2021屆廣東省仲元中山等七校聯(lián)合體高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題

本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷、草稿紙或答題卡的非答題區(qū)上無效。4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷選擇題:本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合,則滿足的集合B的個數(shù)是()A．1B．3C．4D．2.已知()A.B．C．D．3.設(shè)點是函數(shù)的圖象C的一個對稱中心，若點到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，則的最小正周期是()A．B.C.D.4.已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則()A．（）B．（）C．（）D．（）5.若的展開式中各項系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為()A．－540（B）－162C．162（D）6.已知是周期為2的奇函數(shù)，當時，設(shè)（）A．B．C．D．7．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為()A．1 B． C． D．28．有A、B、C、D、E、F共6個集裝箱，準備用甲、乙、丙三輛卡車運送，每臺卡車一次運兩個。若卡車甲不能運A箱，卡車乙不能運D箱，此外無其它任何限制；要把這6個集裝箱分配給這3臺卡車運送，則不同的分配方案的種數(shù)為（）A．168B．84C．56D．42二、多項選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，漏選的得3分，錯選或不選的得0分。9.下列四個條件中，是的充分條件的是（）Ａ．，B．為雙曲線， C．，Ｄ．，10．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為11．如圖,在長方體中，，，，分別為棱，的中點，則下列說法正確的是（）四點共面平面直線與所成角的為平面平面12．四邊形內(nèi)接于圓，，下列結(jié)論正確的有（）A．四邊形為梯形B．四邊形的面積為 C．圓的直徑為7D．的三邊長度可以構(gòu)成一個等差數(shù)列第Ⅱ卷三、填空題:本題共4小題每小題5分，其中第16題共兩空答對一空得3分，答對兩空得5分13.若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則的值為______14.若隨機變量______________15.設(shè)函數(shù).若是偶函數(shù)，則__________。16．已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AB=6，AC=8，BC=10，則球的半徑等于________,球的表面積等于__________．四、解答題:本題共6小題，滿分70分．解答須寫出文字說明證明過程或演算步驟．17.(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列的前項和為（1）求的值；（2）若的等差中項為14，且滿足，求數(shù)列的前項和.18.（本小題滿分12分）BDCA如圖,是直角斜邊上一點,,記BDCA求的值.若,求的值.19．（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，，點E是上的點，且（1）求證：對任意的，都有（2）設(shè)二面角C—AE—D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值w.w.w..c.o.m20.（本小題滿分12分）現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價格下降的概率都是,設(shè)乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進行2次獨立的調(diào)整,記乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為,對乙項目每投資十萬元,取0、1、2時,一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機變量、分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤.(1)求、的概率分布和數(shù)學期望、;(2)當時,求的取值范圍.21.（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，離心率為。(1)求橢圓的方程；（2)直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點，當面積取得最大值時，求直線的方程.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若，不等式對恒成立，求的取值范圍.題號123456789101112答案CACBADBDBCADCDABDⅡ13、，1415、.16、17、解析：本小題考查數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列，對數(shù)與指數(shù)互相轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識。考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。滿分10分.解法：當時，···········1分···········2分是等差數(shù)列,············4分(Ⅱ)解：,是等差數(shù)列,···········6分又··········8分即是等比數(shù)列.所以數(shù)列的前項和···········1018解：（1）···········3分··········6分(2)在中，根據(jù)正弦定理若AC=DC··········8分由（1）得··········10分又因為在直角△ABC中··········11分··········12分19證法：以D為原點，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），,B（，，0），C（0，，0），E（0，0），，即?！ぁぁぁぁぁぁぁぁ?分（2）由（I）得.設(shè)平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得·········6分易知平面ABCD與平面ADE的一個法向量分別為..·········10分.由于，解得，即為所求?！ぁぁぁぁぁぁぁぁ?2分（解法二）證明：如圖1，連接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE·········4分（Ⅱ）如圖1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=,SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD,SD⊥CD。又底面ABCD是正方形，CD⊥AD，而SDAD=D，CD⊥平面SAD.連接AE、CE，過點D在平面SAD內(nèi)作DE⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=。在Rt△BDE中，BD=2a，DE=，， 在Rt△ADE中,從而在中，.由，解得，即為所求.20【(I)解法1:的概率分布為1.21.181.17PE=1.2+1.18+1.17=1.18.·········2分由題設(shè)得,則的概率分布為012P故的概率分布為1.31.250.2P所以的數(shù)學期望為E=++=.·········8分(II)由,得:因0<p<1,所以時,p的取值范圍是0<p<0.3.·········12分解法2:的概率分布同解法一；的概率分布解法如下設(shè)表示事件”第i次調(diào)整,價格下降”(i=1,2),則P(=0)=;P(=1)=;P(=2)=故的概率分布為1.31.250.2P所以的數(shù)學期望為E=++=.21解：設(shè)橢圓方程為（Ⅰ）由已知得∴所求橢圓方程為 .·········4分（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由，消去y得關(guān)于x的方程：由直線與橢圓相交于A、B兩點，解得又由韋達定理得原點到直線的距離.解法1：令， 則 當且僅當即時， 此時. 所以，所求直線方程為········12分解法2：對兩邊平方整理得：（*） ∵， 整理得： 又， 從而的最大值為，此時代入方程（*）得 所以，所求直線方程為：.解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)直線l的方程為，則直線l與x軸的交點， 由解法一知且， 解法1： = . 下同解法一. 解法2：= 下同解法一.·········12分22【解析】（1）.①當時，恒成立，所