2017年“大夢杯”福建省初中數(shù)學競賽試題參考答案

PAGEPAGE42017年“大夢杯”福建省初中數(shù)學競賽試題參考答案考試時間2017年3月19日9∶00－11∶00滿分150分一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）。每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．設，則的整數(shù)部分為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】由，知。于是，，。因此，的整數(shù)部分為2。（注：）2．方程的所有實數(shù)根之和為（）A．B．3C．5D．7【答案】A【解答】方程化為。即，。解得。經檢驗是原方程的根?！嘣匠趟袑崝?shù)根之和為1。3．如圖，、、三點均在二次函數(shù)的圖像上，為線段的中點，，且。設、兩點的橫坐標分別為、（），則的值為（）A．3B．C．D．【答案】D（第3題）【解答】依題意線段的中點的坐標為。（第3題）由，且，知點坐標為。由點在拋物線上，知。整理，得，即。結合，得。4．如圖，在中，，為線段的中點，在線段內，與交于點。若，且，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解答】如圖，過作與的延長線交于點。則由可得，?！啵ǖ?題）（第4題）又由為中點，得為中點?！??！??！?。或解：對直線及應用梅涅勞斯定理得，。由為線段的中點，知。又，因此，。結合，，利用勾股定理得，。所以，。因此，符合要求。（3）方程兩根中一根為正數(shù)，另一根為負數(shù)。則，解得。不滿足。綜合（1）、（2）、（3），得符合條件的的值為，，。因此，符合條件的所有的值的和為。10．若正整數(shù)恰有90個不同的正因數(shù)（含1和本身），且在的正因數(shù)中有7個連續(xù)整數(shù)，則正整數(shù)的最小值為。【答案】【解答】∵任意連續(xù)7個正整數(shù)的乘積能被整除，∴的正因數(shù)中必定有，，，這四個數(shù)。∴正整數(shù)具有形式：（，，，為正整數(shù)，）。由正整數(shù)恰有90個正因數(shù)，知，其中為正整數(shù)。而90分解為4個大于1的正整數(shù)的乘積的分解式只有一種：?！?，?！嗟淖钚≈禐?，此時有連續(xù)正因數(shù)1，2，3，4，5，6，7。三、解答題（共4題，每小題20分，共80分）11．求方程的正整數(shù)解?！窘獯稹糠匠袒癁椤⒎匠桃暈榈姆匠蹋脼橥耆椒綌?shù)?！?分∴為完全平方數(shù)。設（為非負整數(shù)），則?！唷！邽橘|數(shù)，∴，或?！?0分又為非負整數(shù)，且。∴，或?！?5分∴（舍去），或。將代入方程，得，解得，或。∴原方程的正整數(shù)解為，或。……20分12．如圖，在等腰三角形中，，是邊的中點，是邊上一點，直線、交于點，且。求證：（1）；（2）?！窘獯稹浚?）如圖，連結。由條件知，。（第12題）∴?！ǖ?2題）∵，∴?！?。又，∴。∴?！?0分又由，，知?！?。由此可得，，即?！?，∴?！?5分（2）由（1），，知，∴。又由（1），知。結合（1）中，可得?！??！?0分13．若存在正整數(shù)，（）使得成立，其中，為不超過的最大整數(shù)。（1）求的最小值；（2）當取最小值時，求使成立，且的正整數(shù)的個數(shù)。【解答】（1）∵對任意正整數(shù)，，，，?！?分∴對任意正整數(shù)，?！叽嬖谡麛?shù)，（）使得成立，∴存在正整數(shù)，使得。于是，，。又時，，∴的最小值為12?！?0分（2）時，由知，，，?！啵榉秦撜麛?shù)）?！喈斎∽钚≈?2時，當且僅當（為非負整數(shù)）時，成立。……15分由知，。因此，符合條件的正整數(shù)有個?！?0分14．將平面上每個點都以紅、藍兩色之一染色。證明：（1）對任意正數(shù)，無論如何染色平面上總存在兩個端點同色且長度為的線段；（2）無論如何染色平面上總存在三個頂點同色的直角三角形；（3）無論如何染色，平面上是否總存在三個頂點同色且面積為2017的直角三角形？【解答】（1）在平面內任作一個邊長為的等邊。則的三個頂點、、中必有兩點同色。所以，存在兩端點同色，且長為的線段。因此，對任意正數(shù)，無論如何染色平面上總存在兩個端點同色且長度為的線段。……………5分（2）對任意正數(shù)，如圖，設、同色，且（由（1）知，、存在）。以為直徑作圓，設為圓的內接正六邊形。若、、、中存在一點與、同色，不妨設點與、同色，則為直角三角形，其中，，且三頂點同色?！?0分若、、、都與、異色，則、、、四點同色.則為直角三角形，其中，，且三頂點同色。因此，無論如何染色平面上總存在三個頂點同色的直角三角形?！?5分（3）由