哈爾濱某大學結構力學I一二

五、實用計算方法能量法求基本頻率迭代法求頻率、振型結論與討論由前兩章的分析可以看到，頻率、振型是動力系統(tǒng)的重要動力特性，特別是對線性系統(tǒng)用振型分解法作多自由度分析時，必須事先求出頻率、振型。作為數(shù)學的特征值問題，可以有很多方法求全部特征值和部分特征值。對于本科初學者，由于一般結構分析只需要很少的前幾個振型即可獲得足夠的精度，因此，本章僅介紹兩種求頻率振型的實用方法。由于工程結構和各種構筑物的的阻尼比很小，從單自由度d=(1-2)1/2可見d。因此頻率振型分析都對無阻尼自由振動問題來進行。5.1能量法求基本頻率5.1.1單自由度求頻率單自由度無阻尼自由振動解答為Asin(t+)，當t+=n時位移等于零，因此勢能為零，速度為A，動能為m(A)2/2。當t+=(n+1)/2時，速度為零、動能等于零，位移為A，勢能為kA2/2。由無阻尼、能量守恒可得Tmax=m(A)2/2=kA2/2=EP,max設=1時最大動能為Tmax，由此即可得=(EP,max/Tmax)1/2(1)5.1能量法求基本頻率5.1.2多自由度求基本頻率由振型正交性進行振型分解可知，第i振型的頻率可由對應的廣義剛度和廣義質(zhì)量按單自由度求的。但真要如此來求，必須事先求得振型。這顯然是不可能的。但是，根據(jù)化無限自由度為有限自由度的廣義坐標法思想，如果能夠假設出滿足位移約束條件的位移形式{A}i作為第i振型近似解。則令Mi*={A}iT[M]{A}i(2)Ki*={A}iT[K]{A}i(3)可得第i振型的頻率i2=Ki*/Mi*(4)此結果的近似程度完全取決于假設的振型，因此一般只用它求基頻的上界。如取自重沿運動方向作用的變形曲線作假設振型，一般能得到很高精度的基頻。5.1能量法求基本頻率5.1.3多自由度求基本頻率的步驟1）確定系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度矩陣。2）沿運動方向作用自重，按靜力問題求運動方向的位移。3）由上述位移結果按自由度順序排成列陣，并進行規(guī)格化（最大元素為1）得{A}1近似解。4）用下列公式求廣義質(zhì)量、廣義剛度M1*={A}1T[M]{A}1(2)K1*={A}1T[K]{A}1

(3)5）求第一振型的頻率12=K1*/M1*(4)

如果系統(tǒng)是無限自由度的，應如何求它的基頻近似值？請大家考慮。5.2迭代法求頻率、振型下面介紹一種通過迭代求前幾階頻率振型的方法。5.2.1迭代法求基本頻率、第一振型多自由度振型方程為([K]-2[M]){A}={0}或1/2{A}=[K]-1[M]{A}(5)記動力矩陣[D]=[K]-1[M](6)=1/2(7)則振型方程改為{A}=[D]{A}(8)由式(8)出發(fā)進行迭代，即可獲得系統(tǒng)的基頻和第一振型。迭代公式為{A}n+1=[D]{A}n(9)5.2.2迭代法求基本頻率、第一振型的步驟1）確定系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度矩陣。5.2迭代法求頻率、振型2）計算動力矩陣[D]=[K]-1[M](6)3）任意假設一個初始迭代向量{A}0。4）按式

{A}n+1=[D]{A}n(10)由“初始向量”求“迭代向量”。5）將{A}n+1個元素除以{A}n+1中最大元素值an+1,max進行規(guī)格化。6）以規(guī)格化后的向量作為新的“初始向量”再求“迭代向量”。重復這個過程直到相鄰兩次結果達到精度要求為止，規(guī)格化向量即為振型。7）用12=Ai,n/Ai,n+1(i=1,2,…)(11)求頻率。5.2迭代法求頻率、振型5.2.3任意初始向量均收斂于第一振型的證明設{A}0=ai{X}i[{X}i為振型向量](12){A}1=[D]{A}0=ai[D]{X}i=aii{X}i(a)n次迭代后{A}0=aiin{X}i(b)上式除以1n=(1/12)n,由于1是最低頻率,因此1是最大值,所以當n足夠大時=(i/1)n趨于零.也即{A}0a11n{X}1

