2020-2021學年北京市豐臺區(qū)高一（下）期中數(shù)學試卷（B卷）

第1頁（共1頁）2020-2021學年北京市豐臺區(qū)高一（下）期中數(shù)學試卷（B卷）一、選擇題（每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.）1．（4分）復數(shù)z＝﹣2+i的虛部為（）A．2 B．﹣2 C．1 D．i2．（4分）已知點A（1，2），B（﹣1，0），則＝（）A．（2，0） B．（2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（0，2）3．（4分）要得到函數(shù)y＝sin（2x+）的圖象，只要將函數(shù)y＝sin2x的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度 C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度4．（4分）在復平面內(nèi)，復數(shù)z＝i（1+2i）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（4分）已知0＜α＜，且cosα＝，那么tan（α+）等于（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．26．（4分）如圖，在6×6的方格中，已知向量，，的起點和終點均在格點，且滿足向量＝x+y（x，y∈R），那么x﹣y＝（）A．0 B．﹣2 C．1 D．27．（4分）已知A，B，C，D是平面內(nèi)四個不同的點，則“∥”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝tanx D．y＝sin9．（4分）在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，acosB＝bcosA，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形10．（4分）如圖，飛機飛行的航線AB和地面目標C在同一鉛直平面內(nèi)，在A處測得目標C的俯角為30°，飛行10千米到達B處，測得目標C的俯角為75°，這時B處與地面目標C的距離為（）A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米二、填空題（每題4分，共24分）11．（4分）如圖，在△ABC中，D是BC上一點，則＝．12．（4分）在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是（2，1），則復數(shù)＝．13．（4分）若A（﹣1，﹣2），B（4，8），C（5，x），且A、B、C三點共線，則x＝．14．（4分）在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，則c＝．15．（4分）已知＝（1，0），＝（5，5），則向量在向量方向上的投影向量的坐標為．16．（4分）已知函數(shù)f（x）＝給出下列三個結論：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）有且僅有3個零點；③f（x）的值域是[﹣1，1]．其中，正確結論的序號是．三、解答題（共4小題，共36分.）17．（9分）已知向量與，＝（1，0），＝（﹣2，1）．（Ⅰ）求2﹣；（Ⅱ）設，的夾角為θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量k+與+k互相平行，求k的值．18．（9分）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b＝，c＝3，cosB＝﹣（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．19．（9分）已知平面向量，，||＝2，||＝1，且與的夾角為．（Ⅰ）求?；（Ⅱ）求|+2|；（Ⅲ）若+2與2+λ（λ∈R）垂直，求λ的值．20．（9分）已知函數(shù)f（x）＝2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣k在上有兩個不同的零點，求實數(shù)k的取值范圍．

2020-2021學年北京市豐臺區(qū)高一（下）期中數(shù)學試卷（B卷）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.）1．（4分）復數(shù)z＝﹣2+i的虛部為（）A．2 B．﹣2 C．1 D．i【分析】直接利用復數(shù)的基本概念得答案．【解答】解：復數(shù)z＝﹣2+i的虛部為1．故選：C．【點評】本題考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．2．（4分）已知點A（1，2），B（﹣1，0），則＝（）A．（2，0） B．（2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（0，2）【分析】根據(jù)平面向量的坐標表示，求出即可．【解答】解：點A（1，2），B（﹣1，0），則＝（﹣1﹣1，0﹣2）＝（﹣2，﹣2）．故選：C．【點評】本題考查了平面向量的坐標表示與運算問題，是基礎題．3．（4分）要得到函數(shù)y＝sin（2x+）的圖象，只要將函數(shù)y＝sin2x的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度 C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論．