\BiA?&

=2S

B1F1B2F2

可得a=2ch又因?yàn)?/p>

22

日。？'c,解得a=4,。=3,所以橢圓C的方程為

+=1.

43

(2)設(shè),y卜B(x,y

).當(dāng)/垂直于x軸時(shí)，P點(diǎn)就是右焦點(diǎn)(1,0),止出寸

I122

直線/不滿足條件.

APPB

4

當(dāng)/不垂直于x軸時(shí)，設(shè)/的方程為y=kx+m.由/與〃垂直相交于P點(diǎn)且OP=1可得

=4加|由=1,即=/+].因?yàn)锳P,PB=1且=1,0A10B，于是xx

1

+OP2I2

皆丫可得（3+4公）/

+8k/wc+4/??2-12=0+x=-

\y=kx-vm

'23+4〃

4療-12

3+4左2

xx

,于是x^x2+y必=\2+?+團(tuán)乂米2+加)=(%

24-1x+km(x+x)+m2

+1)

4M—12

3+4/

+hn--

8km）

3+4公1）

2=0,即7“'2'2

2—12k2

-12=0.因?yàn)榉匠探M

7療-12/-12=0

m2=r+1

無(wú)解，所以不存在滿足條件的直線/.

綜上所述，不存在直線/,使成立.

練習(xí)3：已知定點(diǎn)A（-l,0）,F（2,0）,定直線/：x=l,不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)『的

2

距離是它到直線/的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為E,過(guò)點(diǎn)尸的直線交E于8、C兩點(diǎn)，直

線AB、AC分別交/于點(diǎn)V、N.

（1）求E的方程；

（2）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，

說(shuō)明理由.

【解析】（1）設(shè)P（x,y），依題意有J（x-2『+y2

=2x-

，化簡(jiǎn)可得X-=l(ywO).3

(2)法1：假設(shè)以線段用N為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，由對(duì)稱性可知該定點(diǎn)必在無(wú)軸上，設(shè)

fx=my+2

D(r,O).設(shè)直線BC的方程為x=my+2,由1,//消去x可得

I"3?

(3m2-l)^2+12/wy+9=0,由題意知3療一1w().設(shè)5(x,y),C(x,y),則

12m011v22

y+y=_",yy=”.因?yàn)橹本€AB的方程為丁=y(x+l),所以點(diǎn)M的坐

'234一1

123m2-1

(1

3yl)

A

3%、

標(biāo)泡22%

+|)|,同理

I22(x

,、I,于是0M

+1)1

I2-/，2(x

+1)|\」

—?(13y、

nY

D^y=\-t,-----工—?.由。M.￡)N=0可得|

H-------4----=0,即

(22(%+1)J

4(X,+1)(X2+1)

nY81

9yy

四旬

0,即I

+12J=0,即

4[/"2yy+3/”(y+y

)+9]

(2J

（9m236加）2、

4|+9I

(3l-l3加2-1)

nY9

b-J

=0,解得r=2或f=-l,所以以線段MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(2,0)和(-1,