高等代數知識點總結

（優(yōu)選）高等代數知識點總結目前一頁\總數四十頁\編于十五點2目前二頁\總數四十頁\編于十五點

基本概念：次數：最基本的概念和工具整除：多項式之間最基本的關系帶余除法：最基本的算法，判斷整除.最大公因式：描述多項式之間關系的復雜程度互素：多項式之間關系最簡單的情形既約多項式：最基本的多項式根：最重要的概念和工具一元多項式3目前三頁\總數四十頁\編于十五點

重要結論：帶余除法定理對于任意多項式f(x)和非零多項式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).最大公因式的存在和表示定理任意兩個不全為0的多項式都有最大公因式，且對于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.4目前四頁\總數四十頁\編于十五點因式分解唯一定理次數大于1的多項式都可分解成有限個既約多項式之積，且不計因子次序和常數因子倍時，分解唯一.標準分解定理每個次數大于1的多項式f都有如下的標準分解其中a是非零常數,p1,…,pt,是互不相同的首一既約多項式,n1,…,nt是正整數.進一步,a,p1,…,pt,n1,…,nt由f唯一確定.重因式f無重因式當且僅當f與其導式互素.5目前五頁\總數四十頁\編于十五點代數學基本定理：下列陳述等價，復數域上次數≥1的多項式總有根復數域上的n次多項式恰有n個根復數域上的既約多項式恰為一次式復數域上次數≥1的多項式可分解成一次式之積.實數域上的次數＞1的既約多項式只有無實根的二次式實數域上次數≥1的多項式可分解成一次式和二次式之積6目前六頁\總數四十頁\編于十五點實數域上的標準分解定理在實數域上，每個次數大于1的多項式f都有如下的標準分解其中a是f的常數項,x1,…,xt

是f全不互不相同的根,p1,…,pt是互異、首一、無實根的二次式.復數域上的標準分解定理在復數域上，每個次數大于1的多項式f都有如下的標準分解其中a是f的常數項,x1,…,xt

是f全部互不相同的根,n1,…,nt分別是這些根的重數.7目前七頁\總數四十頁\編于十五點多項式作為函數：兩個多項式相等(即對應系數相同)它們作為函數相等(即在每點的函數值相等)它們在k+1個點的函數值相等，這里k是它們次數的最大者.設f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1個點的函數值為0，則f(x)恒等于0.8目前八頁\總數四十頁\編于十五點

Eisenstein判別法：設是整系數多項式，若有素數p使得則f(x)是有理數域上的既約多項式.有理根：有理根的分母整除首項系數，分子整除常數項9目前九頁\總數四十頁\編于十五點

重要結論命題1.8.1

若多項式的值全為0，則該多項式必為0.命題1.8.2

每個n次多項式f均可唯一地表示成齊次多項式之和，fn≠0，且其中fi是0或i次齊次多項式，0≤i≤n，fi稱為f的i次齊次分量.

基本概念：次數、齊次分量、字典序、首項、對稱多項式多元多項式對稱多項式基本定理

每個對稱多項式，都可唯一地表示成初等對稱多項式的多項式.10目前十頁\總數四十頁\編于十五點11目前十一頁\總數四十頁\編于十五點運算及其關系轉置取逆伴隨行列式秩數加法(A+B)T=AT+BTr(A+B)≤r(A)+r(B)數乘(kA)T=kAT(kA)1=k1A1

(kA)*=kn1A*|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k≠0)乘法(AB)T=BTAT(AB)

1=B1

A1(AB)*=B*A*|AB|=|A||B|r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B)轉置(AT)T=A(AT)

1=(A1)T(AT)*=(A*)T|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆(A1)1=A(A1)*＝(A*)1|A1|=|A|1伴隨(A*)*=|A|n2A*|A*|=|A|n1

n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n-1

0,若r(A)<n-1其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|E當A可逆時，A*＝|A|A1定義性質若P,Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)12目前十二頁\總數四十頁\編于十五點轉置取逆伴隨加法(A+B)T=AT+BT數乘(kA)T=kAT(kA)1=k1A1

(kA)*=kn1A*乘法(AB)T=BTAT(AB)

