數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末重點(diǎn)知識(shí)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末重點(diǎn)知識(shí)

期末考試重點(diǎn)

目錄

5.3統(tǒng)計(jì)量及其分布..........................................................1

5.4三大抽樣分布............................................................2

內(nèi)容概要.................................................................2

§6.1點(diǎn)估計(jì)的幾種方式.......................................................6

§6.2點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).....................................................11

內(nèi)容概要...............................................................11

§7.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想....................................................19

內(nèi)容概要...............................................................19

§正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)......................................................26

5.3統(tǒng)計(jì)量及其分布

樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本方差有兩個(gè)，樣本方差5*2與樣本無(wú)偏方差6*2

1〃-1.-

53少5八力少5。

實(shí)際中常用的是無(wú)偏樣本方差這是因?yàn)椋寒?dāng)CT?為總體方差時(shí)，總有

E(5*2)=-~~-a2,E(s2)=(T2.

n

52的計(jì)算有如下三個(gè)公式可供選用:

(Z蒼)2

號(hào)導(dǎo)2一J-

n

在分組樣本場(chǎng)合,樣本方差的近似計(jì)算公式為

旌士加(―六三岑加一詞

1.從指數(shù)總體exp(l/。)中抽取了40個(gè)樣品，試求方的漸進(jìn)分布Md,給

2.設(shè)王，…光25是從均勻分布U(0,5)抽取的樣本,試求樣本均值亍的漸進(jìn)分布N

3.設(shè)X],…，X20是從二點(diǎn)分布b(l,p)抽取得樣本，試求樣本均值亍的漸近線分布

4.設(shè)石,…,百6是來(lái)自N(8,4)的樣本，試求下列概率⑴P(x(16)>10)；(2)P(x(1)>5).

10

解：(1)P(x(16)>10)=1-P(x(16)<10)=l-(P(x,<IO))

1-0.8413'6=0.9370,

、16

5-86

(2)P(/)〉5)=(P(x〉5))[O(1.5)]'=0.3308.

27

5.4三大抽樣分布

內(nèi)容概要

1.三大抽樣分布：尤分步，F(xiàn)分布，t分布

設(shè)X1,X2,…,Xn和yi,y2,-,yn是來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本，則此三個(gè)統(tǒng)計(jì)量

的構(gòu)造及其抽樣分布人方3下表所示

抽樣分布密度a數(shù)墟

*=,+￥+…+*P（y）=「（?ye4刈n2n

1=（才+￡+■??+%）/加n/小2H2（加+〃-2）

及）=*管嚴(yán)產(chǎn)（1+力廣Z,刈一^（”>2）

（片+￥+…+片）/n〃一2砥〃一2）2（〃一4）

P（正磊（1+少消0（〃>1）<（〃>2）

J（W+￥+???+￡）/〃n-2

今后正態(tài)總體參數(shù)WJ置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)大多數(shù)將基于這三大抽樣分不

2.一個(gè)重要的定理

設(shè)X”2,…,Xn是來(lái)正態(tài)總體N（〃,4）的的樣本,其樣本均值與樣本方差分另J為

x=，汽七和/=」7〉2（項(xiàng)-x）2,

〃狗〃一L

則有（1）（與52相互獨(dú)立；（2）X~N（〃,尸/〃）；（3）（〃一？,'1）

8

3.一些重要推論

（1）設(shè)M，…,x”是來(lái)自正態(tài)總體N（〃為2）的樣本，則有t=匹（Xf）~r（n-l）,

s

其中X為樣本均值，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

（2）設(shè)玉,…,X,“是來(lái)自N（〃|3]2）的樣本，必，…,笫是來(lái)自N（〃2，22）的樣本，且此

2/e2

兩樣本相互獨(dú)立，則有F=果，、

s；屋

其中,S；分別是兩個(gè)樣本方差.若J；=22，則

2/s；-F（m-l,n-l）.

