數(shù)列求和教學(xué)案例

《數(shù)列求和》教學(xué)案例分析設(shè)計背：生活中處處有數(shù)學(xué)處處有求和而且在高考中數(shù)列求和也占有舉足輕重的作用數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一本節(jié)課由一個很普通的問題等差數(shù)列和等比數(shù)列求和引出了一系列問題經(jīng)歷探索實踐再逐步深化理解大部分數(shù)列的求和都需要一定的技巧學(xué)生在親歷知識的形成和發(fā)展的過程中體驗學(xué)習(xí)的快樂。課標要1.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式．2．了解一般數(shù)列求和的幾種方法對等差、等比數(shù)列的求和以考查公式為主，對非等差、非等比數(shù)列的求和，主要考查分組求和、裂項相消、錯位相減等方法教學(xué)目：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)學(xué)生在掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列兩個特殊數(shù)列的基礎(chǔ)上，利用公式法，分組求和法，錯位相減法，掌握非等差數(shù)列的求和問題教學(xué)重：掌握公式法，分組求和法，錯位相減法，裂項相消法四種方法對數(shù)列求和教學(xué)難利用錯位相減法和裂項相消法進行數(shù)列求和學(xué)情分：本節(jié)課學(xué)生是在掌握了等差數(shù)列和等比數(shù)列的兩種特殊數(shù)列的基礎(chǔ)上探究對非等差等比數(shù)列的求和問題培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)的能力而整堂課教師力圖以學(xué)生探究師生交流和教師講授相結(jié)合的方式來展開提高學(xué)生靈活運用各種方法的水平。教學(xué)設(shè)思想本節(jié)課是探討一般數(shù)列的求和問題主討圍繞著四種求和方法展開即公式法，分組求和法、錯項相消法、裂項相消法，本堂課從學(xué)生熟悉的兩個簡單的等差等比數(shù)列的求和問題入手通過對這兩個數(shù)列對應(yīng)項相加再求和引出第一種方法“分組求和法”，這樣的引入是符合學(xué)生的認知規(guī)律的．接下來的一道練習(xí)題是為了鞏固方法讓學(xué)生了解該方法所適用的不同題型以便靈活運用接著在對原來的兩個數(shù)列對應(yīng)項相乘又得到新的數(shù)列再讓學(xué)生求和當學(xué)生思維產(chǎn)生障礙時，教師引導(dǎo)學(xué)生去分析、去探索，最終克服困難，引出錯位相減法，這種方法也是本節(jié)課三種方法中較抽象較難理解的一種因此先引導(dǎo)學(xué)生回顧

nn方法再動手練習(xí)練完后和同學(xué)共同演示整個解題過程完成后又讓學(xué)生自己總結(jié)注意的地方以深刻理解該方法最后通過練習(xí)鞏固這種方法對于每種方法，教師都讓學(xué)生自己總結(jié)所適用的題型，提高學(xué)生靈活運用各種方法的水平，并且培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)的能力而整堂課教師力圖以學(xué)生探究師生交流和教師講授相結(jié)合的方式來展開．教學(xué)設(shè)與實施【教師】：在數(shù)列這一章的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常遇到有關(guān)數(shù)列求和問題，知道數(shù)列有哪些常見的求和方法？（學(xué)生思考）【教師】：那么讓我們通過具體問題解決吧問題1.（1）1+2+3+4+…n=_____；(2)23

【學(xué)生】這兩個數(shù)列分別是等差和等比數(shù)列，可直接用公式法求和，答案為n(nn設(shè)計意通過這兩道題讓學(xué)生先回顧前面的兩個特殊數(shù)列的通項公式和前n項和公式，為后邊的解題打好基礎(chǔ)?！窘處煛浚汉芎茫瑢W(xué)們能夠很快的把兩個數(shù)列的通項公式和求和公式求出，即為公式法，但要注意數(shù)列的首項，公差或公比，還有項數(shù)等問題2

