轉(zhuǎn)本試卷高數(shù)歷年真題答案

2001年江蘇省普通高校“專轉(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)參考答案 3、 4、 6、7ye3x(Ccos2xCsin2x，其中C、C

80dyyf(xy)dx2dyyf(x

dx

ln

52111111、dy

2xlnx

1221 12x 213x1x0x1是第一類可去間斷點(diǎn)e2e 15、1exdx

e2xex1ex

dx

)

17yetanxdxsecxetanxdxdxCelncosxsecxelncosxdxCxC 00CC0y

cos

cos

cos18、解：原式2siny2dy1ydx1cos 19、解“在原點(diǎn)的切線平行于直線2xy30”f' 2即bf(xx1f10，即3ab0ab fx2x22f(x2x32xcy3

f(x所以c0yf(x2x33

f'12x

'21y

21

2xy

f

12

xfy36

22y

f21（1）2yx10（2）3（3）Vx6，Vy522

f'(x)xf(x)

f'(x)xf(x)

f''(x)xf'(x)f'(x)

f''(x)x1

f

(0)1f(ab)f(b)1a

f'(

(b

ab)f(a)f(0)a

f'(

(b

122fx在(0cfff(0)0122f(a)f(b)f(a24、解：設(shè)每月每套為20010x，則租出設(shè)備的總數(shù)為40x，每月的毛收入為(20010x)(40x)，成本為：20(40x).于是利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)(18010x)(40x) (0xL'(x)0xx0x11x40L(11)L(0)L(40故為

11)310元時(shí)利潤(rùn)最大2002年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)參考答案 12、(

22ex

ln 15、1dx f(x, 、 z

2x2x2y

(x2y219、解：令tx1x2時(shí)t1x0t1所以2fx1dx

20、原式 0

x2y2dx4021yecosx(x23（1）k

221arcsin2x24 1 (1x)x （2）f'(x)

x(1e 0

x22

x2224（1）S

6

dy0dx2（2）V2(x22x4)2x25F(x)1

cosxF(x)F(x)F(x區(qū)間0Fx)2xsinxFx)2cosx2 2x

2Fx)0Fx在

20,arccos 0,arccos F(x)在 2內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增0,arccos 2

2xarccos,2

(x)0F(x在arccos,2 F)0F(x在

2內(nèi)單調(diào)遞增 arccos,2 F(xx0F(0)0F(x在內(nèi)滿足22 22 F(x)0'26（1）設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，平均成本最小，則平均成'C(x)

x

x

200

1x

C(x)0x1000（件（2）設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，企業(yè)可獲最大利潤(rùn)，則最大利xP(x)C(x)x4401 xP(xC(x)'0x1600 此時(shí)利潤(rùn)xP(xC(x)167000（元2003年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)參考答案 2、 3、 5、 7、 8、 9、e2

10、

3

1x2

dx2

f(x,

13lim[(1x2x2

1cos

lime

14dz1sec2xdxxsec2x

151x2lnx1 y

2 2 21612

d 01

d17y

d2t、t

1t19x1f(x)x1f(x)

xx1x

1， x20(1

x2y2)dxdy2d

2

(1r)dr

21（i）切線方程：y4 （iii）VVV4222(4xx2)dx224

22f(x)xex2f(0)20f(1)e20f(x在0,1內(nèi)連續(xù)，f(x在0,1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)f(0fxex(1x在0,1內(nèi)大于f(x在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，所以在0,1內(nèi)猶且僅有一個(gè)實(shí)根.23、解：設(shè)圓柱形底面半徑為r，h，側(cè)面單位面積造價(jià)為l，則 Vr

yr22lr2l2

1 2V由（1）hr2代入（2）yl2r2rr3 3

2V2V3令y'l5rr20，得：r ；此時(shí)圓柱高h(yuǎn)5 3 3 3 3 所以當(dāng)圓柱底面半徑r ，高為 時(shí)造價(jià)最低24fx)

(4

，f''(x)

(4

，f'''(x)

2(4f(n)(x)

(4f(0)1，f'(0)

，f''(0)

，…，f(n)(x)

收斂區(qū)間

f(x)1

x

x2

n

25、解：對(duì)應(yīng)特征方程2230，1、3yCexCe3x，因?yàn)? ybxbyCexCe3xx1 2004年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)參考答案 3、 4、 6、 7、8x1

yz

101arcsin4x4101110

y y 010f(x, f(x,010

12、13間斷點(diǎn)為xk，kZ當(dāng)x0時(shí)，limf(x)