1.在總體N(7.6,4)中抽取容量為n的樣本，如果要求樣本均值落在(5.6,9.6)內(nèi)的概率

不小于0.95,則至少為多少？

-4

解：樣本均值％~乂(7.6,—),從而按題意可建立如下不等式

n

/一八八c/5.6—7.6x—7.69.6—7.6、、八八「

尸(5.6<x<9.6)=P(-=^<]—<—,——)>0.95,

J14/〃j4/“J4/〃

即2(P(V?)-1>0.95,所以O(shè)(Vn)>0.975，查表，①(1.96)=0.975，故薪21.96或

〃23.84,即樣本量〃至少為4.

2.設(shè)X”…,％是來(lái)自N(〃,25)的樣本，問(wèn)n多大時(shí)才能使得P(\X-M\<1)>0.95成

立？

-25

解：樣本均值尸N(〃,一)，因而

n

X-jU

P(|x-//|<1)=P20>(7?/5)-1>0.95,

所以①(6/5)20.975,M/5N1.96,這給出〃296.04,即〃至少為97時(shí)，上述概率不等式

才成立.

設(shè)司,…,匹6是來(lái)自N(〃,b2)的樣本，經(jīng)計(jì)算x=9,52=5.32，試求P(|x-//|<0.6).

Ix-〃|

解：因?yàn)閮?cè)&_〃)7

=-t(n-1),用tl5(x)表示服從《15)的隨機(jī)變

哼小)

量的分布函數(shù)，注意到1分布是對(duì)稱的，故

P(丘一〃|<0.6)=P(4U*<12^)=2k(1Q405)—1.

ss

統(tǒng)計(jì)軟件可計(jì)算上式.譬如，使用MATLAB軟件在命令行輸入tcdf(1.0405,15)則給出0.8427,直

接輸入2*tcdf(1.0405,15)-1則給出0.6854.這里的tcdf(x,k)就是表示自由度為可k的t分布在

x處的分布函數(shù)，于是有

P(丘一〃|<0.6)=2x0.8427-1=0.6854.

3.設(shè)西,…,％是來(lái)自N(〃,l)的樣本，試確定最小的常數(shù)c,使得對(duì)任意的有

P(|x\<c)<a.

-1-

解：由于x?N(",—),所以P(|x|<c)的值依賴于〃，它是〃的函數(shù)，記為g(〃),于是

n

g(〃)=P〃(|x\<c)=P(-c<x<c)=O(V?(-C-〃))-①環(huán)(-c-//)),

其導(dǎo)函數(shù)為g'(〃)=一〃[9(、啟(。一〃))一9(冊(cè)(-。-〃))],其中e(x)表示N(O,1)的

密度函數(shù)，由于c20,〃20,故卜c,一“2|c-“，從而(p{4n(-(?-〃))4夕(6(c-〃)),這

說(shuō)明g'(〃)<0,g(〃)為減函數(shù),并在〃=0處取得最大值，即

max{(I)(Vn(c-//))-<I>(Vn(-c-//))}=①(6c)-①(一〃(:)=2①(6c)-1.

〃之0

于是，只要2①(〃c)-l4a,即(09"〃(1+&)/2/6就可保證對(duì)任意的〃N0,有

P(|x|<c)<a.最大的常數(shù)為c=〃(i+a)/2/瓦

/\2

4.設(shè)占,%是來(lái)自N(0,<y2)的樣本，試求y=五三的分布.

I玉一了2)

2

解：由條件,X1+x2~N(0,2a),xl-X2~N(0,2cr2),故

又Cov(x,+x2,xt—x2)=Var(x{)-Var(x2)=0,且玉+%與七一%服從二元正態(tài)分布,

((3+/)/底)2?尸“n

故為+/與$-x獨(dú)立，于是Y=

22

(Uj-X2)/V2<T)'

5.設(shè)總體為N(0,l),x”X2為樣本，試求常數(shù)k，使得

P|---------產(chǎn))--------->k\=0.05.