(13)這就證明了不管初始向量如何假設，只要經(jīng)過足夠次的迭代，總是收斂到第一振型。從證明也可看到，在求解過程中出現(xiàn)計算錯誤也沒關系，無非增加一些迭代次數(shù)。5.2迭代法求頻率、振型5.2.4求高階振型和頻率從{A}0=aiin{X}i(b)可以看到，如果a1=0（初始向量不包含第一振型時）像上小節(jié)證明，迭代將收斂于第二振型。如果a1=0、a2=0，則將收斂于第三振型，其余可類推。教材上利用振型正交性具體推導了濾去低階振型的過濾矩陣求法，限于學時，這里不再細說，僅給出過濾矩陣和動力矩陣的一般公式過濾矩陣[Sj]=[Sj-1]-{Aj}{Aj}T[M](14)動力矩陣[Dj+1]=[D][Sj](15)利用改造后的動力矩陣，進行迭代即可得到高階頻率和振型。Vibra程序中包含這種解法。5.3結論與討論頻率、振型是重要的動力特性，可用能量法通過假設第一振型求第一頻率。以自重下位移作近似振型可得較好結果。能量法求得的頻率是實際頻率的上限。在能建立整體滿足位移邊界條件試函數(shù)情況下，可利用里茲法，由試函數(shù)線性組合作為動位移幅值，從而將系統(tǒng)化成有限個自由度的振動問題（這實際上就是廣義坐標法），求解自由度等于組合系數(shù)個數(shù)n的多自由度特征對，即可得到系統(tǒng)的n個頻率和振型近似值，這稱為里茲能量法。一般用它分析無限自由度問題。迭代法是一種求少量幾個特征對的有效方法。它有5.3結論與討論可求指定精度頻率、振型，求解過程能自動修正的優(yōu)點。但要求高階振型、頻率必須先求其前各階振型，通過濾去低階振型的辦法修正動力矩陣，一般只用它求前3~8階振型和頻率。求更高頻率時很不經(jīng)濟。將里茲法思想和迭代法思想相結合，產(chǎn)生了一種稱作“子空間迭代法”，它是目前結構分析求特征值的常用方法，有余力的同學可參考內(nèi)容更多的動力學教材或?qū)ＶＴ诘^程中可通過數(shù)學處理（思路是將剛度矩陣減去某待求頻率預估值平方乘質(zhì)量矩陣作為修正剛度矩陣）來加快迭代收斂速度，詳細內(nèi)容可看參考書。。六、隨機振動初步有關的數(shù)學基礎單自由度體系的隨機反應分析幾點結論緒論中介紹動荷載時已指出，脈動風、地震地面運動等等動荷載是非確定性荷載，在事件未發(fā)生前荷載的大小、規(guī)律是不可預知的，因此對這樣荷載激勵下的反應分析就無法用前面介紹的方法，而要用隨機振動理論來分析。大家在工程數(shù)學“概率論”里已學習隨機變量的概率統(tǒng)計分析方法。本章在此基礎上加以引伸，簡單介紹隨機過程有關知識等，但它不是目的，它僅作為進一步介紹單自由度隨機反應分析的必要準備。隨機振動理論是結構動力學的一個分支，內(nèi)容非常豐富，本章只作最基本概念的介紹，為進一步學習打一基礎。想進一步學習的可參閱各種《隨機振動》教材和專著。6.1有關的數(shù)學基礎包括6.1.1隨機過程6.1.2隨機過程的分布函數(shù)6.1.3隨機過程的數(shù)字特征6.1.4隨機過程按統(tǒng)計特征分類6.1.5平穩(wěn)隨機過程的時域特性6.1.6各態(tài)歷經(jīng)性簡單說明6.1.7Fourier分析的回顧6.1.8平穩(wěn)隨機過程的譜密度6.1.1隨機過程若連續(xù)隨機變量不僅是隨機事件的函數(shù)，同時還是時間t的函數(shù)，則稱此隨機函數(shù)X(,t)為隨機過程。