信號(hào)與線性系統(tǒng)分析第4章

第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)一、正交函數(shù)集二、信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)一、周期信號(hào)的分解二、奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式4.3周期信號(hào)的頻譜

一、周期信號(hào)的頻譜二、周期矩形脈沖的頻譜三、周期信號(hào)的功率4.4非周期信號(hào)的頻譜

一、傅里葉變換二、奇異函數(shù)的傅里葉變換4.5傅里葉變換的性質(zhì)

一、線性二、奇偶性三、對(duì)稱性四、尺度變換五、時(shí)移特性六、頻移特性七、卷積定理八、時(shí)域微分和積分九、頻域微分和積分十、相關(guān)定理4.6能量譜和功率譜一、能量譜二、功率譜4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一、正、余弦函數(shù)的傅里葉變換二、一般周期函數(shù)的傅里葉變換三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析一、頻率響應(yīng)二、無失真?zhèn)鬏斎?、理想低通濾波器的響應(yīng)4.9取樣定理一、信號(hào)的取樣二、時(shí)域取樣定理三、頻域取樣定理4.10序列的傅里葉分析

一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)二、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)4.11離散傅里葉變換及其性質(zhì)一、離散傅里葉變換(DFT)二、離散傅里葉變換的性質(zhì)法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。1807年向巴黎科學(xué)院呈交《熱的傳播》論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。

1822年在代表作《熱的分析理論》中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對(duì)19世紀(jì)數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。（傅里葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅里葉積分、傅里葉變換，這些統(tǒng)稱為傅里葉分析。）

其他貢獻(xiàn)有：最早使用定積分符號(hào)，改進(jìn)了代數(shù)方程符號(hào)法則的證法和實(shí)根個(gè)數(shù)的判別法等。

傅里葉簡介

時(shí)域分析：以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而yzs(t)=f(t)*h(t)。

頻域分析：以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集。如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。

例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量A=(2，5，8)，可以用一個(gè)三維正交矢量集{vx，vy，vz}分量的線性組合表示。即

A=vx+2.5vy+4vz

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間：在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1.定義：

在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)

1(t)和

2(t),若滿足：則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。2.正交函數(shù)集：

若n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足：則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)上的正交函數(shù)集。4.完備正交函數(shù)集：

正交函數(shù)集{1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在任何函數(shù)(t)(≠0）滿足：則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。(i=1，2，…，n)3.正交復(fù)函數(shù)集：若n個(gè)復(fù)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足：則稱此復(fù)函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)上的正交函數(shù)集。

三角函數(shù)集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。三、信號(hào)的正交分解設(shè)有n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為

f(t)≈C11+C22+…+Cnn

問題：如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為：為使上式最小（系數(shù)Cj變化時(shí)），有即：系數(shù)：當(dāng)n→∞時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有：上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式：在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和4.2傅里葉級(jí)數(shù)一、周期信號(hào)的分解設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，可展開為傅里葉級(jí)數(shù)。

系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù)。

可見，an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。式中，A0=a0上式表明：周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。其中，A0/2為直流分量；

A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同；

A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波?？梢夾n是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)。

an

=Ancosn，bn

=–Ansinn，n=1,2,…將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為例1：將圖示方波信號(hào)f(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。解：考慮到Ω=2π/T，可得：信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為：基波基波+三次諧波基波+三次諧波+五次諧波基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波

實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以

二、波形的對(duì)稱性與諧波特性1.f(t)為偶函數(shù)——對(duì)稱縱坐標(biāo)bn

=0，展開為余弦級(jí)數(shù)。2.f(t)為奇函數(shù)——對(duì)稱于原點(diǎn)an

=0，展開為正弦級(jí)數(shù)。3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)此時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即：a0=a2=…=b2=b4=…=04.f(t)為偶諧函數(shù)——f(t)=f(t±T/2)此時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式cosx=(ejx

