復(fù)變函數(shù)第三章習(xí)題答案

9復(fù)變函數(shù)第三章習(xí)題答案第三章柯西定理柯西積分掌握內(nèi)容：1.柯西積分定理：若函數(shù)在圍線C之內(nèi)是處處解析的，則。2.柯西積分定理的推廣：若函數(shù)在圍線C之內(nèi)的點(diǎn)不解析，則，其中是分別以為圓點(diǎn)，以充分小的為半徑的圓。3.若在圍線C之內(nèi)存在不解析點(diǎn)，復(fù)變函數(shù)沿圍線積分怎么求呢？——運(yùn)用柯西積分公式?？挛鞣e分公式：若函數(shù)在圍線C之內(nèi)，函數(shù)在圍線C之內(nèi)是處處解析的，則4.柯西積分公式的高階求導(dǎo)公式：若函數(shù)在圍線C之內(nèi)，函數(shù)在圍線C之內(nèi)是處處解析的，則習(xí)題：1.計(jì)算積分積分路徑是直線段。解：令，則積分路徑如圖所示：在積分路徑上：，所以2.計(jì)算積分。積分路徑分別是：（1）直線段，（2）右半單位圓，（3）左半單位圓。解：（1）令，則，在積分路徑上，，所以（2）令，在積分路徑上：（3）令，在積分路徑上：5.不用計(jì)算，證明下列分之值為零，其中為單位圓。（1），（2），（3），解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在單位圓所圍的區(qū)域內(nèi)解析，所以。（2）因?yàn)楹瘮?shù)在單位圓內(nèi)解析，所以。（3）因?yàn)楹瘮?shù)的不解析點(diǎn)不包含在單位圍線之內(nèi)，所以由柯西積分定理有：6.計(jì)算，，，。解：（1）由柯西積分公式：，其中，在圍線內(nèi)。，所以（2）被積函數(shù)在復(fù)平面上不是解析函數(shù)，所以不能用柯西積分定理和柯西積分公式，其積分值與積分路徑有關(guān)。根據(jù)積分路徑，令，則（3）被積變量為，根據(jù)積分路徑，令，則：（4）根據(jù)積分路徑，令，7.由積分之值，證明，其中C取單位圓。證明：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)在積分圍道外，故，現(xiàn)令，則在上，，比較可得：8.計(jì)算：（1）。解：。10.設(shè)表圓周，，求。解：設(shè)，它在復(fù)平面內(nèi)解析，故當(dāng)時(shí)，則由柯西積分公式有：所以。11.求積分從而證明：。解：由于，函數(shù)在處不解析令則故所以即13.設(shè)，利用本章例5驗(yàn)證柯西積分公式以及柯西求導(dǎo)公式提示：把寫(xiě)成。證明：設(shè)，則式的右邊為可寫(xiě)為：由柯西積分定理有：所以右邊即左邊=右邊。再由式子可知當(dāng)時(shí)成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立。則當(dāng)時(shí)成立。所以14.求積分（1），（2），其中解：（1）被積函數(shù)有奇點(diǎn)，該奇點(diǎn)在積分圍道內(nèi)，由柯西積分求導(dǎo)公式有：（2）先用柯西積分