高數(shù)一 8-4 曲面及其方程

二、曲面方程的概念三、旋轉(zhuǎn)曲面四、柱面曲面及其方程上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁五、二次曲面一、常見曲面舉例到定點的距離為定值的動點的軌跡.

球面一、常見曲面舉例橢球面由球面伸縮形變而得的曲面.稱定點為球心,定值距離為半徑.

環(huán)面一圓周繞其所在平面上位于圓外的一直線旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面.兩斜交直線中的一直線繞另一直線旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面.

圓錐面一、常見曲面舉例水平面上的圓周沿豎直方向平移而成的曲面.

圓柱面一、常見曲面舉例拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面.

旋轉(zhuǎn)拋物面

馬鞍面拋物線L與l開口一上一下,它們所在的平面相互垂直,使l的頂點在L上滑動,平移l

而得的曲面.

例1

設(shè)S為球心在點M0(x0,y0,z0),半徑為R的球面,則S上任一點M(x,y,z)

的坐標(biāo)滿足如下方程:

(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2.(1)

不在S

上的點的坐標(biāo)都不滿足方程(1).

球面

S

上的點的坐標(biāo)一定滿足方程(1),

稱方程(1)為球面S的方程,

稱球面S為方程(1)的圖形.二、曲面方程的概念二、曲面方程的概念那么,方程F(x,y,z)0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)0的圖形.

(1)曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)0;

(2)不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)0,曲面方程的定義如果曲面S與三元方程

F(x,y,z)0有下述關(guān)系:

(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,建立這曲面的方程;

(2)已知坐標(biāo)x、y和z間的一個方程時,研究這方程所表示的曲面的形狀.研究曲面的兩個基本問題通過配方,原方程可以改寫成

(x1)2(y2)2z25.

例2

方程x2y2z22x4y0表示怎樣的曲面？

解三、旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.設(shè)yOz平面上有一曲線C,

它的方程為f(y,

z)0.

曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)曲面.

這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.設(shè)M(x,

y,

z)為曲面上任一點,

它是曲線C上點M1(0,y1,z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的.

因此有如下關(guān)系等式

例3

試建立頂點在坐標(biāo)原點O,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面的方程.

解

在坐標(biāo)面yOz內(nèi),與z軸夾角為的zycot,或

z2a2(x2y2),這就是所求的圓錐面的方程,其中acot

.曲線f(y,

z)0繞z軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

直線的方程為提問:曲線f(y,

z)0繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是什么?繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程分別為

解

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

例4在xOy

面上,x2y2R2表示圓C.

例5

方程x2y2R2表示怎樣的曲面？

解

在圓C上任取一點M,過此點作平行于z軸的直線l,

當(dāng)點M

沿圓C移動時,

直線l(沿圓C)平移而得一曲面S.

S為一圓柱面,

圓C叫做它的準線,平行于z軸的直線l叫做它的母線.

點P(x,y,z)滿足方程x2y2R2,

等價于點M(x,y,0)在圓C

上,點P在母線l

上.

在空間,x2y2R2表示圓柱面.四、柱面也即

平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面,定曲線C叫做柱面的準線,動直線L叫做柱面的母線.柱面

上面我們看到,不含z的方程x2y2R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面,它的母線平行于z軸,它的準線是xOy面上的圓x2y2R2.一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)0,在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面,其準線是xOy面上的曲線C:F(x,y)0.方程y22x表示母線平行于z軸的柱面,它的準線是xOy面上的拋物線y22x,該柱面叫做拋物柱面.方程xy0表示母線平行于z軸的柱面,其準線是xOy面上的直線xy0,所以它是過z軸的平面.柱面舉例方程z2-x21表示母線平行于y軸的柱面,它的準線是zOx面上的雙曲線z2-x21,該柱面叫做雙曲柱面.方程y2+2z21表示母線平行于x軸的柱面,其準線是yOz面上的橢圓y2+2z21,該柱面叫做橢圓柱面.柱面舉例研究曲面的一種方法——伸縮變形法設(shè)S是一個曲面其方程為F(x

y

z)0

S是將曲面S沿x軸方向伸縮倍所得的曲面

顯然若(x

y

z)S

則(x

y

z)S

這就是曲面S的方程因此對于任意的(x

y

z)S

有五、二次曲面五、二次曲面1.橢圓錐面

橢圓錐面的形成截痕

坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截得到的交線.

討論

圓錐面的截痕有哪幾種曲線?2.橢球面得旋轉(zhuǎn)橢球面得橢球面

橢球面的形成3.單葉雙曲面

單葉雙曲面的形成得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面得單葉雙曲面4.雙葉雙曲面

雙葉雙曲面的形成繞x軸旋轉(zhuǎn),得雙葉雙曲面得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面5.橢圓拋物面

橢圓拋物面的形成得旋轉(zhuǎn)拋物面得橢圓拋物面雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線截痕分析

6.雙曲拋物面與平面xt的截痕為該平面上的拋物線當(dāng)t變化時

lt

的形狀不變位置只作平移而lt

的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面與平面xt的截痕為該平面上的拋物線當(dāng)t變化時

lt

的形狀不變位置只作平移而lt

的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線截痕分析

雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面與平面xt的截痕為該平面上的拋物線當(dāng)t變化時

lt

的形狀不變位置只作平移而lt

的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線截痕分析

雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面與平面xt的截痕為該平面上的拋物線當(dāng)t變化時

lt

的形狀不變位置只作平移而lt

的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線截痕分析

雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面與平面xt的截痕為該平面上的拋物線當(dāng)t變化時

lt

的形狀不變位置只作平移而lt

的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線截痕分析

雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