高斯公式與斯托克斯公式(2)(共30張PPT)

§3高斯公式與斯托克斯公式第1頁，共30頁。教學目的：學會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分．教學內(nèi)容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空間曲線的第二型積分與路徑無關(guān)的條件．基本要求：學會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分．掌握沿空間曲線的第二型積分與路徑無關(guān)的條件．第2頁，共30頁。高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式第3頁，共30頁。定理22.3設(shè)空間閉區(qū)域V由分片光滑的在V上有連續(xù)的一階偏導數(shù),則有閉曲面S所圍成,S的方向取外側(cè),函數(shù)P,Q,R

一、高斯公式第4頁，共30頁。下面先證:證明設(shè)為XY型區(qū)域,則第5頁，共30頁。第6頁，共30頁。所以若

不是XY–型區(qū)域,則可引進輔助面將其分割成若干個XY–型區(qū)域,

故上式仍成立.正反兩側(cè)面積分正負抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：第7頁，共30頁。例1計算其中S是由x=y=z=0,x=y=z=a六個平面所圍的正立方體表面并取外側(cè)為正向.解第8頁，共30頁。例計算所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).解其中S為錐面與平面第9頁，共30頁。設(shè)S1為上半球體的底面，例計算的外側(cè).解其中S是上半球面取下側(cè).于是第10頁，共30頁。設(shè)人站在曲面S上的指定一側(cè)，沿邊界曲線L行走，所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).三式相加,即得斯托克斯公式;記三角形ABC為S,取上側(cè),則指定的側(cè)總在人的左方，則人前進的方向為邊界曲線所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,(1)對Ω內(nèi)任一按段光滑閉曲線L,有利用斯托克斯公式計算積分對曲面S的側(cè)與其邊界曲線L的方向作如下規(guī)定：(4)在Ω內(nèi)處處有例設(shè)S與上例相同，取球面外側(cè)，取逆時針方向為正向如圖所示.故格林公式是斯托克斯公式的特例.教學目的：學會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分．斯托克斯公式建立了沿曲面S的曲面積分與沿S

的邊界曲線L的曲線積分之間的聯(lián)系.對曲面S的側(cè)與其邊界曲線L的方向作如下規(guī)定：設(shè)人站在曲面S上的指定一側(cè)，沿邊界曲線L行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人前進的方向為邊界曲線

L的正向.二、斯托克斯公式這個規(guī)定方法也稱為右手法則.第11頁，共30頁。定理22.4設(shè)光滑曲面S的邊界L

是按段光滑曲線,同L）上具有連續(xù)一階偏導數(shù)，則有

S的側(cè)與L

的正向符合右手法則,

在

S（連第12頁，共30頁。注意:

則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果S是xoy坐標平面上的一塊平面區(qū)域,第13頁，共30頁。為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:第14頁，共30頁。證:情形1

與平行z軸的直線只交于一點,設(shè)其方程為為確定起見,不妨設(shè)取上側(cè)(如圖).則(利用格林公式)第15頁，共30頁。第16頁，共30頁。因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;第17頁，共30頁。情形2曲面與平行z軸的直線交點多于一個,則可通過作輔助線面把分成與z軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.證畢第18頁，共30頁。例2.

利用斯托克斯公式計算積分

其中

L

為平面x+y+z=1與各坐標面的交線，解取逆時針方向為正向如圖所示.記三角形ABC為S,取上側(cè),則第19頁，共30頁。第20頁，共30頁。例.

利用斯托克斯公式計算積分

其中

L

為y2+z2

=1,x=y所交的橢圓正向.解記以L為邊界的橢圓面為S,其方向按右手法則確定，于是有第21頁，共30頁。將其分割成若干個XY–型區(qū)域,將其分割成若干個XY–型區(qū)域,其中L為平面x+y+z=1與各坐標面的交線，記三角形ABC為S,取上側(cè),則情形2曲面與平行z軸的直線交點多于一個,類曲面斯托克斯公式仍成立.曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,記三角形ABC為S,取上側(cè),則所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).(3)在Ω內(nèi)存在某一函數(shù)u,使故格林公式是斯托克斯公式的特例.所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).對曲面S的側(cè)與其邊界曲線L的方向作如下規(guī)定：第22頁，共30頁。例.

為柱面

與平面y=z的交線,從z

軸正向看為順時針,計算解:設(shè)為平面z=y上被

所圍橢圓域,

且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦第23頁，共30頁。空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理22.5設(shè)Ω是空間單連通區(qū)域,函數(shù)P,Q,R

在Ω上具有連續(xù)一階偏導數(shù),則下列四個條件相互等價:(1)對Ω內(nèi)任一按段光滑閉曲線L,有(2)對Ω內(nèi)任一按段光滑曲線L,與路徑無關(guān)第24頁，共30頁。(4)在Ω內(nèi)處處有(3)在Ω內(nèi)存在某一函數(shù)u,使第25頁，共30頁。與路徑無關(guān),并求函數(shù)解:

令積分與路徑無關(guān),因此例3.驗證曲線積分第26頁，共30頁。內(nèi)容小結(jié)1.高斯公式第27頁，共30頁。2.斯托克斯公式第28頁，共30頁。例計算其中S為球面在第一卦限部分

例設(shè)S與上例相同，取球面外側(cè)，分別計算下列積分

第29頁，共30頁。德國數(shù)學家、天文學家和物理學家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學家,他的數(shù)學成就遍及各個領(lǐng)域,在數(shù)論、級數(shù)、復變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻,他還十分重視