【解答】解：只要將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移個單位長度，即可得到函數(shù)y＝sin（2x+）的圖象，故選：D．【點評】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．4．（4分）在復平面內(nèi)，復數(shù)z＝i（1+2i）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】按多項式乘法運算法則展開，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，即可確定復數(shù)z所在象限．【解答】解：∵z＝i（1+2i）＝i+2i＝﹣2+i，∴復數(shù)z所對應的點為（﹣2，1），故選：B．【點評】本題主要考查復數(shù)在坐標系數(shù)內(nèi)復數(shù)與點的對應關系．屬于基礎知識的考查．5．（4分）已知0＜α＜，且cosα＝，那么tan（α+）等于（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【分析】直接利用三角函數(shù)的關系式的變換和和角公式的運用求出結果．【解答】解：已知0＜α＜，且cosα＝，所以，則，所以．故選：A．【點評】本題考查知識要點：三角函數(shù)的關系式的變換，和角公式的運用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題型．6．（4分）如圖，在6×6的方格中，已知向量，，的起點和終點均在格點，且滿足向量＝x+y（x，y∈R），那么x﹣y＝（）A．0 B．﹣2 C．1 D．2【分析】可作單位向量，，從而可用單位向量，表示向量，，，根據(jù)平面向量基本定理可得出關于x，y的方程組，解出x，y的值，從而計算x﹣y．【解答】解：如圖所示，作單位向量，，則：＝2﹣，＝2+2，＝2﹣4；∴x+y＝（2x+2y）+（2x﹣4y），又＝x+y，∴2﹣＝（2x+2y）+（2x﹣4y），∴，解得，∴x﹣y＝0．故選：A．【點評】該題考查平面向量的基本定理，利用實數(shù)λ1，λ2的唯一性解決問題，屬于基礎題型．7．（4分）已知A，B，C，D是平面內(nèi)四個不同的點，則“∥”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)必要條件、充分條件的定義即可判斷．【解答】解：由∥可不一定推出四邊形ABCD為平行四邊形，但由四邊形ABCD為平行四邊形一定可得∥，故“∥”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的必要而不充分條件，故選：B．【點評】本題主要考查對xl共線定理，平行四邊形的判定定理，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，屬于基礎題．8．（4分）下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝tanx D．y＝sin【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論．【解答】解：在區(qū)間（0，）上，2x∈（0，π），y＝sin2x沒有單調(diào)性，故排除A．在區(qū)間（0，）上，2x∈（0，π），y＝cos2x單調(diào)遞減，故排除B．在區(qū)間（0，）上，y＝tanx單調(diào)遞增，且其最小正周期為π，故C正確；根據(jù)函數(shù)以π為最小正周期，y＝sin的周期為＝4π，可排除D．故選：C．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，屬于基礎題．9．（4分）在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，acosB＝bcosA，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【分析】把已知的等式利用正弦定理化簡后，移項整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，由A和B都為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值得到A＝B，根據(jù)等角對等邊可得此三角形為等腰三角形．【解答】解：∵＝＝2R，即a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴acosB＝bcosA變形得：sinAcosB＝sinBcosA，整理得：sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，又A和B都為三角形的內(nèi)角，∴A﹣B＝0，即A＝B，則△ABC為等腰三角形．故選：D．【點評】此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有：正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等腰三角形的判定，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．10．（4分）如圖，飛機飛行的航線AB和地面目標C在同一鉛直平面內(nèi)，在A處測得目標C的俯角為30°，飛行10千米到達B處，測得目標C的俯角為75°，這時B處與地面目標C的距離為（）A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米【分析】由題意，利用正弦定理即可求得BC的值．