1=B1

A1(AB)*=B*A*轉置(AT)T=A(AT)

1=(A1)T(AT)*=(A*)T取逆(A1)1=A(A1)*＝(A*)1伴隨(A*)*=|A|n2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I當A可逆時，A*＝|A|A113目前十三頁\總數四十頁\編于十五點行列式秩數加法r(A+B)≤r(A)+r(B)數乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k≠0)乘法|AB|=|A||B|r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B)轉置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A1|=|A|1伴隨|A*|=|A|n1n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n10,若r(A)<n1

其它定義性質若P,Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)14目前十四頁\總數四十頁\編于十五點性質公式備注轉置不變性|AT|=|A|行列地位平等反交換性|.........|=|.........|換法變換交錯性|.........|=0齊性|...k...|=k|.......|倍法變換統稱線性加性|...+...|=|......|+|......|倍加不變性|...+k......|=|.........|消法變換按第k行第k列展開|aij|=ak1Ak1+…+aknAkn

=a1kA1k+…+ankAnkaj1Ak1+…+ajnAkn=a1jA1k+…+anjAnk=jk|aij|Laplace定理分塊三角矩陣的行列式Cauchy-Binet

公式Vandermonde行列式定義性質；15目前十五頁\總數四十頁\編于十五點Laplace定理(按第i1,...,ik行展開)；分塊三角形行列式16目前十六頁\總數四十頁\編于十五點Cauchy-Binet公式

設U是m×n矩陣,V是n×m矩陣,m≥n,則17目前十七頁\總數四十頁\編于十五點18目前十八頁\總數四十頁\編于十五點初等變換行變換列變換換法變換倍法變換消法變換對單位矩陣做一次初等變換對A做一次行變換=用相應的初等矩陣左乘以A對A做一次列變換=用相應的初等矩陣右乘以A19目前十九頁\總數四十頁\編于十五點

對于m×n矩陣A，B下列條件等價AB，即A可由初等變換化成B有可逆矩陣P,Q使得PAQ=B秩A=秩BA，B的標準型相同

A,B行等價有可逆矩陣P使得A=PB

每個矩陣都行等價于唯一一個RREF矩陣

A,B等價有可逆矩陣P,Q使得A=PBQ

每個秩數為r的矩陣都等價于矩陣等價20目前二十頁\總數四十頁\編于十五點可逆矩陣vs列滿秩矩陣對于n階矩陣A,下列條件等價A是可逆矩陣|A|0秩A=n有B使得AB=I或BA=IA是有限個初等矩陣之積A(行或列)等價于IA的列(行)向量組線性無關方程組Ax=0沒有非零解對任意b,Ax=b總有解對某個b,Ax=b有唯一解A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C)對于m×r矩陣G,下列條件等價G是列滿秩矩陣,G有一個r階的非零子式秩G=列數G有左逆,即有K使得KG=I有矩陣H使得(G,H)可逆G行等價于G的列向量組線性無關方程組Gx=0沒有非零解對任意b,若Gx=b有解則唯一對某個b,Gx=b有唯一解G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C)21目前二十一頁\總數四十頁\編于十五點設A的秩數為r,則A有如下分解

,其中P,Q為可逆矩陣

A=PE,其中P可逆,E是秩數為r的RREFA=GH,其中G列滿秩,H行滿秩,且秩數都是r(滿秩分解)矩陣分解22目前二十二頁\總數四十頁\編于十五點分塊矩陣的初等變換和Schur公式把初等變換和初等矩陣的思想用到分塊矩陣Schur公式設A可逆

兩種常用方法適用例子:習題3.7.5;3.7.9~11:23目前二十三頁\總數四十頁\編于十五點2.正則化方法證明當A可逆時結論成立考慮xI+A,有無窮多個x使得該矩陣可逆將要證明的結論歸結為多項式的相等若兩個多項式在無窮多個點處的值相同,則這兩個多項式在任意點的值相等,特別地,取x=0.適用例子:習題:24目前二十四頁\總數四十頁\編于十五點特殊矩陣三角正規(guī)