+e–jx)/2上式中第三項(xiàng)的n用–n代換，A–n=An，–n=–n，則上式寫為令A(yù)0=A0ej0ej0t，0=0，所以：稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。Fn是頻率為n的分量的系數(shù)，F(xiàn)0=A0/2為直流分量。例2：求如圖所示周期信號(hào)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。解：指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)為：展開式傅里葉系數(shù)系數(shù)間關(guān)系復(fù)指數(shù)三角函數(shù)

n=0,±1,±2，…

n=0,1,2，…

n=1,2，3…

4.3周期信號(hào)的頻譜一、信號(hào)頻譜的概念從廣義上說，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將An~ω和n~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和n~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn。例：周期信號(hào)f(t)=試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t)的平均功率。解首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即顯然1是該信號(hào)的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為P=是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次諧波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次諧波分量；畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）,n=0,±1，±2，…Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T=4τ畫圖。零點(diǎn)為所以，m為整數(shù)。特點(diǎn)：(1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。譜線特點(diǎn)：脈寬不變,周期T增大，幅度變小，譜線間隔變小，變密。周期信號(hào)的頻譜特性：收斂性：n增大，|Fn|減小；(b)諧波性/離散性：譜線只出現(xiàn)在n

處；(c)唯一性：傅里葉級(jí)數(shù)一定。引入負(fù)頻率：對(duì)于雙邊頻譜，負(fù)頻率n只有數(shù)學(xué)意義，沒有物理意義；f（t）是實(shí)函數(shù)，分解成虛指數(shù)時(shí)，必須有共軛對(duì)，才能保證f（t）是實(shí)函數(shù)性質(zhì)不變。三、周期信號(hào)的功率——Parseval等式含義：直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為表明：對(duì)于周期信號(hào)，在時(shí)域中求得的信號(hào)功率與在頻域中求得的信號(hào)功率相等。4.4非周期信號(hào)的頻譜—傅里葉變換一、傅里葉變換非周期信號(hào)f(t)可看成是周期T→∞時(shí)的周期信號(hào)。前已指出當(dāng)周期T趨近于無窮大時(shí)，譜線間隔趨近于無窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令(單位頻率上的頻譜）稱F(jω)為頻譜密度函數(shù)。考慮到：T→∞，Ω→無窮小，記為dω；nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時(shí)，∑→∫于是，傅里葉正變換傅里葉逆變換F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)也可簡記為F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)說明：(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)

f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分二、常用函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–tε(t)，

>02.雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–t,

>03.門函數(shù)(矩形脈沖)4.沖激函數(shù)(t)、′(t)5.常數(shù)1有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1，(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。

可構(gòu)造一函數(shù)序列{fn(t)}逼近f

(t)，即而fn(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且{fn(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Fn(j)}是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F

(j)為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。構(gòu)造f(t)=e-t，>0←→所以又因此，1←→2()

另一種求法：(t)←→1代入反變換定義式，有將→t，t→-再根據(jù)傅里葉變換定義式，得6.符號(hào)函數(shù)7.階躍函數(shù)(t)構(gòu)造歸納記憶：1.F變換對(duì)2.常用函數(shù)F變換對(duì)：δ(t)ε(t)e-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–|t|ε(t)112πδ(ω)傅里葉變換具有唯一性，揭示了信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系；討論傅里葉變換性質(zhì)，目的在于了解時(shí)域和頻域間的聯(lián)系，及其在通信系統(tǒng)中的實(shí)用，利用傅里葉變換性質(zhì)求F(jw).傅里葉變換特性也是信號(hào)的調(diào)制特性。4.5傅里葉變換的性質(zhì)一、線性(LinearProperty)證明:則：若調(diào)制特性：信號(hào)增大或減小a倍，其頻譜也增大或減小a倍；幾個(gè)信號(hào)之和的頻譜函數(shù)=各個(gè)信號(hào)的頻譜函數(shù)之和。例：

F(jω)=?解:f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖-二、奇偶性(Parity)如果f(t)是實(shí)函數(shù),那么，因此，(1)R(ω)=R(–ω),偶函數(shù)；X(ω)=–X(–ω)，奇函數(shù)|F(jω)|=|F(–jω)|,偶；

