工程彈塑性力學教學課件第章滑移線場理論

第八章滑移線場理論滑移線場理論概要1.基本假設和應力基本方程2.滑移線概念3.應力方程的特征線解法4.滑移線的性質5.簡單滑移線場6.塑性區(qū)邊界條件7.基本邊值問題8.解的數(shù)值方法9.應力間斷線10.楔受單邊壓力作用的極限荷載（鈍角）11.條形基礎極限承載力(Prandtl解)1.基本假設和應力基本方程基本假設：1.土體是理想剛塑性體2.屈服條件為莫爾庫侖屈服條件，或Tresca條件,或vonMises條件

（土體塑性變形較大，彈性變形可以忽略的情況下，按基本假設得到可靠近似解）應力基本方程：平衡方程：莫爾庫侖屈服條件：1-1平面應變問題應力方向與彈性力學應力方向正負定義相反注意：龔曉南土塑P273圖應力方向有誤1.基本假設和應力基本方程…不考慮土體自重，且φ=0，則有一般塑性力學（金屬塑性力學）滑移線場理論中的應力基本方程：不排水條件下飽和土體φ=0，屬于Tresca材料；φ≠0的土體屬于Coulomb材料?；凭€場理論應用：巖土工程的穩(wěn)定性問題：地基承載力問題擋土墻土壓力土坡穩(wěn)定問題Mises屈服條件

Tresca屈服條件

2.滑移線的概念主應力跡線：各點主應力方向的線段連續(xù)的連接起來，得到的兩族正交的曲線?；凭€：各點的剪切破壞面連續(xù)的連接起來，得到的兩族曲線。（滑移線上的一點的切線方向就是相應點的滑移面方向）Tresca材料剪切破壞面與第一主應力方向的夾角為π/4；Coulomb材料剪切破壞面與第一主應力方向的夾角為μ=π/4-φ/2。滑移線是物體在塑性狀態(tài)下剪切破壞面的跡線，應力場不同，滑移線場也不同。Comlomb材料塑性應力狀態(tài)的莫爾圓Tresca材料塑性應力狀態(tài)的莫爾圓表示法式中p----平均應力,R----應力圓半徑.對Tresca材料，R=C對Coulomb材料,2.滑移線的概念…Coulomb材料的兩族滑移線相互間夾角為2μ=π/2-φ，與主應力跡線的夾角為μ=π/4-φ/2。約定：以第一主應力σ1的跡線為基線，順時針方向與基線成銳角的稱為α線，逆時針方向與基線成銳角的稱為β線。Tresca材料兩族滑移線是正交的，與主應力跡線的夾角為π/43.應力方程的特征線解法Coulomb材料平面應變問題的應力基本方程+滿足屈服條件的應力未知數(shù)p和θ的一階擬線性偏微分方程組可證明，該雙曲線型方程，其兩族特征線方程為：取與滑移線相重合的曲線坐標系統(tǒng)，變換，有：擬線性偏微分方程的特征線，其物理意義為滑移線3.應力方程的特征線解法…

三種特殊情況下的解：（1）忽略土體自重作用，取γ＝0（2）土體的摩擦角等于零，即φ＝0代入(3.10)并積分可得:（3）γ＝0和φ＝0代入(3.10)并積分可得:

4.滑移線基本性質滑移線上的剪應力等于巖土的抗剪強度兩族滑移線間的夾角與屈服準則有關對所有巖土材料,重力的存在不影響兩族滑移線間的夾角,但對其形狀有影響。對c-φ型巖土材料,粘聚力的存在不影響兩族滑移線的形狀和夾角。4.滑移線基本性質…（1）Henky第一定律：如果由一條滑移線α1（或β1

）轉到另一條滑移線α2

（或β2），則沿任何一條β族（或α族）的滑移線，α線（或β線）的方向與x軸的夾角的變化值保持常量。如圖1，得：（2）如果α族（或β族）滑移線的某一曲線段（例如AB）是直線，則β族（或α族）滑移線所截得所有α線（或β族）得相應曲線段（如DC，A`B`,…等）均為直線（圖2）（3）如果滑移線得某些曲線段是直線，則沿著這些直線得p,θ,Cα,,Cβ以及應力分量σx,σy,τxy都是常數(shù)。兩族直線構成得滑移線場為均勻應力場。圖1圖24.滑移線基本性質…（4）若已知滑移線網絡中各點的坐標值(x,y)和θ值，則只要知道滑移線網絡中任何一點的應力值，就可以算出場內各處的應力值。（5）Henky第二定律：若沿著某一滑移線移動，則在交叉點處的另外一族滑移線的曲率半徑的變化為：

