多元正態(tài)分布的參數(shù)估計

第1頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)引言多元統(tǒng)計分析涉及到的都是隨機向量或多個隨機向量放在一起組成的隨機矩陣。例如在研究公司的運營情況時，要考慮公司的獲利能力、資金周轉(zhuǎn)能力、競爭能力以及償債能力等財務(wù)指標(biāo)；又如在研究國家財政收入時，稅收收入、企業(yè)收入、債務(wù)收入、國家能源交通重點建設(shè)基金收入、基本建設(shè)貸款歸還收入、國家預(yù)算調(diào)節(jié)基金收入、其他收入等都是需要同時考察的指標(biāo)。顯然，如果我們只研究一個指標(biāo)或是將這些指標(biāo)割裂開分別研究，是不能從整體上把握研究問題的實質(zhì)的，解決這些問題就需要多元統(tǒng)計分析方法。為了更好的探討這些問題，本章我們首先論述有關(guān)隨機向量的基本概念和性質(zhì)。第2頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月在實用中遇到的隨機向量常常是服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，或雖本身不是正態(tài)分布，但它的樣本均值近似于正態(tài)分布。因此現(xiàn)實世界中許多實際問題的解決辦法都是以總體服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布為前提的。在多元統(tǒng)計分析中，多元正態(tài)分布占有很重要地位，本書所介紹的方法大都假定數(shù)據(jù)來自多元正態(tài)分布。為此，本章將要介紹多元正態(tài)分布的定義和有關(guān)性質(zhì)。然而在實際問題中，多元正態(tài)分布中均值向量和協(xié)差陣通常是未知的，一般的做法是由樣本來估計。這是本章討論的重要內(nèi)容之一，在此我們介紹最常見的最大似然估計法對參數(shù)進(jìn)行估計，并討論其有關(guān)的性質(zhì)。第3頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)基本概念一隨機向量二多元分布三隨機向量的數(shù)字特征

第4頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月一、隨機向量

我們所討論的是多個變量的總體，所研究的數(shù)據(jù)是同時包含p個指標(biāo)（變量），又進(jìn)行了n次觀測得到的，我們把這個p指標(biāo)表示為X1，X2，…，Xp，通常運用p維向量X=(X1，

X2，

…

，

XP)'表示對同一個體觀測的p個變量。

這里我們應(yīng)該強調(diào)，在多元統(tǒng)計分析中，仍然將所研究對象的全體稱為總體，它是由許多（有限和無限）的個體構(gòu)成的集合，如果構(gòu)成總體的個體是具有p個需要觀測指標(biāo)的個體，我們稱這樣的總體為p維總體（或p元總體）。上面的表示便于人們用數(shù)學(xué)方法去研究p維總體的特性。這里“維”（或“元”）的概念，表示共有幾個分量。若觀測了個數(shù)為n的個體，則可得到如表2.1的數(shù)據(jù)，稱每一個個體的p個變量為一個樣品，而全體n個樣品組成一個樣本。第5頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第6頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第7頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月二、多元分布

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第10頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

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第16頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月三、隨機向量的數(shù)字特征

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第18頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義隨機向量X和Y的協(xié)差陣為

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第21頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第22頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)多元正態(tài)分布一多元正態(tài)分布的定義

二多元正態(tài)分布的性質(zhì)

第23頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月一、多元正態(tài)分布的定義

第24頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

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第26頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第27頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月二、多元正態(tài)分布的性質(zhì)

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第29頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第30頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第34頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)

多元正態(tài)分布參數(shù)估計

一多元樣本的數(shù)字特征

二均值向量與協(xié)差陣的最大似然估計

三

Wishart分布

第35頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月一、多元樣本的數(shù)字特征

第36頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第37頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第38頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第40頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第41頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第43頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月二、均值向量與協(xié)差陣的最大似然

估計

第44頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第45頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第46頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第47頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第48頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第49頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月三、Wishart分布

第50頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

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第52頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

第53頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)多元正態(tài)分布參數(shù)估計 的實例與計算機實現(xiàn)