1k0，kZ時(shí)， ，為第二類間斷點(diǎn)

x0sin14、原式

x0sin sin 3x

tanxsin

tanx(1sinx)

x1x2

115、x0y(0)1y'eyxeyy0x0y1y2e2ex ex (x1)e16f(x

，所以f(x) xx2 xx2xf'(2x)dx1xf'(2x)d(2x)1xdf(2x)1xf(2x)1f1xf(2x)

1f(2x)d(2x)

x(2x2

e2

C

x

e2x

dxt

dt

dt2arctantxxxx

t(t2

t2 18zf'f'y 2z f f

xf'y

fx fx21f21

(xy)f

xyf''

sinydxdy1dyysinydx

(1y)sin2y 2yD

01(y1)cosy101

0cosydy1

1 n(x2)20、f(x) 4x 41

x24(1)

，(2x4n 21、證明：令tx0xf(sinx)dx(tf(sin(t)dt0(tf 0f(sinx)dx0xf(sin 0xf(sinx)dx2

f(sinx)dx，證畢 sin

sin

0x1cos2xdx201cos2xdx2arctan(cosx)022、等式兩邊求導(dǎo)的xf(x)2xfx)

fxxf(x)2x

f(0)1，px q2x pdxx，epdx2

2，epdxe2

dx

2dx

2f(x

2

2

2Ce2，由f(0解得C3f(x23e23、設(shè)污水廠建在河岸離甲城x公里處402(50M(402(502(x402(50M2(x402(502

，0x506x506

（公里，唯一駐點(diǎn)，即為所求2005年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)參考答案 3、 4、 5、 6、 7、 8、e

2

f(x,

12、13F(xx0處連續(xù)，所以limF(x)F(0)limF(x)limf(x)2sinxlimf(x)f(0)2

f'(0)2628

F(0a，故a8dydtcostcosttsint

xd2x

(y' 1 t

t

csctt t

sin

sin3tan2xtanxsecxdx(sec2x1)dsecxsec2xdsecxsecx1sec3xsecxC3

11d(1x216xarctanx001x2dx421ln(1x2)

1 1ln z 217xcosxf1

cosx(f122y)2ycos lAB

128(x39y122(z20，即8x9y22z5919f(x)

x(2 22

1)21 2x23

，收斂域?yàn)?x120y'x

n0 yx

1dxex

1 y x

exdxC e因?yàn)閥(1)e，eeC，所以C0，故特解為y x

f(x在(1,1上至少有一實(shí)根22yf(x)f(2)4f2)3f2)0由

0a12y''6x12y''6x12y'3x212xCy2)3，解得C9 yx36x29xCy(2)4，解得C2 yx36x29x2 （2）Vx2(122x)dx(xx2)2 24D為：1yuyx （1）F(u)f(x)d1D

f(x)dy1(x1)f(x)dx（2）F'(u)(u1)f(u)，F(xiàn)'(2)(21)f(2)f(2)2006年江蘇省普通高校“專轉(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)參考答案 3、 4、 6、 7、 8、f(x0

9、1

10、11、exyysinxcos

1x 13、原式lim x11 x2'dy'

1 1t

d2

(dy

1t

t x

dx x

1t

1t15

1lnxd(1lnx)3

3(1lnx)2 2x2dsinx2x2dsinxx2sinx22xsinxdx2xdcos

4

02xcosx20

2cosxdx y '

，令p 則y'pxp'，代入得：xp'p2，分離變量得lnx x lnx1dp 1dx

lnxC，y p2 18g(x)ln(1x)g(0)0gx)

(1)nxndx n0

n故f(x)n

，1x1

124

2i

x2

y3

z21

2z

20y

f2，

2xf2

(f21

f(x)3xx3，x2,2，f'(x)33x20，x1，f(1)2，f(1)2f(22f(22；所以f

2fmax2，故2

f(x2，即3x

222y'2xyy(0)y2x2Cexy(0)0得C2y2x22ex23（1）S2(8x2x2dx4（2）V04

y)2dy84

8y)2 24f(x)dxdy0dx0f(x)dyt0fffg(t)

t ttlimg(t)lim0f(x)dx0g(t的連續(xù)性可知ag(0)limg(t)t

t

t當(dāng)t0gt)

f(t)當(dāng)t0g0)limg(h gt)f(t2007年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)參考答案 3、 4、 5、 6、 7、ln

9、

10、2111dxy

xdyy2

12y5y'6y

exxxtan

exxx2

ex1

limxx0x

1214、解：方程e

e

xyx求導(dǎo)數(shù)得

e

yyxy

y'

ex.eyx0y0

x

1

d2d2

215、解x2exdxx2d(ex)x2ex2xexdxx2ex2xd(exx2ex2xex2exC116xsint，則1

1xx

dx

cos22sin22

dt14

2z

4

'17x2f1yf2'