、(X]_12)~++X2)">

(%+%2)2

解：由上題,丫=(土土”]~F(I,I),Z=----'2——r=L

—x2J(X]-x2)~+(%(+x2)~1+Y

由于Z的取值與(0,1)，故由題目所給要求有0<k<l,從而

Yk

P(Z>k)=P(------>k)=P(K>——)=0.05.

i+r\-k

k16|45

于是——="95(U)=161.45,這給出k=——--=0.9938.

1—k0951+161.45

6.設(shè)從兩個(gè)方差相等的正態(tài)總體中分別抽取容量為15,20的樣本，其樣本方差分別為

S；應(yīng)，試求p圖〉2).

14v2iQc2

2

解不妨設(shè)正太總體的方差為O"?,則有一:~Z(14),—A~力2(]”于是

bb

$2

F=-L-~F(14,19).

$2

利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算可算出P(s：ki>2)=P(F>2)=0.0798.譬如，可使用MATLAB軟

件計(jì)算上式：在命令行輸入1-fcdf(2,14,19)則給出0.0798,這里的fcdf(X,Z1,42)就表示

(左,心)自由度為的F分布在x處的分布函數(shù)。

7.設(shè)($…$7)是來(lái)自正態(tài)分布N(4,)的一個(gè)樣本,X與S2分別是樣本均值與樣本

方差。求k,使得p(x〉〃+依)=0.95,

解：在正態(tài)總體下，總有~"〃一1),所以

S

P[x>〃+依)=P""")>ky/n=0.95,

s

即p(&(x-〃)<k&)=Q05,微k&是自由度是n-1的t分布t(n-1)的0.05分倍數(shù),

-1.7459

即k4n=%05(〃T)，如今n=17,查表知r005(16)=-1.7459,從而k=-0.4234.

V17

§6.1點(diǎn)估計(jì)的幾種方式

1.設(shè)總體密度函數(shù)如下,為'…％是樣本，試求未知參數(shù)的矩估計(jì)

2

（l）p（x;6^）=—（（9-x）,0<x<0,0>O;

夕

（2）p（x；e）=（。+v）x°,0<x<i,e>o；

（3）p（x;。）=而同,0<x<1,e>0;

1—4

（4）pO；e,〃）=）e0,x>從,。>0.

解：⑴總體均值E（X）=/與（6-"）公=宗［（仇—/）山=；%即即e=3E（x）,

故參數(shù)。的矩估計(jì)為4=3五

e

⑵總體均值E（X）=1x（e+v）xdx=但，所以e=-2E（X）從而參數(shù)e的矩估計(jì)

J。6+2E（X）-1

0?=!\-2^x.

X-1

(3)由E(X)=[x>[dx^~}dx=/可得。=

1，盛）），由此，參數(shù)。的矩估計(jì)

JoJni

⑷先計(jì)算總體均值與方差

+81一等產(chǎn)81-1產(chǎn)81-1

E(X)=jX芳°公=1/7夕力+1)鏟'edt-0+//

…1x~^11

E(X2)=￡x2-^e"dx=["《+〃)2,e0力

p+oo[—>—G+OO]—P+QQ1--

=Jt2—e0dt+￡，力+[e，力=26?+2〃6+〃2.

Var(X)=E(X2)-(E(X))2=^2

由此可以推出e=W"（x）,〃=E（X）—Jvw（x）,從而參數(shù)仇〃的矩估計(jì)為

0=s.fi=x-s.

2.設(shè)總體概率函數(shù)如下，/，…，瑞是樣本，試求未知參數(shù)得最大似然估計(jì).