(ω)=–(–ω)，奇(2)若f(t)=f(-t),則X(ω)=0,F(jω)=R(ω)若f(t)=-f(-t),則R(ω)=0,F(jω)=jX(ω)三、對(duì)稱性(SymmetricalProperty)若f(t)←→F(jω)則：證明:（1）(1)t→ω，ω→t

（2）(2)ω→-ω∴F(jt)←→2πf(–ω)F(jt)←→2πf(–ω)特性：F（t）形狀和F（w）相同，則F（t）的頻譜的形狀與f（w）形狀相對(duì)稱類似。幅度相差2π。例：←→F(jω)=?解:α=1,∴四、尺度變換性質(zhì)(ScalingTransformProperty)若f(t)←→F(jω)則：其中“a”是實(shí)常數(shù).證明:F[f(at)]=當(dāng)a>0,F[f(at)]當(dāng)a<0,F[f(at)]所以,f(a

t)←→另

a=-1時(shí),f(-t)←→F(-jω)頻帶寬度：滿足一定不失真條件下，原信號(hào)可用某段頻率范圍的信號(hào)來表示，此頻率寬度稱為頻帶寬度。一般把第一個(gè)零點(diǎn)作用信號(hào)的頻率段記為頻帶寬度：調(diào)制特性：信號(hào)在時(shí)域的持續(xù)時(shí)間和信號(hào)在頻域占有的頻帶寬度成反比，且在頻域的幅度是在時(shí)域的幅度的1/|a|。例：f(t)=←→F(jω)=?解:利用對(duì)稱性,令α=-1,？令α=1,利用對(duì)稱性,×五、時(shí)移特性(TimeshiftingProperty)若f(t)←→F(jω)則：其中“t0”實(shí)常數(shù).證明:F[f(t–t0)]特性：信號(hào)在時(shí)域延時(shí)t0時(shí)，其頻譜相位落后wt0，幅度保持不變。例：F(jω)=?

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=‖+解:f

(t)=f1(t)+f2(t)例：若有f(t)←→F(jω),求f(at–b)←→?解:

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)f(at–b)←→或f(at)←→f(at–b)=六、頻移性質(zhì)(FrequencyShiftingProperty)若f(t)←→F(jω)則：證明:其中“ω0”是實(shí)常數(shù).F[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]特性：信號(hào)在時(shí)域中乘以因子ejw0t，其頻譜函數(shù)將左移w0.例2f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?解:F(jω)=π[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]例3若f(t)←→F(jω)，求f(t)cosω0t←→?

例1：f(t)=ej3t←→F(jω)=?解:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)七、卷積定理(ConvolutionProperty)1、時(shí)域卷積定理：若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則：f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)2、頻域卷積定理：若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則：f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)兩個(gè)信號(hào)的時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻譜密度函數(shù)的乘積；兩個(gè)信號(hào)的時(shí)域乘積對(duì)應(yīng)兩個(gè)頻譜函數(shù)卷積的1/2π倍。證明:根據(jù)時(shí)移特性因此,例：解:根據(jù)對(duì)稱性,八、時(shí)域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationintimedomain)若f(t)←→F(jω)則：證明:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω);’(t)←→jwf(-1)(t)=(t)*f(t)←→f(t)=1/t2←→?例1解:例2假設(shè)f(t)←→F1(jω)；證明下式成立：f(t)←→F1(jω)+[f(-∞)+f(∞)]()證明：故結(jié)論:若

f(n)(t)←→Fn(jω)，且f(-∞)+f(∞)=0那么f(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n傅氏變換例3求f(t)←→F

(jω)？解:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2F

(jω)=注意:dε(t)/dt=(t)←→1ε(t)←╳→1/(jω)九、頻域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain)若f(t)←→F(jω)則：(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)例1

f(t)=tε(t)←→F

(jω)=?解:例2解:傅里葉變換性質(zhì)定義線性奇偶反轉(zhuǎn)對(duì)稱尺度變換時(shí)移、頻移卷積定理（時(shí)域、頻域）微分性質(zhì)（時(shí)域、頻域）積分性質(zhì)（時(shí)域、頻域）4.7周期信號(hào)傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換1←→2πδ(ω)由頻移特性得ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=