簡記為X(t)。6.1.2隨機過程的分布函數(shù)定義F(x,t)=P(X(t)<x)tT為隨機過程X(t)的一維分布函數(shù)。二維、n維分布函數(shù)補充講義上有定義，這里從略.隨機過程X(,t)的任一次觀察，稱作樣本函數(shù)，記作x(t)。以后大寫字母為過程，小寫為樣本。6.1.3隨機過程的數(shù)字特征當f[X(t)]=Xk(t)時，稱作隨機過程的k階矩,記為mk(t).其中一階矩為均值，二階矩為均方值。1）隨機過程X(t)的數(shù)學期望可用下式定義2）相關函數(shù)2-1）互相關函數(shù)兩隨機過程X(t)和Y(t)可用聯(lián)合概率密度函數(shù)以下式定義互相關函數(shù)2-2）自相關函數(shù)當X(t2)=Y(t2)時,上式結果稱相關函數(shù),記作RX(t1,t2).(1)(2)概率密度函數(shù)6.1.3隨機過程的數(shù)字特征由上式定義的函數(shù)稱為互協(xié)方差函數(shù).當X(t2)=Y(t2)時稱為協(xié)方差函數(shù),記作CX(t1,t2).當t1=t2=t時的協(xié)方差稱作方差,記作X2(t).而X(t)稱為均方差.在概率論中已經(jīng)知道,均值、方差、均方差等是隨機變量的重要統(tǒng)計特征。它們也是隨機過程的重要數(shù)字特征。3）方差函數(shù)補充講義里還介紹了相關系數(shù)、協(xié)方差的性質(zhì)等，請大家自行看一下。(P.2~3)(3)6.1.4隨機過程按統(tǒng)計特征分類如果隨機過程X(t)的均值為常數(shù)，且相關函數(shù)只與時間差=t2-t1有關，則稱此過程為弱平穩(wěn)隨機過程。若隨機過程X(t)的任意階分布函數(shù)當時間參數(shù)平移時都保持不變，則稱此過程為強平穩(wěn)隨機過程。一般只討論弱平穩(wěn)隨機過程。補充講義里還介紹了五點特征，其主要的特征可用下圖示意。(P.3~4)6.1.5隨機過程的時域特征6.雖1.仍6各態(tài)歷供經(jīng)性簡控單說明如果鎮(zhèn)樣本束總體短中各活種狀損態(tài)在賭一個厭樣本琴中都梅有反屈映，樹從而惕使隨爽機過恭程X(t)的數(shù)字撈特征可知以通過驢分析它涂的一個疲樣本函雙數(shù)來得鴉到，稱刻此過程宅是各態(tài)移歷經(jīng)喝的或稱遍歷漿的。如果X(t)是各態(tài)贏歷經(jīng)的轟，它一述定是平琴穩(wěn)的。勝但平穩(wěn)閱的隨機匪過程X(t)并不棵一定蘭是各國態(tài)歷壩經(jīng)的睡，其踢樣本燃的數(shù)斧字特松征可羽能是炕取決段于樣痕本的洋。6.1粗.7Fo禽ur份ie挪r分析姑的回床顧任意故周期價為T的函訪數(shù)X(t)均可展殲成Fo黎ur蔥ie從r級數(shù)(4)式中i=2i/T6.鋼1.姓7Fo犧ur棄ie背r分析的匙回顧當滿岡足下詳式條伍件(5)且T趨于無停窮時(6)(7)式(7思)中A()、B()為6.1俱.7Fou設rie諸r分析鼠的回欲顧式(8堂)稱為Fou考rie刊r變換濁分量,式(7)稱為Fo偶ur蹲ie病r積分.當(8膽)定義荒下式秋積分胡稱為X(t)的Fou養(yǎng)rie申r變換(6)(9)經(jīng)推梨導式(7莖)的復搏數(shù)形皮式為6.閘1.絲式7Fou昂rie山r分析的工回顧式(10尚)稱為Fo非ur頃ie步r逆變淋換.式(9委)和式(10垃)統(tǒng)稱懇為Fou顛rie海r變換對.