(1)p(x；e)=,o<%<i,(9>o；

(2)p(x;6)=6c0x~(0+l),x>c,c>Q已知,。>1

解⑴似然函數(shù)為L(zhǎng)(⑦=(而麻其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

\nL(0)=—\n0+(V^-l)(lnx,+…+1叫)

2

將lnL(6)關(guān)于。求導(dǎo)并令其為0即得到似然方程

01nL⑹n1

——+（1叫+--4-IIIA）—7=r=0

dd20*1”2四

解之得行=2之1叫)-2

由千^加乂。)(_n__、(》叫)二°

do2J|,-―_

所以#是弼最大似然估計(jì).

(2)似然函數(shù)為L(zhǎng)(6)=Hd"(玉…x"尸加),其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

InL(^)=nln0+n0\nc-(ff+l)(lnXj+???lnxM)

解之可得

^=(―VLnXj—Inc)~]

〃/=i

d-inuo)=二1<()這說(shuō)明3是e的最大似然估計(jì)?.

deo2

3.設(shè)總體概率函數(shù)如下,匹,X”是樣本，試求未知參數(shù)的最大似然估計(jì).

(1)p(x;6)=cOcx~(c+[\x>0,0>0,c>0已知；

1一々

(2p(x;<9,//)=—e0

u

（3）p（x；e）=（ko）{koy\o<x<{k+i）e,e>o

解：⑴樣本X”…,X,的似然函數(shù)為

要使達(dá)到最大，首先示性函數(shù)應(yīng)為1,其次是""盡可能大.由于c>o,故是6的單

調(diào)增函數(shù)，所以。的取值應(yīng)盡可能大，但示性函數(shù)的存在決定了加勺取值不能大于玉I）,由此給出

的。最大似然估計(jì)為0）

⑵此處的似然函數(shù)為L(zhǎng)（0）=（J）"exp<-.X（再_〃）），々1）>〃

el。/=iJ

_，？

Z（*i）

其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為InL（仇〃）=—〃In?！?7——

由于四必。=吆〉0

誣e

所以，InL（e,〃）是〃的單調(diào)增函數(shù)，要使其最大，〃的取值應(yīng)該盡可能的大，由于限制

〃<演］）,這給出〃的最大似然估計(jì)為A=x（1）.

將In4，,〃）關(guān)于9求導(dǎo)并令其為0得到關(guān)于。的似然方程

O.Tta、2（%一〃）

81nL（e,〃）=+=0

~~de一~~~e—@——，

-￡（七-。）

解之得0=—-------=x-x（1）.

（3）似然函數(shù)為

L（e）=（攵兒,”

由于L（e）=（%。）-"是關(guān)于。的單調(diào)遞減函數(shù)，要使LE）達(dá)到最大,。應(yīng)盡可能小，但由

限制｛區(qū)%/%皿+H可以得到上L4ewx⑴,這說(shuō)明。不能小于上L,因而。的最大似然估

Z+1k+1

4.設(shè)總體概率函數(shù)如下，X，…，乙是樣本，試求未知參數(shù)的最大似然估計(jì).

（1）〃（x；e）=Je'‘招＞。；

ZC7

（2）p（x;。）=1,。-1/2＜龍＜。+1/2；

1

(3)/?(%;6>,,6>2)=,6*.<X<6>2.

"2一"|

1丫匈

解：⑴不難寫出似然函數(shù)為"e）

26

Zhi

對(duì)數(shù)似然函數(shù)為lnL（e）=—〃ln2。—上二一

將之關(guān)于。求導(dǎo)并令其為o得到似然方程'也"）=—+上」=0,

800鏟

之卬

解之可得0=上——.

n

而：

321nL的）（n2工|聞）|川

dG2,\32伊J,0卬了

故彼是。的最大似然估計(jì)

⑵此處的似然函數(shù)為L(zhǎng)(e)=/j?]

|^--<x(1)<xO1)<^+-

它只有兩個(gè)取值：0和1,為使得似然函數(shù)取1,。的取值范圍應(yīng)是玉,）-；＜，＜%⑴+；,因而

-11

。的最大似然估計(jì)?？扇≈械娜我庵?