可逆←對合

↗

↖

Hermite反Hermite酉矩陣冪等

冪零

對稱反對稱正交

↗對角

純量

25目前二十五頁\總數四十頁\編于十五點向量26目前二十六頁\總數四十頁\編于十五點線性表示：列向量組1,...,r可由1,...,s線性表示當且僅當有矩陣C使得(1,...,r)=(1,...,s)C.進一步，C的第k列恰為k的表示系數線性表示有傳遞性被表示者的秩數≤表示者的秩數向量組等價：對于向量組S，T，下列條件等價S和T等價，即S,T可以互相表示S,T的極大無關組等價S,T的秩數相等，且其中之一可由另一表示27目前二十七頁\總數四十頁\編于十五點線性相關與線性表示：1,...,r線性相關當且僅當其中之一可由其余的線性表示若,1,...,r線性相關,而1,...,r線性無關,則可由1,...,r線性表示,且表法唯一線性無關：對于向量組1,...,r下列條件等價

1,...,r線性無關當c1,...,cr不全為0時，必有c11+...+crr0

當c11+...+crr＝0時，必有c1＝...＝cr＝01,...,r的秩數等于r(1,...,r)是列滿秩矩陣28目前二十八頁\總數四十頁\編于十五點極大無關組與秩數：1,...,rS是S的一個極大無關組當且僅當1,...,r線性無關S的每個向量都可由1,...,r線性表示秩S＝極大無關組中向量的個數若秩S＝r,則任何r個無關的向量都是極大無關組矩陣的秩數＝行向量組的秩數＝列向量組的秩數

向量組向量空間解空間極大無關組基底基礎解系秩數維數n

－

r29目前二十九頁\總數四十頁\編于十五點向量空間向量空間：加法和數乘封閉的向量集合基底：向量空間的極大無關組維數：向量空間的秩數行空間：矩陣的行向量組張成的向量空間列空間：矩陣的列向量組張成的向量空間行空間與列向量的維數都等于矩陣的秩數對于矩陣m×n矩陣A，B，下列條件等價A,B行等價A,B的行空間相同A,B的行向量組等價A,B的列向量組線性關系一致Ax=0和Bx=0同解30目前三十頁\總數四十頁\編于十五點線性方程組線性方程組的表示方程式：矩陣式：Ax=b,其中A=(aij)m×n,

x=(xi)n×1,

b=(bi)m×1向量式：x11+...+xnn=b,其中i是xi的系數列31目前三十一頁\總數四十頁\編于十五點解的判定:

1.n元線性方程組Ax=b有解系數矩陣與增廣矩陣的秩數相等.具體地，當秩A＜秩(Ab)時，方程組無解當秩A＝秩(Ab)＝n時，方程組有唯一解當秩A＝秩(Ab)＜n時，方程組有無窮解2.線性方程組有解常數列可由系數列線性表示.此時,解恰為表示的系數32目前三十二頁\總數四十頁\編于十五點解法Cramer法則Gauss-Jordan消元法：用行變換和列換法變換將增廣矩陣化成RREF寫出RREF方程組取每個方程的第一個變量為主變量，其余的為自由變量，并解出主變量寫出參數解或通解33目前三十三頁\總數四十頁\編于十五點解的結構齊次線性方程組Ax=0：解空間：解的集合基礎解系：解空間的基底通解：設1,…,s是一個基礎解系,則通解為=c11+...+css，其中c1,...,cs是任意常數解空間的維數＝未知數個數－系數矩陣的秩數設秩A=r,則Ax=0的任何n-r個無關的解都是基礎解系34目前三十四頁\總數四十頁\編于十五點一般線性方程組Ax=b：Ax＝b和Ax=0的解的關系：Ax＝b的兩個解之差是Ax=0的解Ax＝b的解與Ax=0的解之和是Ax=b的解Ax=b的解的線性組合是設Sb和S0分別表示Ax＝b和Ax=0的解集合，則Sb＝S0+，Sb通解：設1,…,s是一個基礎解系,是Ax=b的一個解,則通解為=c11+...+css+，其中c1,...,cs是任意常數Ax=0的解，當系數和＝0時；Ax=b的解，當系數和＝1時.35目前三