(10顫)設X(t)是零均壁值平穩(wěn)腥隨機過末程（非者零均值議可轉換傾變成零出均值）時，其相須關函數(shù)里為RX()，則定頃義(1耐1)6.1引.8平穩(wěn)隨弱機過程濾的譜密正度為隨機全過程X(t)的譜密擇度(也稱功率譜曾密度).由Fou舊rie訓r逆變換可得6.健1.憤8平穩(wěn)隨拉機過程朵的譜密辛度又由奇于SX()是實的衛(wèi)非負偶旅函數(shù)，竹因此可堤證(1木2)若記GX()如下式斷，并稱鉗為單邊譜艱密度(1置4)則RX()改稱哭為雙邊撐譜密脊度。(13詳)SX()、GX()的示極意圖丙如下洲所示補充講所義上還桌介紹了互譜田密度,請大家章自己看訓書.在隨機田振動分柴析中,X(t)是位移役反應的破話,還需要龜考慮速喉度和加別速度反付應.他們儉是位澆移的贏導出確函數(shù),他們的禽譜密度播和位移湖譜密度可間有如卵下關系6.苗1.骨8平穩(wěn)臘隨機狀過程滑的譜態(tài)密度講義上努還介紹先了譜矩間和帶寬朗因子,根據(jù)帶澤寬因子帶大小可按將隨機誕過程分虎為窄帶幟、寬帶禮和白噪冠聲過程茫。其單邊怪譜密度秒、相關秋函數(shù)和皇樣本函牧數(shù)示意玩圖如下堂所示(1兇5)(1劉6)6.贊1.費8平穩(wěn)黃隨機伏過程取的譜亭密度窄帶過程示意圖寬帶過程示意圖白噪聲過程示意圖6.扭2單自由壤度體系標的隨機飛反應分翅析有了上廚述數(shù)學鋸基礎，夫就可以蛛從統(tǒng)計法角度來晴把握隨紋機動荷賞載作用煙下的結阿構反應刃情況。首作為本宣科初學留，這里僚僅僅介身紹單自懇由度隨哄機反應付，為大武家進一膜步深入贊學習打比個基礎羊。首先際介紹確掉定性分啊析方法鎮(zhèn)。6.喉2.怕1確定性泄反應的棍分析方瞎法1）時燃域分浴析法這是翁一種婆在時從間域秋內(nèi)求漲反應廳規(guī)律砌的分確析方榆法。爽其前絹提是倍線性狗系統(tǒng)憶，出物發(fā)點義是Duh絞ame市l(wèi)積分方，零史初始穗條件還下脈響籍函數(shù)(17觀)6.2單自柄由度篩體系嘉的隨曬機反疑應分鄙析2）頻域煌分析法界這示是一種挎在頻率要域內(nèi)通百過積分冠求反應梳規(guī)律的謠分析方組法。當靜旦止系無統(tǒng)受蹤蝶復簡蜜諧荷竹載feit作用時句，其復到反應為頻響函菊數(shù)對任意冒荷載情邪況，利寧用Fou觀rie忍r變換(18均)(19)體系的反應為6.鐘2單自踐由度扎體系庭的隨語機反舉應分奧析3）脈永響函剝數(shù)和蹤蝶頻響緩函數(shù)升間的銳關系由于椒靜止憂系統(tǒng)腰受單鬼位脈候沖(t)作用時奪，其Fou售rie協(xié)r變換核為由式(19蘭)可得件單位裂脈沖滿的脈奴響函驢數(shù)為(20挖)(2淘1a)對照Fo段ur穴ie全r變換濕對間減的關站系可堤得對與應頻梨響函映數(shù)為(2兄1b)由式(2保1)可見脈維響函數(shù)全和頻響哲函數(shù)間慮是差一葵常數(shù)的Fou戀rie晝r變換矩對.6.估2單自由丹度體系弱的隨機耗反應分倚析6.2渴.2平穩(wěn)隨集機干擾蹦下的反五應分析1）時飄域法栽這是屆一種顧在時橡間域貼內(nèi)由開相關襲函數(shù)RX()為基艷礎,通過匹積分咱來分瀉析的毒方法筒。在隨威機荷至載FS(t)作用下,單自由刑度的隨堡機響應君為(22夠)1-1妥)反應的出均值由于眠干擾斃時平侄穩(wěn)的,因此,當t時6.狗2單自嘩由度論體系絞的隨喉機反犁應分顛析1-2懶)反應蒙的相丙關函嘉數(shù)由此量可見,平穩(wěn)教干擾夢的反屢應是頑非平妄穩(wěn)的.(24)1-3仿)反應的謝協(xié)方差1-濟4)反應部的方質(zhì)差函目數(shù)(25)(26)6.2單自由壤度體系稍的隨機淺反應分斷析6.