（3）由條件，似然函數(shù)為

W）=

（。2-仇）"'

要使M。）盡量大，首先示性函數(shù)應(yīng)為1,這說(shuō)明心怎,產(chǎn)⑵<%｝；其次名一可要盡量小，綜上

可知,a的最大似然估計(jì)應(yīng)為%（1）,o2的最大似然估計(jì)應(yīng)為x（“）.

§6.2點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

內(nèi)容概要

1.相合性設(shè)。e。為未知參數(shù),。王，…,尤“)是。的一個(gè)估計(jì)量力是樣本容量，若對(duì)

任何一■個(gè)￡>0,有

limP(|?！?gt;￡)=0,V9e。，

8

則稱瓦為參數(shù)。的相合估計(jì).

?相合性本質(zhì)上就是按概率收斂,它是估計(jì)量的一個(gè)基本要求，即當(dāng)樣本量不斷增大時(shí),

相合估計(jì)按概率收斂于未知參數(shù)：

?矩法估計(jì)一般都是相合估計(jì)；

?在很一般的條件下，最大似然估計(jì)也是相合估計(jì).

2.無(wú)偏性設(shè)=瓦(的，…,Z)是。的個(gè)估計(jì)，。的參數(shù)空間為。，若對(duì)有

=e

則稱彼是e的無(wú)偏估計(jì),否則稱為有偏估計(jì).

假如對(duì)任意的有l(wèi)imE6)=61，則稱科是。的漸近無(wú)偏估計(jì).

?->4-00

3.有效性設(shè)。是。的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì),如果對(duì)任意的ee。有

Mz*)<3(&),

且至少有一個(gè)6e。使得上述不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱?比02有效.

4.均方誤差設(shè)3是。的一個(gè)估計(jì)(無(wú)偏的或有偏的)，則稱

MSE(0)=E00Y=Var(0)+(E(0-0))2

為e的均方誤差.均方誤差較小意味著：e不僅方差較小，而且偏差(Ee-。)也小，所以均方誤

差是評(píng)價(jià)估計(jì)的最一般標(biāo)準(zhǔn).

?使均方誤差一致最小的估計(jì)量一般是不存在的，但兩個(gè)估計(jì)好壞可用均方誤差評(píng)價(jià)：

?在無(wú)偏估計(jì)類中使均方誤差最小就是使方差最小.

i.總體x~u(e,2e)，其中e〉o是未知參數(shù)，又苞，…,七,為取自該總體的樣本,%為樣本

均值.

-2

(1)證明。=]1是參數(shù)。的無(wú)偏估計(jì)和相合估計(jì)；

(2)求。的最大似然估計(jì)，它是無(wú)偏估計(jì)嗎？是相合估計(jì)嗎？

2.設(shè)斗，…,x”是來(lái)自密度函數(shù)為p(x；6)=e",x>0的樣本，

(1)求。的最大似然估計(jì)。，它是否是相合估計(jì)？是否是無(wú)偏估計(jì)？

⑵求。的矩估計(jì)a,它是否是相合估計(jì)？是否是無(wú)偏估？

⑶考慮。的形如ec=x(1)-c的估計(jì)，求使得dc的均方誤差達(dá)到最小的c,并將之與

。，區(qū)的均方誤差進(jìn)行比較.

解：⑴似然函數(shù)為

入⑹=fl23/{?>?}=exp[-+〃或{.,%}.

i=lIZ=1J

顯然L(e)在示性函數(shù)為i的條件下是。的嚴(yán)增函數(shù)，因此。的最大似然估計(jì)為4=x°).又

%)的密度函數(shù)為/(無(wú))=ne-"(x-0),x>仇故

n(x0)

E(0t)=rxne--dx=1%+6)〃1'力=，+4

故。不是0的無(wú)偏估計(jì)，但是0的漸近無(wú)偏估計(jì).山于E(@)t0(nt+00)且

E(?：)=「"尤2〃1?砌公=f+<(t2+20t+O^ne^dx=^+-0+6\

JoJon-n

Var(?)=3+2+4一(_1+6)20,

nnnn

這說(shuō)明。是8的相合估計(jì).