(ejω0t+e–jω0t)/2←→π[δ(ω+ω0)+δ(ω–ω0)]sin(ω0t)=

(ejω0t+e–jω0t)/(2j)←→jπ[δ(ω+ω0)–δ(ω–ω0)]

函數(shù)奇偶F（jw）頻譜相位譜cos（w0t）偶函數(shù)實(shí)函數(shù)一對(duì)沖激0sin（w0t）奇函數(shù)虛函數(shù)一對(duì)沖激±π/2周期正余弦信號(hào)的頻譜仍為離散譜，在w0處頻譜密度為∞二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換(1)周期信號(hào)的頻譜由沖擊序列組成：位置：w=nΩ（諧波頻率）幅度：2πFn與Fn成正比，離散譜(2)譜線的幅度不是有限值：所表示的頻率范圍無限小，幅度無窮大——頻譜密度(1)-4T-3T-2T–T0T2T3T4TtδT(t)1例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)T(t)=解：-4Ω-3Ω

-2Ω

–Ω

0Ω2Ω3Ω4Ω

ωΩδΩ

(ω)Ω沖激序列的頻譜密度函數(shù)仍為沖激序列，幅度和間隔都是Ω。例2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號(hào)f(t)也可看作一時(shí)限非周期信號(hào)f0(t)的周期拓展。即f(t)=T(t)*f0(t)F(jω)=ΩΩ(ω)F0(jω)F(jω)=本題f0(t)=g2(t)←→(2)(2)式與上頁(1)式比較，得這也給出求周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的另一種方法。傅里葉系數(shù)與傅里葉變換4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對(duì)周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：其基本信號(hào)為ejt一、基本信號(hào)ejt作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)說明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)?–∞，∞)，而t=–∞總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率ω的基本信號(hào)ejt時(shí)，其響應(yīng)而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j)，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。所以：y(t)=H(j)ejtH(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ejt二、一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ejtH(j)ejtF(j)d

ejtF(j)H(j)d

ejt齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[Y(j)]Y(j)=F(j)?H(j)頻率響應(yīng)H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；θ()稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。H(j)是的偶函數(shù)，θ()是的奇函數(shù)。頻域分析法步驟：傅里葉變換法對(duì)周期信號(hào)還可用傅里葉級(jí)數(shù)分析法：周期信號(hào)若則可推導(dǎo)出例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和θ()如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解法一：用傅里葉變換F(j)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j)=F(j)H(j)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j)=H(j)ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j)]=2+2sin(5t)解法二：用三角傅里葉級(jí)數(shù)分析法求解f(t)的基波角頻率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)三、頻率響應(yīng)H(j)的求法1.H(j)=F[h(t)]

2.H(j)=Y(j)/F(j)由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。例1：某系統(tǒng)的微分方程為y′(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)時(shí)的響應(yīng)y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換jY(j)+2Y(j)=F(j)f(t)=e-tε(t)←→Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)例2：如圖電路，R=1Ω，C=1F，以u(píng)C(t)為輸出，求其h(t)。解：畫電路頻域模型h(t)=e-tε(t)

例2解：由對(duì)稱性可知：所以：此外：所以：總結(jié)：系統(tǒng)可以看做是一個(gè)信號(hào)處理器。1、H(jw)是一個(gè)加權(quán)函數(shù)，對(duì)信號(hào)頻率分量進(jìn)行加權(quán)運(yùn)算；2、信號(hào)的幅度由|H(jw)|加權(quán)，信號(hào)的相位由φ(w)修正；3、對(duì)于不同的頻率有不同的加權(quán)作用，這也是信號(hào)分解、求響應(yīng)、再疊加的過程；4、傅里葉變換從頻譜改變的觀點(diǎn)說明了激勵(lì)和響應(yīng)波形的差異，系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的加權(quán)作用改變了信號(hào)的頻譜，即改變了信號(hào)特征。四、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類：一類是信號(hào)的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則要求濾去或削弱不需要的成分，必然伴隨著失真。1、無失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號(hào)無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒有波形上的變化。即輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘?hào)應(yīng)為

y(t)=Kf(t–td)其頻譜關(guān)系為Y(j)=Ke–jtdF(j)