哈2.廈2平穩(wěn)隨拋機干擾棗下的反咽應分析2）頻域硬法沖這至是一種默在頻率決域內(nèi)由哀譜密度SF()為基有礎,通過肉積分劑來分連析的戲方法巨。設隨機魂荷載FS(t)是零均們值的,則其相蘋關函數(shù)工為(2戀7)記則(28傍)6.2單自讓由度跌體系牛的隨還機反矩應分蚊析經(jīng)數(shù)喝學推鉆導可傘得(2四9)這說明進平穩(wěn)干圈擾的反衛(wèi)應雖然留是非平鈔穩(wěn)的,但足夠驢長時間顏后反應濃將趨于爆平穩(wěn).從非慮平穩(wěn)省到平搖穩(wěn)的菜時間鞏長短澆，取烘決于楚結構腰的阻宜尼和財頻率嬸，也貝即取已決于四體系樹的動豈力特顏性。對平久穩(wěn)反把應階拉段(趨于平核穩(wěn)后),可推雪得1)平穩(wěn)位移反應X(t)和速度反應在同一時刻是不相關的。2)由頻浩響函帽數(shù)[式(1泊8)甘]可得(30)其示平意圖現(xiàn)如下6.陣2單自乒由度論體系玩的隨毀機反挪應分損析6.2意.3平穩(wěn)斧隨機港反應蜂的特料征3)當荷載是寬帶過程時，有寬帶形式，是緩慢變化的光滑函數(shù)。示意圖如下由于結構阻尼很小，一般為(0.02~0.05)，從的范圍很小，根據(jù)從曲線可見，這一范圍內(nèi)將被放大，導致反應的譜密度具有上右圖窄帶形式。這表示小阻尼的單自由度體系相當于一個窄帶濾波形6.2單自由閉度體系見的隨機精反應分翼析4)當固媽有頻燃率落圖在荷士載譜挽密度結有較司大值聯(lián)的范鋸圍內(nèi)涼時，最結構充將產(chǎn)逢生很塑大的棄反應懂，類筆似于蛙確定勝性分螞析的叉共振嶄。而驚當落坦在譜葵密度披較小桶的頻粗率范洗圍時蘆，結僚構反歪應就慣要小豎得多弟，和倒確定扶性分吃析一雖樣，著這就膠是進翁行結央構設雜計的譽根據(jù)煤。5)因為只有附近一很小頻率范圍內(nèi)的荷載成份起作用，因此在計算反應的二階矩時，可以近似以譜強度為的白噪聲過程代替實際寬帶荷載，使分析得以極大簡化。這樣非處理構后,反應的容相關函虜數(shù)為(31)6.呀2單自由桶度體系為的隨機離反應分翅析6.被2.蹲4白噪聲圓荷載下新的反應1)平穩(wěn)反項應相關函才數(shù)為平穩(wěn)速坊度反應慢的相算關函數(shù)病為白噪聲荷載均值為零，,,則可分如下三種情況來分析結構的反應。(32)方差為(33)(34)6.和2單自由陷度體系泥的隨機茫反應分督析平穩(wěn)取速度粒反應席的方賠差為非平穩(wěn)第反應階彼段的相慚關函數(shù)祖為平穩(wěn)煌位移蓮和平路穩(wěn)速沉度的隨互相站關函住數(shù)為(36)(35)由式(35)可見,同一時刻(=0)和互不相關。2)非平穩(wěn)恥反應(37)平穩(wěn)反哨應相關滅函數(shù)6.課2單自由慘度體系童的隨機塞反應分寄析非平穩(wěn)嫩情況下陳，速度憐的相關條函數(shù)及樸位移和姥速度的晶互相關震函數(shù)為由式(38思)可的暖速度及的方晝差為平穩(wěn)速變度反應膠相關函幻玉數(shù)(38)(39)(40)6.2單自由何度體系繞的隨機董反應分戲析在非平覽穩(wěn)狀態(tài)斜下位移拾和速度蹲在同一礙時刻的匆相關函捕數(shù)為可見沈它們積是相癥關的禁，但掘相關較程度及是隨綢時間折衰減揚的。(41)3)從非畢平穩(wěn)伴到平牙穩(wěn)的擺過渡式(2盞9)已指出況，平穩(wěn)冰隨機荷嚷載下體鋤系的反甚應是隨閱時間逐導漸從非衛(wèi)平穩(wěn)逐貴漸過渡妙到平穩(wěn)染的，不仆同阻尼尖情況下專的反應努方差隨蠟時間變股化的曲柴線可由賽式(4軍0)作出象，6.援2單自由曾度體系抓的隨機舅反應分閑析6.者3幾點守結論由圖塵可看