(2)由于E(X)=rxe-(x-0)dx=6+1,這給出e=EX—1,所以。的矩估計(jì)為

J0

包=亍一1.又E(X2)=「'x2ne-n(x-0)dx=夕+28+2,所以Var(X)=1,從而有

人_11

E@)-E(M)一1=仇丫翻⑹)=—Var(X)=--->0(〃—>+oo),

nn

這說(shuō)明。既是。的無(wú)偏估計(jì)，也是相合估計(jì).

⑶對(duì)形如a=%(l)-c的估計(jì)類,其均方誤差為

MSE(4)—Var%⑴—c)+(Ex⑴—c—0)~——-+(c)2,

n"n

1人1

因而當(dāng)C0=一時(shí),MSE(〃)二二達(dá)到最小，利用上述結(jié)果可以算出

n°n

人2人1

MSE(^)=—,MSE(^2)=-,

nn

故有MSE(&)<MSE?)<MSE(a)，所以在這三個(gè)估計(jì)中,=光“)--的均方誤差最小.

n

3.設(shè)總體X~ExpQ?匹,…,X”是樣本，。的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)都是"它也是。

的相合估計(jì)和無(wú)偏估計(jì)，試證明在均方誤差準(zhǔn)則下存在優(yōu)于三的估計(jì)(提示：考慮。=成，找

均方誤差最小者).

2

0八

證：由于總體X~￡卬=(1/8),所以&元)=?！奔?君=—.現(xiàn)考慮形如。〃=成的

n

估計(jì)類，其均方誤差為

人9CTO2

MSE⑸)=V"(疝)+(E(ax)-0)2=—+(?！?)9249.

n

將上式對(duì)。求導(dǎo)并令其為0,可以得到當(dāng)&=/一時(shí),MSE(。)最小，且

〃+1

人011)

MSE(Q)=——<-e-=MSE(x).

"〃+1n

這就證明了在均方誤差準(zhǔn)則下存在一個(gè)優(yōu)于元的估計(jì).這也說(shuō)明，有偏估計(jì)有時(shí)不比無(wú)偏估

計(jì)差.

18.設(shè)西,與獨(dú)立同分布，其共同的密度函數(shù)為

3r2

p(x；e)=?~,o<%<0,o>o.

27

(1)證明：(=-3+々)和/=-max',尤2｝都是。的無(wú)偏估計(jì)；

36

(2)計(jì)算7；和％的均方誤差并進(jìn)行比較；

⑶證明：在均方誤差意義下，在形如般ncmaxki，/｝的估計(jì)中最優(yōu).

解：⑴先計(jì)算總體均值為E(X)=，x?奈必=56,故與工)=：-2￡(乂)=。,這說(shuō)

明工是。的無(wú)偏估計(jì).又總體分布函數(shù)為尸(x；e)=［：票"=6)3,0<%<仇記Y=

maxfxpx,),則密度函數(shù)為

6Vs

/(y;。)=2F(y;^)p(y;^)=—,0<y<0.

于是有玖丁2)=:『黑辦==e

這表明《也是。的無(wú)便估計(jì).

⑵無(wú)偏估計(jì)的方差就是均方誤差，由于

33

VW(XJ=E(XJ)_E(XJ2=—^-(3^)2=—^2,

故有

483o21o2

MSE(T1)=Var(Tl)=--2Var(Xl)=--0=—0.

又

2

VMY)=蛻丫2)一(EY)2=/一*)2=普2,

從而

MSE(T,)=Var(T,)=—?—^—62.