對(duì)系統(tǒng)的不同用途有不同要求：無失真?zhèn)鬏?；利用失真——波形變換。失真分類：線性失真---幅度,相位變化,不產(chǎn)生新的頻率成分非線性失真---產(chǎn)生新的頻率成分。信號(hào)失真由兩方面因素造成：不同頻率分量的幅度變換不同；不同頻率分量上相移與頻率不成正比。系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：(a)對(duì)h(t)的要求:(時(shí)域)h(t)=K(t–td)(b)對(duì)H(j)的要求:(頻域)H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即

H(j)=K,θ()=–td

上述是傳輸有限帶寬的信號(hào)時(shí)無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。#要求幅度為與頻率無關(guān)的常數(shù)K，系統(tǒng)的通頻帶無限寬；#相位特性與|W|成正比，是一條過原點(diǎn)的負(fù)斜率直線；#不失真的線性系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)也是沖激函數(shù)。(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：2、理想低通濾波器

作用：可將低于角頻率c的信號(hào)無失真地傳輸，阻止角頻率高于c

的信號(hào)通過。c稱為截止角頻率。通帶：信號(hào)能通過的頻率范圍；阻帶/止帶：阻止信號(hào)通過的頻率范圍。通帶內(nèi)幅頻特性|H(jw)|=1,相頻特性φ(ω)=-ωtd。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：(1)沖激響應(yīng)

h(t)=?-1[g2c

()e-jtd]=可見，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)(why?)。t0(1)h(t)tWc/π0td比較輸入輸出，信號(hào)嚴(yán)重失真；理想低通濾波器是個(gè)物理不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)；原因,t<0時(shí)，h(t)有值。(2)階躍響應(yīng)

g(t)=h(t)*(t)=經(jīng)推導(dǎo)，可得稱為正弦積分特點(diǎn)：有明顯失真，只要c<∞，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截?cái)嘈?yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.08953、物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件

就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t<0時(shí)必須為0，即h(t)=0,t<0即響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前出現(xiàn)。就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿足并且稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）從該準(zhǔn)則可看出，對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點(diǎn)上為0，但不能在某個(gè)有限頻帶內(nèi)為0。4.9取樣定理取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號(hào)的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)?？梢哉f，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。一、信號(hào)的取樣所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。這樣得到的離散信號(hào)稱為取樣信號(hào)。如圖一連續(xù)信號(hào)f(t)用取樣脈沖序列s(t)(開關(guān)函數(shù)）進(jìn)行取樣，取樣間隔為TS，fS=1/TS稱為取樣頻率。得取樣信號(hào)

fS(t)=f(t)s(t)取樣信號(hào)fS(t)的頻譜函數(shù)為

FS(j)=(1/2)F(j)*S(j)

非理想抽樣信號(hào)的傅立葉變換---矩形脈沖抽樣乘卷理想取樣——沖激取樣

若s(t)是周期為Ts的沖激函數(shù)序列Ts(t),則稱為沖激取樣。如果f(t)是帶限信號(hào)[即f(t)的頻譜只在區(qū)間（-m，m)為有限值，而其余區(qū)間為0。設(shè)f(t)←→F(j)，取樣信號(hào)fS(t)的頻譜函數(shù)FS(j)=(1/2)F(j)*ωSωs(ω)s(t)=Ts(t)←→ωSωs(ω)×=*=上面在畫取樣信號(hào)fS(t)的頻譜時(shí)，設(shè)定ωS≥2ωm

,這時(shí)其頻譜不發(fā)生混疊，因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)，從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復(fù)原信號(hào)f(t)。否則將發(fā)生混疊，而無法恢復(fù)原信號(hào)。二、時(shí)域取樣定理當(dāng)ωS≥2ωm