一均值向量的估計二協(xié)差陣的估計

第54頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月通過上面的理論分析知道，多元正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的最大似然估計分別是樣本均值向量和樣本協(xié)差陣。利用SPSS軟件可以迅速地計算出多元分布的樣本均值向量、樣本離差陣和樣本協(xié)差陣。下面通過一個實例來說明多元正態(tài)分布參數(shù)估計的SPSS實現(xiàn)過程。從滬深兩市上市公司中隨機抽取300家公司，取其三個反映收益情況的主要財務(wù)指標(biāo)：每股收益率（eps）、凈資產(chǎn)收益率（roe）和總資產(chǎn)收益率（roa）?，F(xiàn)要求對這三個指標(biāo)的均值和協(xié)差陣進(jìn)行估計。第55頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月一、均值向量的估計在SPSS中計算樣本均值向量的步驟如下：

1.選擇菜單項Analyze→DescriptiveStatistics→Descriptives，打開Descriptives對話框，如圖2.1。將待估計的三個變量移入右邊的Variables列表框中。圖2.1Descriptives對話框第56頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月 2.單擊Options按鈕，打開Options子對話框，如圖2.2所示。在對話框中選擇Mean復(fù)選框，即計算樣本均值向量。單擊Continue按鈕返回主對話框。圖2.2Options子對話框第57頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月 3.單擊OK按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出樣本均值向量，如表2.2。即樣本均值向量為（0.175，0.044，0.026）。表2.2樣本均值向量第58頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月二、協(xié)差陣的估計在SPSS中計算樣本協(xié)差陣的步驟如下：

1.選擇菜單項Analyze→Correlate→Bivariate，打開BivariateCorrelations對話框，如圖2.3。將三個變量移入右邊的Variables列表框中。圖2.3BivariateCorrelations對話框第59頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月 2.單擊Options按鈕，打開Options子對話框，如圖2.4。選擇Cross-productdeviationsandcovariances復(fù)選框，即計算樣本離差陣和樣本協(xié)差陣。單擊Continue按鈕，返回主對話框。圖2.4Options子對話框第60頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月 3.單擊OK按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出相關(guān)分析表。表中PearsonCorrelation給出皮爾遜相關(guān)系數(shù)矩陣，SumofSquaresandCross-products給出樣本離差陣，Covariance給出樣本協(xié)差陣。值得注意的是，這里給出的樣本協(xié)差陣是S/(n-1)

，而不是S/n。第61頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月表2.3樣本相關(guān)系數(shù)矩陣、離差陣與協(xié)差陣第62頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月思考與練習(xí)

2.1試述多元聯(lián)合分布和邊緣分布之間的關(guān)系。

2.2設(shè)隨機變量服從二元正態(tài)分布，寫出聯(lián)合分布密度函數(shù)和X1、X2各自的邊緣密度函數(shù)。

2.3已知隨機變量的聯(lián)合分布密度函數(shù)為

其中，。求：（1）隨機變量X1和X2各自的邊緣密度函數(shù)、均值與方差；（2）隨機變量X1和X2的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)；（3）判斷隨機變量X1和X2是否相互獨立。

2.4設(shè)隨機變量服從p元正態(tài)分布，已知協(xié)差陣Σ為對角陣，證明X的分量是相互獨立的隨機變量。第63頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5從某企業(yè)全部職工中隨機抽取一個容量為6的樣本，該樣本中各職工的目前工資、受教育年限、初始工資和工作經(jīng)驗如下表所示：

設(shè)職工總體的以上變量服從多元正態(tài)分布，根據(jù)樣本資料求出均值向量和協(xié)差陣的最大似然估計。

2.6均值向量和協(xié)差陣的最大似然估計具有哪些優(yōu)良性質(zhì)？

職工編號目前工資(美元)受教育年限(年)初始工資(美元)工作經(jīng)驗(月)12345657000402002145021900450002835015161281582700018750120001320021000120001443638119013826第64頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月2.7試證多元正態(tài)總體的樣本均值向量。2.8試證多元正態(tài)總體的樣本協(xié)差陣為Σ的無偏估計。2.9設(shè)是從多元正態(tài)總體中獨立抽取的一個隨機樣本，試求樣本協(xié)差陣的分布。

2.10設(shè)是來自的數(shù)據(jù)陣，：（1）已知