223619648

由于MSE(I)>MSEC!?),因此在均方差意義下，T)優(yōu)于T「

222

⑶對(duì)形如T「=cmax｛x”X2｝的估計(jì)有ECTc)=^c0,E(Tc)^^c0,故

232i?

MSE(TC+)=E(TC-8)2=Eg2)_20E(,Tc)+0=(^c~—c+1)〃,

因此當(dāng)c=j(=9時(shí)，上述均方誤差最小，所以在均方誤差意義下，在形如

Tc=cmax｛九「與｝的估計(jì)中，//最優(yōu).

77

3.設(shè)X],…,X”是來(lái)自二點(diǎn)分布僅1,P)的一個(gè)樣本,

(1)尋求p2的無(wú)偏估計(jì)；

(2)尋求p(l-p)的無(wú)偏估計(jì)；

⑶證明,的無(wú)偏估計(jì)不存在.

P

解：⑴元是p的最大似然估計(jì),X2是P2的最大似然估計(jì),但不是P2的無(wú)偏估計(jì),這是因

為

222

E(x)=Var(x)+[E(X)]=+p=P-+!lzlp^豐p\

nnn

由此可見(jiàn)尸=，-是p2的無(wú)偏估計(jì).

77+1[_n]

(2)雙1一幻=1-亍2是p(]_p)的最大似然估計(jì)，但不是p(l_p)無(wú)偏估計(jì)，這是因?yàn)?/p>

E(x-x2)=+p2)=-p(1-p(l-p),由此可見(jiàn)一^-：(1—6是

nnn-\

p(p-l)的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，

(3)反證法，倘若g(%,L,x.)是’的無(wú)偏估計(jì)，則有

P

nn

Zg(X1.…九")P'T(1-P)=-

Xl.fP

n~^xi

或者Zg(X1，…X")P"'(l-p)I-1=0

王…與

上式是p的n+1次方程，它最多有n+1個(gè)實(shí)根，而p可在。1)取無(wú)窮多個(gè)值，所以不論取什么形

式都不能使上述方程在0<p<l上試成立,這表明-的無(wú)偏估計(jì)不存在.

P

參數(shù)樞軸量置信區(qū)間

o已知?=W,l）[x-2b14n,x+Ux_a12<J/4n]

（J/yjn

4

x-u

o未知u=-----；=?t（n-1）[xTn2sl4n,x+tt_a/2s/4n]

S/yjn

f（Xi）2￡（西-〃）2

Z2=」才（王一〃）2~力2（〃）i=li=l

日已知

%L/2（〃）'Z2/2（?）

b/=1a

2

小a-）（n-l）,v2（H-l）52

H未知

（J_X1一/2（〃-1）Xa/2（〃-l）_

￡（七-4）2愎Xi）?

1fl

i=lJ/=1

U已知%2=FX（X，-〃）2~72（〃）力1/2（〃）T力、2（〃）

bi=\

O

一

2（/2-l）52271、y/n-ls&n-l）s

U未知Z=7?％（〃1）

（7_

參數(shù)樞軸量置信區(qū)間

U-（〃|一〃2）

CT12與6?已心"拜"s再弓

知

~N（O,1）

一,Il1

OI2與62未X_y+（加+〃_2）S,y\/_+一

7=三；（凹二外）一（”[+”-2）Vmn

知，但114

英中,二1〃T）s；+（"l）s；

mn

均值差22

5-二S“Vm十幾一2

內(nèi)-M，__/^110

X_y+4-42（機(jī)+〃一2）4—+—

/9oJ二0已7=丁一7》）一）Vmn

s,"

=gi）s；+（〃T）s；/e

知Vtnn其

1}tn4-77-2

11元一了-（〃|一4）:1、

-------y

2s~

m,n都很大時(shí)Sv.x

JNVmn

mn

,j_^-y-(Ai-A2)

i般場(chǎng)合x-y+t^l).殳+工

----1----mn

mn

2

支(XL"/(y范Ui-宓4-")2

，-1-I

Mi，H2已知-V--------------=r~F(m,n)

方差比芝(>i)2花Ci)

i=l

22

CT|/O2

內(nèi)，出

F=鼻".寫~F(mI.________I

毋_a/2(〃?T，"T)'5；F{m-\,n-\)

之一未知s’6al2

3.0.50,1.25,0.80,2.00是取自總體X的樣本，已知Y=\nX服從正態(tài)分布N(〃,1).

