福建省寧德市甘棠中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

福建省寧德市甘棠中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知－1，a，b，－4成等差數(shù)列，－1，c，d,e，－4成等比數(shù)列，則＝

（）

A．

B．－

C．

D．或－參考答案：C略2.明朝數(shù)學(xué)家程大位將“孫子定理”（也稱“中國(guó)剩余定理”）編成易于上口的《孫子歌訣》：三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知．已知正整數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余4，求的最小值．按此歌訣得算法如圖，則輸出的結(jié)果為（

）A．53 B．54 C．158 D．263參考答案：A3.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤)，x=為f(x)的零點(diǎn)，x=為y=f(x)圖像的對(duì)稱軸，且f(x)在單調(diào)，則ω的最大值為（A）11

（B）9

（C）7

（D）5參考答案：B試題分析：因?yàn)閤=為f(x)的零點(diǎn)，x=為y=f(x)圖像的對(duì)稱軸，所以－()=+kT，即，所以ω=4k+1(k∈N*)，又因?yàn)閒(x)在單調(diào)，所以，即ω≤12，所以ω的最大值為9.

4.若a、b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是()．A.a2＋b2＞2ab

B.a＋b≥2

C.

D.參考答案：D略5.若不等式組表示的區(qū)域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的區(qū)域?yàn)棣?，向Ω區(qū)域均勻隨機(jī)撒360顆芝麻，則落在區(qū)域Γ中芝麻數(shù)約為（）A．114 B．10 C．150 D．50參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型；簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出兩平面區(qū)域，計(jì)算兩區(qū)域的公共面積，得出芝麻落在區(qū)域Γ內(nèi)的概率．【解答】解：作出平面區(qū)域Ω如圖：則區(qū)域Ω的面積為S△ABC==區(qū)域Γ表示以D（）為圓心，以為半徑的圓，則區(qū)域Ω和Γ的公共面積為S′=+=．∴芝麻落入?yún)^(qū)域Γ的概率為=．∴落在區(qū)域Γ中芝麻數(shù)約為360×=30π+20≈114．故選A．6.在長(zhǎng)為的線段上任取一點(diǎn)，以為鄰邊作一矩形，則矩形面積小于的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限 參考答案：A8.設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】由已知當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價(jià)于x?g（x）＞0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可．【解答】解：設(shè)g（x）=，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g′（x）=，∵當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）＜f（x）成立，即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）恒小于0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，又∵g（﹣x）====g（x），∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)又∵g（﹣1）==0，∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0?或，?0＜x＜1或x＜﹣1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題．9.已知A={x|x≥k}，B={x|＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則k的取值范圍是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥2參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】解關(guān)于B的不等式，得到A?B，求出k的范圍即可．【解答】解：A={x|x≥k}，B={x|＜1}={x|x＞2或x＜﹣1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則A?B，故k＞2，故選：C．10.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)

（

）A．

B．C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若a是1+2b與1﹣2b的等比中項(xiàng)，則的最大值為

．參考答案：考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由a是1+2b與1﹣2b的等比中項(xiàng)得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得的最大值．解答： 解：a是1+2b與1﹣2b的等比中項(xiàng)，則a2=1﹣4b2?a2+4b2=1≥4|ab|．∴．∵a2+4b2=（|a|+2|b|）2﹣4|ab|=1．∴≤=∵∴≥4，∴的最大值為=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查等比中項(xiàng)以及不等式法求最值問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．12.如圖，已知中，弦,為直徑.

過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，.則____.參考答案：略13.△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，若，則2cosB+sin2C的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；HW：三角函數(shù)的最值．【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得2cosB+sin2C=﹣2（cosB﹣）2+，進(jìn)而利用余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)求得2cosB+sin2C的最大值．【解答】解：∵，∴2cosB+sin2C=2cosB+sin2[π﹣（A+B）]=2cosB+sin2[π﹣（+B）]=2cosB+sin（﹣2B）=2cosB﹣cos2B=2cosB﹣（2cos2B﹣1）=﹣2cos2B+2cosB+1=﹣2（cosB﹣）2+，∵B∈（0，），cosB∈（﹣，1），∴當(dāng)cosB=時(shí)，2cosB+sin2C取得最大為．故答案為：．14.若函數(shù)

.參考答案：15.已知函數(shù)

若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲

．參考答案：16.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_____．參考答案：(0,2)由拋物線方程x2＝8y知，拋物線焦點(diǎn)在y軸上，由2p＝8，得＝2，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)．17.已知函數(shù)是上的增函數(shù).當(dāng)實(shí)數(shù)取最大值時(shí)，若存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的直線與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等,則點(diǎn)的坐標(biāo)為

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】單元綜合B14由

得.是上的增函數(shù)，在上恒成立，即在上恒成立。設(shè)，，即不等式在上恒成立.設(shè)，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，因此。，即。又，故。的最大值為3.故得，。將函數(shù)的圖像向上平移3個(gè)長(zhǎng)度單位，所得圖像相應(yīng)的函數(shù)解析式為，。由于，所以為奇函數(shù)，故的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱。由此即得函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱。這表明存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的直線若能與函數(shù)的圖像圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，在求出解析式的坐標(biāo)。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在最小值.參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。解析：（II）19.已知，求函數(shù)

的最大值和最小值參考答案：

當(dāng)=3時(shí)，

當(dāng)=時(shí)，

20.（13分）（2015?萬(wàn)州區(qū)模擬）某位同學(xué)進(jìn)行寒假社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，為了對(duì)白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫x（°C）與該小賣部的這種飲料銷量y（杯），得到如下數(shù)據(jù)：日

期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均氣溫x（°C）91012118銷量y（杯）2325302621（Ⅰ）若先從這五組數(shù)據(jù)中抽出2組，求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；（Ⅱ）請(qǐng)根據(jù)所給五組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程cq=2q﹣1；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中所得的線性回歸方程，若天氣預(yù)報(bào)1月16日的白天平均氣溫7（°C），請(qǐng)預(yù)測(cè)該奶茶店這種飲料的銷量．附：線性回歸方程=x+中，，其中，為樣本平均值．參考答案：【考點(diǎn)】：回歸分析的初步應(yīng)用．【專題】：綜合題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】：（Ⅰ）根據(jù)題意列舉出從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況都是可能出現(xiàn)的，滿足條件的事件包括的基本事件有4種．根據(jù)等可能事件的概率做出結(jié)果．（Ⅱ）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，先做出x，y的平均數(shù)，即做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．（Ⅲ）利用線性回歸方程，x取7，即可預(yù)測(cè)該奶茶店這種飲料的銷量．【解答】：（Ⅰ）設(shè)“選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)”為事件A，所有基本事件（m，n）（其中m，n為1月份的日期數(shù)）有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15），共有10種．事件A包括的基本事件有（11，12），（12，13），（13，14），（14，15）共4種．所以為所求

…（5分）（Ⅱ）由數(shù)據(jù)，求得，由公式，求得，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為…（10分）（Ⅲ）當(dāng)x=7時(shí)，所以該奶茶店這種飲料的銷量大約為19杯

…（13分）【點(diǎn)評(píng)】：本題考查等可能事件的概率，考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，考查估計(jì)驗(yàn)算所求的方程是否是可靠的，是一個(gè)綜合題目．21.已知函數(shù),若成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)是不等式整數(shù)解的個(gè)數(shù)，求；（3）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在正數(shù)，對(duì)任意正整數(shù)，使恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。參考答案：（1）由題