河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)（文）試題（解析版）

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D考點：集合的運算.2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，則（）A．2B．3C．D．【答案】A【解析】試題分析：由題意得，，所以，故選A.考點：復(fù)數(shù)的表示與復(fù)數(shù)的模.3.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個向量，，且平面內(nèi)的任一向量都可以唯一的表示成（為實數(shù)），則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：由題意得，平面內(nèi)的任一向量都可以唯一的表示成（為實數(shù)），則一定不共線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選D.考點：向量的坐標(biāo)運算.4.如圖所示的是計算的值的一個框圖，其中菱形判斷框內(nèi)填入的條件是（）A．B．C．D．【答案】C考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算.5.將函數(shù)的圖像向左平移個單位（），若所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：由題意得，函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位（），得，若使得為偶數(shù)，則,當(dāng)時，，故選A.考點：三角函數(shù)的圖象變換與三角函數(shù)的性質(zhì).6.已知等比數(shù)列中，，則的值為（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解析】試題分析：由題意得，，所以，因為，所以，所以，又，故選B.考點：等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用.7.某書法社團(tuán)有男生30名，女生20名，從中抽取一個5人的樣本，恰好抽到了2名男生和3名女生=1\*GB3①該抽樣一定不是系統(tǒng)抽樣；=2\*GB3②該抽樣可能是隨機(jī)抽樣；=3\*GB3③該抽樣不可能是分層抽樣；=4\*GB3④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中說法正確的為（）A．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③B．=2\*GB3②=3\*GB3③C．=3\*GB3③=4\*GB3④D．=1\*GB3①=4\*GB3④【答案】B考點：抽樣的應(yīng)用.8.已知點在橢圓，點滿足（其中為坐標(biāo)原點，為橢圓的左焦點），則點的軌跡為（）A．圓B．拋物線C．雙曲線D．橢圓【答案】D【解析】試題分析：因為點滿足（其中為坐標(biāo)原點，所以點是的中點，設(shè)，由于為橢圓的左焦點，則，故，由點在橢圓上，則點的軌跡方程為，故選D.考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì).9.已知一個幾何體的三視圖的如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．【答案】B考點：幾何體的三視圖及體積的計算.10.三棱錐中，平面，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：由題意得，平面，，所以平面是三棱錐的外接圓的直徑，因為中，，所以，可得外接球的半徑為，所外接球的表面積為，故選A.考點：球的組合體及球的表面積公式.【方法點晴】本題主要考查了特殊三棱錐中求外接球的表面積，著重考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式，同時考查了推理與運算能力，屬于中檔試題，本題的解答中，根據(jù)題意，證得平面是三棱錐的外接圓的直徑，利用勾股定理幾何體題中數(shù)據(jù)算得球的直徑，得到球的半徑，即可求解球的表面積.11.若函數(shù)，函數(shù)，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點處的切線；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【方法點晴】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點處的切線、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中利用平移切線法求直線和正弦函數(shù)距離的最小值是解決本題的關(guān)鍵，同時著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，本題的解答中根據(jù)平移切線法，求出和直線平行的切線或切點，利用點到直線的距離公式即可求解結(jié)論.12.已知，且，則存在，使得的概率為（）A．B．C．D．【答案】考點：簡單的線性規(guī)劃的應(yīng)用.【方法點晴】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于中檔試題，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，本題的解答中作出不等式組表示的平面區(qū)域，利用輔助角公式將條件進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為，對應(yīng)的圖象是以為圓心，半徑的圓的外部，求出對應(yīng)餓平面區(qū)域的面積即可求得結(jié)論.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每題5分，滿分20分．）13.已知，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】考點：充分不必要條件的應(yīng)用．14.已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】試題分析：由題意得，函數(shù)的值域是，則當(dāng)時，函數(shù)的值域是，顯然成立；當(dāng)時，則，解得或，綜上可知實數(shù)的取值范圍是.考點：函數(shù)的值域及二次函數(shù)的性質(zhì).15.若點是以為焦點的雙曲線上一點，滿足，則，則次雙曲線的離心率為.【答案】考點：雙曲線的定義及簡單的幾何性質(zhì).【方法點晴】本題主要考查了雙曲線的定義及其簡單的幾何性質(zhì)、離心率的求解，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力，解答的關(guān)鍵是抓住要求離心率的定義，利用題設(shè)條件建立的關(guān)系式，即可求解的值，得到雙曲線的離心率，本題的解答中根據(jù)雙曲線的定義和題設(shè)條件，可得，在直角三角形中，利用勾股定理得到的關(guān)系式.16.