2(f113f12x)f2y(f213f226f''(2x3y)f''xyf''f 18y'1y2007xy'1y0yCx. yC(x)x.Cx)xC(xC(x)2007x，所以Cx)2007C(x2007xC，故原方程的通解為y2007xC)x.y(12008，所以C1，于是所求特解為y2007x1)x.（本題有多種解法，大家不妨嘗試一下）

2

1(2,1,3)1 故所求平面方程為2(x1y23(x3)0，即2xy3z50

x2y2dxdy2dd2d

2

2d

82cos3d

16 3 21、解（1）V1(1x22dx8

1

(1y2dy (1y2dy.由此得(1a21(1a2.解得a1a

)3422fx)3ax22bxcfx)6ax2bf10f(10f(12a1、b3、cay ax23DyxbDay 2x

2x

2x

2

x2adyyf

dxfD

a

f

dyaf

dxaebf(x)e2x(exea)dxb(e3xe2xa)f(x)dx

xx

，顯然，F(xiàn)(x)

上連續(xù).Fx)

x2x(x

0故F(x)在0,上單調(diào)遞增于是0x1時(shí)，F(xiàn)(xF(10

xlnx x

0

(x21)lnx(x1)2x1F(x)F(1)0，即lnxx1x210，故(x21lnx(x1)2xx0時(shí)，總有(x21lnxx1)22008年江蘇省普通高校“專轉(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)參考答案 2、A3、 5、A6、 7、 8、 910cosx1x2

11、 12、2,2

xx

)3xlim(1

2)3xlim(1

2)x

y2

lim(x2)3xlim(11)y61 cost(t)cost(t)dy

y’(t)

sin

d2

1 x3x15x1dx

x3x1dx

d(xx

dx(x

x1)dxlnx1x3x2xlnx1111 11111ex2dx11ex2dxex2d(x2)2

01ex2x2dxex2de1ex2x2dxex2de2(x21ex2dx2＝2ee2dx22e12e2e2 17AB

AC2,0,5

－2－2

2nABAC

18z

yf21x221

2z

2

y(f’1fx xf＝f''

f''－

f'

f''

f x

x

x

x 19x2dxdy1

x2dy

dxx2 2D

x412x412

dx1xdx

0

x2x220(x)exdxelnx

1x2化簡(jiǎn)原方程xy，2yx2dy2y

2 x

x

d(x2y)

1x

d(x2 等式兩邊積分得到通解 yx2lnxx

x21F(xy)1yx和yF(x

) ，F(xiàn)(x,

)x x

0所以過(guò)曲線上任一點(diǎn)(x

xx0y

x1 x10X＝0時(shí)，yy

y000y＝o時(shí)，xxx200

x0F(xy1

x2yxF(xy的最小值x x0

0 F(x0,y00

xx0140x014

x2(x00x0

x04x0y01

V0

)dx

355（2）a(2x2x2dx1(2x2x2 0aax2dx1x0a.aa31a. 2323g(x)

f(xaf(x，那么g(a)

f(2a)f(a)，g(0)

f(a)fg(a)g(0)0g(x)在0，a上連續(xù).故存在(0，a，使得g(0，即f(

f(a)24、將ex 展開(kāi)得到：ex11x1x2 (1x)ex1x)(11x1x2)11x21x3 2009年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)參考答案 3、 4、 6、 7、ln 8、 3

z2xz

12、lnx

x22lnyy232313、

6x0xsin x01cos14dx

1dt,dy(2t2)dt，dy(2t2)dt2(t1)2d2

1ddx

4(t

11dx

112x2x

t,x

t22

2x1dxsinttdttdcosttcostcosttcostsintC

2x1

2x22x2x

2sinx00x140440x

2sin2

dx4 2cosd4(1cos2)d(

2x 22x

量可取為ns0n0(3,2,1)(1,1,1)

1121.又顯然點(diǎn)(0121故所求平面方程為1(x12)(y11(z20，即x2yz03 23D

yd

2sinddD

2sin24

2d

2(8csc24

sin)1(8cot3

2cos 11

f'cosx

2f'y2

2

2424

2xcosxf2

xyf20(x)exdxelnx

1x2化簡(jiǎn)原方程xy，2yx2dy2y

2 x

x

d(x2y)

1x

d(x2 等式兩邊積分得到通解 yx2lnxx

x21（1）f(xRfx3x23fx0x1f(x增區(qū)間為(1],[1，單調(diào)減區(qū)間為[1,1]f(13f(1（2）fx6xfx0x0yf(x在(0上是凸的，在0)是凹的，點(diǎn)01為拐點(diǎn)（3）由于f(1)3，f(1)1，f(3)19，故函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[23上的最大值為f(319，最小值為f(1f(2