求數(shù)列2,2,33,n通項和前n項的和有前兩題作鋪墊生應(yīng)該不很費力的就能得出數(shù)列的通項公式和前項的和【學(xué)生】n

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n【教師】：請問這個數(shù)列是等差或等比數(shù)列嗎？你是怎么求得的？【學(xué)生】：其實很簡單的，這個數(shù)列非等差等比數(shù)列，但它的每一項是由前兩個等差等比數(shù)列對應(yīng)項相加所得的，所以通項公式和求和也對應(yīng)相加．【老師】：分析的很好．第三個數(shù)列雖非等差或等比數(shù)列，但它是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相加所得的新數(shù)列以我們可把它的通項公式拆成等差和等比數(shù)列兩項然后再分別求出它們的前項的和即得新數(shù)列的前n項的和種把通項公式拆成兩個或兩個以上的等差或等比數(shù)列的求和的方法叫做分組求和法．今天我們就要一起來探討非等差或等比數(shù)列的求和問題．設(shè)計意由兩個熟悉的等等比數(shù)列的通項公式和求和問題引出非等差等比數(shù)列的求和問題，由淺入深、層層鋪墊，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化歸的思想．由學(xué)生自己探索、發(fā)現(xiàn)，符合學(xué)生的認知規(guī)律，也能調(diào)動學(xué)生的積極性。

nn問題3（1）

11113nn（2）

111(學(xué)生開始安靜下來，陷入沉思，【學(xué)生】：這個數(shù)列的通項公式是求和，

11，可用裂項相消法n(nn(nn學(xué)生黑板展示，老師巡視發(fā)現(xiàn)第（）個問題比較多，1111原式=(1)(1)32nn【老師】這樣對嗎？為什么？裂項相消要注意什么？【學(xué)生】：不對，原式=111111111(1))343546nnn【老師】對，這個數(shù)列從形式上無明顯的由等差或等比數(shù)列對應(yīng)項加減的痕跡，但通過對通項分析化簡，可轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列問題，從而用拆項法求和．，開始剩幾個正項，末尾相應(yīng)就剩幾個負項，兩端是對稱的問題4

1x

2

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3

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____【老師】仔細觀察數(shù)列特點，想到什么方法？大家回想一下當初等比數(shù)列前項和的公式的推導(dǎo)過程．現(xiàn)在大家能想明白這個數(shù)列如何求和嗎？【學(xué)生】：我明白了．用錯位相減法求學(xué)生板書Sn

2

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n兩式上下對應(yīng)相減，得

2

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nSn

2nn4【老師】:很好．能否再說說看求解的時候要注意哪些地方【學(xué)生】:相減是錯開一項后相減，且右式的最后一項是“減號”．【學(xué)生】:還要注意相減后的等比數(shù)列的首項、公比和項數(shù)．

【老師總結(jié)同學(xué)們把要注意的地方已經(jīng)找出來了不管是分組求和法還是錯位相減法求和質(zhì)都是把非等差等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題來解決，這種轉(zhuǎn)換的思想即為數(shù)學(xué)中的“化歸”思想．”設(shè)計意錯位相減法是非差等比數(shù)列求和中運算較繁瑣的一種教師不是直接給出方法再讓學(xué)生進行針對性解題練習(xí)而是留出足夠時間先讓學(xué)生先經(jīng)歷迷茫，由此產(chǎn)生強烈的求知欲望，老師“點到為止”，再讓學(xué)生盡量自己找到解決辦法過經(jīng)歷求解過程來充分暴露方法的利弊終找到解決的最佳途徑．【老師】：下面再通過幾道練習(xí)題鞏固方法1.1

1111112.18n3.Snxx2x課時總【老師】1、本節(jié)課你都掌握了哪些求和的方法？【學(xué)生】：（1）利用公式求和：利用等差、等比數(shù)列求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法．（2)分組法求和：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)