已知函數(shù)的最大值為3，的圖像與軸的交點坐標(biāo)為，其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則.【答案】【解析】試題分析：因為的最大值為，所以，所以，根據(jù)函數(shù)相鄰兩條對稱軸間的距離為，可得函數(shù)的最小正周期為，即，所以，故函數(shù)的解析式為，所以.考點：二倍角公式；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).【方法點晴】本題主要考查了二倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查分析問題、解答問題的能力和運算能力，屬于中檔試題，本題的解答中，由函數(shù)的最值求出的值，在根據(jù)相鄰兩條對稱軸間的距離，求出函數(shù)的周期，確定的值，根據(jù)特殊點的坐標(biāo)求解的值，確定函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的周期性求解相應(yīng)式子的值.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且首項．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）若為遞增數(shù)列，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.試題解析：（1），，數(shù)列是公比為2，首項為的等比數(shù)列；（2）由（1）得，時，為遞增數(shù)列，時，時，，的取值范圍是.考點：等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用.18．（本小題滿分12分）去底，某商業(yè)集團(tuán)公司根據(jù)相關(guān)評分細(xì)則，對其所屬25家商業(yè)連鎖店進(jìn)行了考核評估.將各連鎖店的評估分?jǐn)?shù)按分成四組，其頻率分布直方圖如下圖所示，集團(tuán)公司依據(jù)評估得分，將這些連鎖店劃分為四個等級，等級評定標(biāo)準(zhǔn)如下表所示.（1）估計該商業(yè)集團(tuán)各連鎖店評估得分的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）從評估分?jǐn)?shù)不小于80分的連鎖店中任選2家介紹營銷經(jīng)驗，求至少選一家等級的概率.【答案】（1），；（2）.（2）等級的頻數(shù)為，記這兩家分別為等級的頻數(shù)為，記這四家分別為，從這6家連鎖店中任選2家，共有，共有15種選法.其中至少選1家等級的選法有共9種，則，故至少選一家等級的概率為.考點：頻率直方圖、眾數(shù)與平均數(shù)的計算；古典概型及其概率的計算.19.（本小題滿分12分）如圖，在斜三棱柱，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，.（1）求證：；（2）若，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.試題解析：（1）連接則和皆為正三角形.取中點，連接則則平面，則；由（1）知，，又，所以，又，所以平面則故.考點：直線與平面垂直的判定與證明；幾何體的體積的計算.20.（本小題滿分12分）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，焦點；橢圓以和為焦點，離心率.設(shè)是與的一個交點.（1）橢圓的方程；（2）直線過的右焦點，交于兩點，且等于的周長，求的方程.【答案】（1）；（2）或.試題解析：（1）由題得，是橢圓的兩焦點，故半焦距為1，再由離心率為知，長半軸長為2，從而的方程為；考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)；直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用.【方法點晴】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用，解題是要認(rèn)真審題，注意橢圓的弦長公式的合理運用，著重考查了推理與運算能力和分類討論思想的應(yīng)用，本題的解答中，利用的周長為，得出弦長，可設(shè)的方程為與的方程聯(lián)立，由此利用弦長公式，即可求解直線的方程.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖像在點（為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3.（1）求實數(shù)的值；（2）若對任意成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，證明：.【答案】（1）；（2）；3）.【解析】試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，由切線的斜率為，解方程，即可得到；（2）對任意成立，得對任意成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，運用導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，得到最大值，令不小于最大值即可；（3）令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性，即得是上的增函數(shù)，由，則，化簡整理，即可得證.試題解析：（1）又的圖像在點處的切線的斜率為3，，即（3）令，則由（2）知，在區(qū)間上增函數(shù)，，即，即，，.考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用和不等式的證明.【方法點晴】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，同時考查了與函數(shù)有關(guān)的不等式的證明，運用構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性證明，試題有一定的難度屬于難題，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法和構(gòu)造思想的應(yīng)用，對于此類問題平時要注意總結(jié)和積累.請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.解答時請寫清題號.22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，已知圓是的外接圓，是邊上的高，是圓的直徑.（1）求證：；（2）過點作圓的切線交的延長線于點，若，求的長.【答案】（1）證明見解析；（2）.（2）因為為圓的切線，所以又，從而解得因為，所以，所以，即.考點：圓的性質(zhì)及與圓相關(guān)的比例線段.23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，為極點，點.（1）求經(jīng)過點的圓的極坐標(biāo)方程；（2）以極點為坐標(biāo)原點，極軸為的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)，為半徑），若圓與圓相切，求半徑的值.【答案】（1