V1

2a2

2a0

x

V2

(2x2)2dy2a2

4(32a5)52 2（2）A 2x2dx a3.A

22x2dx2(8a3A

得a34

23、證（1）因?yàn)閘imf(xlimex1limf(xlim(x11f(01，所以函f(xx0

f(x)fx

exx

1，

f(x)fx

x1x

1f(0 f(01.f'(0f(0f(xx0處不可導(dǎo)24f(x4xlnxx22x3

f'(x)4lnx2x2，f''(x)4242x 1x2時(shí)，fx0fx)在[12上單調(diào)增加，從而當(dāng)1x2fxf(10f(x在[121x2時(shí)，f(xf(10，即當(dāng)1x24xlnxx22x32010年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)參考答案 3、 4、 6、7、

10、2

11dx

12、(1

xtanxx2tan

xtanx

1sec23x

tan23x

13

ex

dy) ， ，

ex1exy

d2

9ex(1exy151x2arctanx1x1arctanx 2xt2xt23

t，x22

，dxtdt原式3 tdt3(t5)dt(1t35t)328

17、n1(1,2,3)，n2(2,0,1)，nn1n2

3(2,7,4)

x1

y17

z

'

3

2 18x

(f1yf2

)；

3y

yf2

f11xy

219xdxdy

xdx2 220r11,r22r2r20p1,q21p(x)1，可設(shè)Q(x)Ax，即設(shè)特解為YAxexY'AexAxexY''2AexAxexp1q2，代入方程ypyqyex(2AAxAAx2A)exex3A1,A1yCexCe2x1 21f(x)ex11x21，fx)ex1x，fx)ex110，fx在(1, f1)0fx)0f(x在(1,f(1)0f(x)0ex11x21 22、limf(x)lim(x)lim(x(0)(0)1

f(0

x(x)1f'(0)

f(x)f

(x)

'(x)1

'(x)'

x

2

x1lim(x)1(0223、V(a)

a[(a2)2(x2)2]dx4a5 V(a)1[(x2)2(a2)2]dx(1a44a5) V(a)V(a)V(a)(1a48a5) Va)8a44a3，令Va)0得a1，最小值為V(1)3 24f(x)edx(2exedxdxC)ex(e2xC)exCexf(0)2,C1，f(x)exex，f'(x)exexf'yf

exeexe

e2x1e2x

e2x1e2x

1

，e2x

te2x1e2

e21eeeA(t)0(1(1e2x))dx021eee

dx 2

d2x012

dt 2 t

2t0e2x1d 1)2t

1)ln2ln

1)ln21

lnlimA(t)

ln2)lnt

1一、選擇題（6424分1、 2、 4、 5、 6、二、填空題（6424分7、 8、22ln

9、 10、1343

12、2三、計(jì)算題（8864分13、原式

(exexx2

2(exex)(exex)

2

exe4x dy

ey1 、

2t (ey1)(2t15、原式

2xsinxx2cosx

dx(2sinxxcosx)dx2cosxxdsin=cosxxsinx2t21 xx

t，則原式

1t2tdt1

2t)dt317AxByCzD0.xAD0；又該平面經(jīng)過(guò)已知直線，所以法向量互相垂直，即3BC0.By3Bz0y3z0.18z1fxfyf0

fyf

x2z

1

(

xf2

1)x1f1y(2

x

x2

x19、原式=4d r2sindr 20f(x)exx1)ex2(x1)ex(3x1)exr23r20，齊次方程的通解為YCexCe2x.yAxB)ex 6Ax5A6B3x4A 6A

1，所以通解為YCexCe2x1x1)ex15A6B

B

四、證明題（2918分21f(xxln(1

2,則

(x)ln(1

1x20f(x單調(diào)遞增又f(0)20,f(2)2ln520，所以由零點(diǎn)定理可知命題得證22f(xx201120102011x,則f(x2011x20102011f(x0x1f(x20112010x2009，所以f(1201120100，因此由判定極值的第二f(10f(10f(xf(x)0，也即原不等式成立五、綜合題（21020分23

eaxx2ax

eaxx2ax

a2eax22

a22

eax

eax

aeaxx0sin

a222

aa1或a2f(01，所以a22a

a222

aa1且a2224（1）f(x2f(x(a1x2dx

2

a1f(x)

x(a

xdxCx2

C)Cx2(af(11，得Ca，即f(xax2aDS1ax2a1)xdxa3 a1f(xx2（2）Vx

1(x22x)2dx81 1

121

1y)