圖4-3圖4-4已知A點的應力5.簡單滑移線場1.均勻應力狀態(tài)滑移線場兩族滑移線都是直線，則由它們構成的滑移線場范圍內p值,θ值以及各應力分量都相等，這種滑移場稱為均勻應力狀態(tài)滑移線場。Tresca材料，均勻應力狀態(tài)滑移線場兩族滑移線正交；Coulomb材料，兩族滑移線相互夾角為2μ=π/2-φ。2.扇形滑移線場一族是相交于一點的直線，另外一族是曲線，這種滑移線場稱為扇形滑移線場，也稱簡單滑移線場。簡單應力狀態(tài)：同一條直線應力狀態(tài)保持不變，由一條直線轉到另外一條直線時，應力狀態(tài)發(fā)生變化。與均勻應力狀態(tài)區(qū)域相鄰的必然是簡單應力狀態(tài)區(qū)域圖5－1均勻應力狀態(tài)滑移線場（a）Coulomb材料（b）Tresca材料同心對數(shù)螺線族同心圓族（5.1）

和－－圖中時的p和值6.塑性區(qū)邊界條件1.邊界面的一般情況是已知邊界面上的法向應力σn和剪應力τn,邊界面的法線與x軸的夾角Ω2.對于平面應變問題，當物體處于塑性狀態(tài)，斜截面上的應力公式為：arcsin應理解為它的主值，而m是任意整數(shù).邊界上各點θ和p值確定以后，即得附近滑移線場.圖6-17.基本邊值問題剛塑性平面應變問題的方程是雙曲線型的雙曲線方程有三種基本邊值問題（1）Cauchy問題（2）Riemann問題（3）混合邊值問題注意：這里的邊界不僅指實際的邊界，也包括兩個不同區(qū)域的邊界線7.基本邊值問題…(1)Cauchy問題（初值問題）如圖7-1設在x,y平面內某一光滑曲線段AB上，給定函數(shù)的值和θ值，而且不與任何一條滑移線重合，相交兩次；AB上給定的函數(shù)值及其兩階的偏導數(shù)是連續(xù)的，ABP區(qū)內的解完全可由AB上的值確定。（AB曲線段的另一側也同樣存在一個AB線的影響區(qū)域。）自由表面上。周界處處不與滑移線方向相重合。自由表面附近的應力場與自由表面的形狀有關。如果自由表面是平面，其影響區(qū)域將如圖7-2.Cauchy問題自由表面為平面的影響區(qū)域7.基本邊值問題…(2)Riemann問題（初始特征問題）如圖7-3在滑移線段OA和OB上的和θ值已知，則在曲線四邊OAPB內（包括滑移線段PA和PB）的解是完全確定的.

蛻化的Riemann問題：如圖7-4，滑移線OB的長度和曲率半徑都無限縮小，蛻化為一點O，應力區(qū)在O點應力發(fā)生間斷，只要OA上的和θ值已知，以及O點的張角已知，則影響區(qū)域OAP區(qū)內的解可確定.Riemann問題蛻化Riemann問題7.基本邊值問題…(3)混合邊值問題如圖7-5所示，曲線OA是滑移線，其上的值和θ值已知，曲線OB不是滑移線，其上各點θ值（或值）已知，則OA線和OB線構成的OAB區(qū)內各點的值和θ值可以確定.7-5混合問題8.解的數(shù)值方法考慮自重影響的剛塑性體平面應變問題的應力方程通過數(shù)值方法求解,應力方程的一般表達式：滑移線方程為：在應用數(shù)值方法求解時,三種基本邊值問題需要應用兩種基本計算方法8.1兩種基本計算方法1.問題：如圖8-1已知A點和B點的平均應力P值和θ值,求過A點的α線和過B點β線的交點P點的位置,P點的平均應力p值和θ值.計算方法：(差分方程）

圖8-18.1兩種基本計算方法…2.問題：如圖8-2已知一條滑移線的位置和滑移線上各點的平均應力p值和θ值(如圖中α線BC),又已知一直線OD上的θ值，求過B點的β線與OD線的交點P點的位置及其值.計算方法：由特征線β的微分方程和直線OD的方程可得：