時(shí)，將取樣信號(hào)通過下面的低通濾波器其截止角頻率ωC取ωm

<ωC<ωS-ωm

。即可恢復(fù)原信號(hào)。由于fs(t)=f(t)s(t)=f(t)為方便，選ωC=0.5ωS,則TsωC/π=1所以根據(jù)f(t)=fS(t)*h(t)，有只要已知各取樣值f(nTs),就出唯一地確定出原信號(hào)f(t)。卷積包絡(luò)相乘時(shí)域取樣定理時(shí)域取樣定理：一個(gè)頻譜在區(qū)間（-m，m)以外為0的帶限信號(hào)f(t),可唯一地由其在均勻間隔Ts[Ts<1/(2fm)]上的樣值點(diǎn)f(nTs)確定。注意：為恢復(fù)原信號(hào)，必須滿足兩個(gè)條件：（1）f(t)必須是帶限信號(hào)；（2）取樣頻率不能太低，必須fs>2fm，或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts<1/(2fm);否則將發(fā)生混疊。通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率，把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。三、頻域抽樣定理若信號(hào)為時(shí)限信號(hào)，它集中在的時(shí)間范圍內(nèi)，若在頻域中，以不大于的頻率間隔對(duì)的頻譜進(jìn)行抽樣，則抽樣后的頻譜可以唯一地表示原信號(hào)。根據(jù)時(shí)域和頻域?qū)ΨQ性，可推出頻域抽樣定理相乘卷積頻域取樣定理抽樣定理小結(jié)時(shí)域?qū)Τ闃拥刃в陬l域?qū)χ貜?fù) 時(shí)域抽樣間隔不大于。頻域?qū)Τ闃拥刃в跁r(shí)域?qū)χ貜?fù) 頻域抽樣間隔不大于。滿足抽樣定理，則不會(huì)產(chǎn)生混疊。4.10序列的傅里葉分析一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）具有周期性的離散時(shí)間信號(hào)可以表示為fN(k),其下標(biāo)N表示其周期為N，即有:對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)，周期信號(hào)fT(t)可以分解為一系列角頻率為nΩ(n=1,±1,±2,···)的虛指數(shù)ejnΩt(其中Ω=2π/T為基波角頻率)之和。類似地，周期為N的序列fN(k)也可展開為許多虛指數(shù)ejnΩk=ejn（2π/N）k（其中Ω=2π/N

為基波數(shù)字角頻率）之和。需要注意的是，這些虛指數(shù)序列滿足即它們也是周期為N的周期序列。因此，周期序列fN(k)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式僅為有限項(xiàng)（N項(xiàng)），若取其第一個(gè)周期n=0,1,2,…,N-1，則fN(k)的展開式可寫為

稱為離散傅里葉系數(shù)。稱為周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)。為書寫方便，令并用DFS[·]表示離散傅里葉系數(shù)（正變換），以IDFS[·]表示離散傅里葉級(jí)數(shù)展開式（逆變換），則有例1：求圖示周期脈沖序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解：取求和范圍為[0,3]離散傅里葉級(jí)數(shù)展開:二、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)類似:周期序列fN(k)在周期N→∞時(shí)將變成非周期序列f(k),FN(n)的譜線間隔(Ω＝2π/N)趨于無窮小，成為連續(xù)譜。

當(dāng)N→∞時(shí)，nΩ＝n(2π/N)趨于連續(xù)變量θ(數(shù)字角頻率,單位為rad)。定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(DiscreteTimeFourierTransform,DTFT)為:

非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換F(ejθ)是θ的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2π。通常它是復(fù)函數(shù)，可表示為：定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉逆變換為:(InverseDiscreteTimeFourierTransform,IDTFT)通常用以下符號(hào)表示對(duì)序列f(k)求離散時(shí)間傅里葉正變換和逆變換:離散時(shí)間傅里葉變換存在的充分條件是f(k)要滿足絕對(duì)可和，即例2：求下列序列的離散時(shí)間傅里葉變換。解：幅頻特性和相頻特性分別為：f2(k)的頻率特性為:4.11離散傅里葉變換及其性質(zhì)離散信號(hào)分析和處理的主要手段是利用計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)；序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)是連續(xù)函數(shù)，而其逆運(yùn)算為積分運(yùn)算，因此，無法直接用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。

離散傅里葉級(jí)數(shù)