(1)求〃的置信水平為95%的置信區(qū)間;

⑵求X的數(shù)學(xué)期望的置信水平為95%的置信區(qū)間.

解⑴將數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)交換，得到Y(jié)=\nX的樣本值為:-0.6931,0.2231,-0.2231,0.6931.它可

看作是來(lái)自正態(tài)分布N(〃,l)的樣本，其樣本均值為了=0,由于b=l已知，因此〃的置信水平

為的置信區(qū)間為：卜一〃冊(cè)，

95%I_&/2/j+M1_a/2/V?]=[-0.9800,0.9800].

(2)由于EX=e"G是〃的嚴(yán)增函數(shù)，利用⑴的結(jié)果,可算得X的數(shù)學(xué)期望的置信水平為95%

的置信區(qū)間為[e~°-98+0-5,e°-98+0-5]=[0,6188,4.3929].

4.用一個(gè)儀表測(cè)量某一物理量9次,得樣本均值元=56.32,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=0.22.

(1)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差cr大小反映了測(cè)量?jī)x表的精度，試求b的置信水平為0.95的置信區(qū)間;

⑵求該物理量真值的置信水平為0.99的置信區(qū)間.

2

解⑴此處(〃口52=8x0.222=0.3872,查表知力然兇=2.1797,/Q975(8)=17.5345,CT的

1-a置信區(qū)間為

22

(n-l)5(n-l)50.38720,3872

=[0,0221,0.776]

力”a/2("一l)'17.5345‘2.1797

從而or的置信水平為0.95的置信區(qū)間[0.1487,0.4215].

(2)當(dāng)。未知時(shí)，〃的1-1置信區(qū)間為

[X-t}_a/2(n-v)s/y/n,x+tt_a/2(n-l)sly/n].

?注：這里％=J&+年,/為最接近于

的整數(shù)

V,4

mny

2+2z

m(m-1)〃~(〃一1)

查表得憶0.005⑻=3.3554,因而〃的置信水平為0.99的置信區(qū)間為

[56.32-3.3554X0.22/次,56.32+3.3554X0.22/拘書6.0739,56.5661].

§7.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

內(nèi)容概要

1.假設(shè)

b參數(shù)空間也｛4的非空子集或有關(guān)參數(shù)儆命題，稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)，簡(jiǎn)稱假設(shè)。

b原假設(shè)，根據(jù)需要而設(shè)立的假設(shè)，常記為例:氏@.

?備擇假設(shè)，在原假設(shè)被拒絕后而采用(接受)的假設(shè)，常記為

2.檢驗(yàn)對(duì)原假設(shè)%：，€包.作出判斷的法則稱為檢驗(yàn)法則，簡(jiǎn)稱檢驗(yàn)。檢驗(yàn)有兩

個(gè)結(jié)果：

b”原假設(shè)不正確”，稱為拒絕原假設(shè)，或稱檢驗(yàn)顯著；

?“原假設(shè)正確”，稱為接受原假設(shè)，或稱檢驗(yàn)不顯著

3.檢驗(yàn)問(wèn)題

?由原假”。和備擇假設(shè)名組成的一個(gè)需要作判斷的問(wèn)題稱為檢驗(yàn)問(wèn)題。

b參數(shù)檢驗(yàn)問(wèn)題，兩個(gè)假設(shè)都是由有關(guān)參數(shù)