圖8-28.三2三Ca三uc三hy問題三的數(shù)三值方三法計算三方法三：由曲三線AB線上三的P11點和P22點的x,y,p和θ值,運用三基本三計算三方法1,很容三易求三得P12點x,y,p和θ值，三然后三由P22和P33點可三求得P23點的x,y,p和θ值，三采用三類似三方法三得到三曲線AB影響三區(qū)域三各點三的近三似值.圖8-三38.三3R三ie三ma三nn問題三的數(shù)三值方三法計算三方法三：運用三基本三計算三方法1,可以三由P12點和P21點的x,y,p和θ值計三算P22點的x,y,p和θ值.然后,由P22點和P31點計三算P32點,用同三樣的三方法三就可三以求三得其三影響三區(qū)域三內各三點的三近似三值.蛻化三的Ri三em三an三n問題曲線OA上的p和θ值,以及三在頂三點O處角三度（三相應θ值）三的變三化是三已知三的.圖8-三4圖8-三5(1)可先求得P22點的θ值.在O點,對應線為,對應線為,可近似采用下式計算：(2)求得P22點的p值.(3)由P22點和P13點求P23點的值可應用基本方法1.8.三4混合三邊值三問題三的數(shù)三值方三法問題如圖8-三6曲線OA是滑三移線,例如三是α線,它的三位置三及其三上的p值和θ值已三知,曲線OD不是三滑移三線,O三D線的三位置三及其三上的θ值(或p值)已知,求區(qū)三域OA三D上解.計算三方法三：由P12點的x,y,p和θ值，O點和P22點的x,y,θ值，三由計三算方三法2，得三到P22點的p值。由P13點和P22點的x,y,p和θ值,運用三基本三計算三方法1計算P23的x,y,三p和θ值.再用三基本三計算三方法2,由點P23的x,y,三p和θ值,以及P33點的θ值,得到P33點的p值.這樣三求得三區(qū)域OA三D上的三解.圖8-三69.應力三間斷三線應力三間斷三線：三在薄三層過三渡區(qū)三內,應力三發(fā)生三急劇三的變三化,造成三間斷三線兩三側應三力發(fā)三生間三斷現(xiàn)三象.三(應力三間斷三線不三可能三同時三又是三滑移三線,當滑三移線三通過三應力三間斷三線時,滑移三線發(fā)三生彎三折.)沿著三間斷三線必三須滿三足平三衡方三程和三屈服三條件.如圖9-三1：如圖9-三2，由三莫爾三－庫三侖屈三服條三件，三間斷三線兩三邊為三同一三材料三時候對Tr三es三ca材料:Tr三es三ca材料三應力三間斷三線兩三側α線方三向關三系式,表明三應力三間斷三線是三兩個三區(qū)域三中同三一族三滑移三線夾三角平三分線圖9-三1圖9-三210三.楔受三單邊三壓力三作用三的極三限荷三載(鈍角)如圖10三-1表示Co三ul三om三b材料三鈍角三楔體三頂角三在單三邊極三限荷三載作三用下三的滑三移線三場.OD三C區(qū)為Ca三uc三hy問題,應力三狀態(tài)三表示三為:OC三B區(qū)為三蛻化三的Ri三em三an三n問題,O三B線上三的應三力狀三態(tài):OB三A區(qū)為三混合三問題,應力三狀態(tài)三表示三為：由圖10三-3得極三限荷三載qf的表三達式三：圖10三-2圖10三-3(1三0.三1)圖10-1均勻應力場10三.楔受三單邊三壓力三作用三的極三限荷三載(鈍角).三..Tr三es三ca材料三，鈍三角楔三體（三頂角)在單三邊極三限荷三載作三用下三得滑三移線三場如三圖10三-4所示.極限三荷載三的表三達式三為(三)Co三ul三om三b材料三，當三時,其滑三移線三場如三圖10三-5所示,極限三荷載三表三達式三為：圖10三-4圖10三-511三.條形三基礎三極限三承載三力(P三ra三nd三tl解)條形三基礎三承載三力的Pr三an三dt三l解是三最基三礎的三課題,根據(jù)三剛塑三性假三設導三出的三無重三量介三質的三極限三承載三力公三式.三Te三rz三ag三hi三,三Me三ye三rh三of三,三Ha三