【解答】解：由題意知，在△ABC中，AB＝10，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°﹣30°＝45°，由正弦定理得＝，解得BC＝＝5．∴B處與地面目標C的距離為5千米．故選：B．【點評】本題考查了利用正弦定理解答實際應用問題，是基礎題．二、填空題（每題4分，共24分）11．（4分）如圖，在△ABC中，D是BC上一點，則＝．【分析】由題意利用兩個向量的加減法法則，計算求得結果．【解答】解：＝﹣＝，故答案為：．【點評】本題主要考查向量的加減法法則的應用，屬于基礎題．12．（4分）在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是（2，1），則復數(shù)＝2﹣i．【分析】根據(jù)復平面內(nèi)復數(shù)與對應點的坐標之間的關系，寫出復數(shù)z和它的共軛復數(shù)．【解答】解：復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是（2，1），所以復數(shù)z＝2+i，它的共軛復數(shù)是＝2﹣i．故答案為：2﹣i．【點評】本題考查了復數(shù)的定義與運算問題，是基礎題．13．（4分）若A（﹣1，﹣2），B（4，8），C（5，x），且A、B、C三點共線，則x＝10．【分析】【方法一】由A、B、C三點共線，得與共線；利用向量的知識求出x的值；【方法二】】由A、B、C三點共線，得kAB＝kAC；利用直線的斜率求出x的值．【解答】解：【方法一】∵A、B、C三點共線，∴與共線；∵＝（4﹣（﹣1），8﹣（﹣2））＝（5，10），＝（5﹣（﹣1），x﹣（﹣2））＝（6，x+2），∴5（x+2）﹣10×6＝0，解得x＝10；【方法二】】∵A、B、C三點共線，∴kAB＝kAC；∵kAB＝＝2，kAC＝＝，∴＝2，解得x＝10；故答案為：10．【點評】本題考查了三點共線的判定問題，利用向量的知識比較容易解答，利用斜率相等也可以解答．14．（4分）在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，則c＝．【分析】可求出B＝60°，然后根據(jù)正弦定理可得出，根據(jù)sin75°＝sin（45°+30°）可求出sin75°的值，從而可求出c的值．【解答】解：∵在△ABC中，A＝45°，C＝75°，∴B＝60°，且b＝2，∴根據(jù)正弦定理得：，且sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+cos45°sin30°＝，∴．故答案為：．【點評】本題考查了兩角和的正弦公式，正弦定理，考查了計算能力，屬于基礎題．15．（4分）已知＝（1，0），＝（5，5），則向量在向量方向上的投影向量的坐標為（，）．【分析】由向量投影的定義和向量共線定理，可得所求向量．【解答】解：向量在向量方向上的投影為＝＝，由于向量在向量方向上的投影向量與共線，可得所求向量為＝（，），故答案為：（，）．【點評】本題考查一個向量在另一個向量上的投影向量的求法，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題．16．（4分）已知函數(shù)f（x）＝給出下列三個結論：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）有且僅有3個零點；③f（x）的值域是[﹣1，1]．其中，正確結論的序號是②③．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性判斷①；求出函數(shù)的零點判斷②；函數(shù)的值域判斷③．【解答】解：函數(shù)f（x）＝，①f（x）是非奇非偶函數(shù)，所以①不正確；②f（x）＝0，可得x＝﹣，x＝0，x＝π，所以函數(shù)有且僅有3個零點；所以②正確；③函數(shù)f（x）＝，f（x）的值域是[﹣1，1]，正確；正確結論的序號是：②③．故答案為：②③．【點評】本題考查命題的真假的判斷與應用，三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，是基本知識的考查．三、解答題（共4小題，共36分.）17．（9分）已知向量與，＝（1，0），＝（﹣2，1）．（Ⅰ）求2﹣；（Ⅱ）設，的夾角為θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量k+與+k互相平行，求k的值．【分析】（I）結合向量減法的坐標表示即可求解；（II）結合向量夾角公式的坐標表示即可求解；（III）結合向量平行的坐標表示即可求解．【解答】解：（1）因為＝（1，0），＝（﹣2，1），所以2﹣＝（4，﹣1）；（Ⅱ）cosθ＝＝＝﹣，（III）k+＝（k﹣2，1），+k＝（1﹣2k，k），由題意可得，k（k﹣2）+2k﹣1＝0，整理可得，k2﹣1＝0，解可得，k＝±1．【點評】本題主要考查了向量線性運算的坐標表示，向量夾角公式及平行的坐標表示，屬于基礎試題．18．（9分）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b＝，c＝3，cosB＝﹣（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．【分析】（Ⅰ）直接利用同角三角函數(shù)的關系式和正弦定理的應用求出結果．（Ⅱ）利用和角公式和三角形的面積公式求出結果．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，已知b＝，c＝3，cosB＝﹣所以＝．利用正弦定理，整理得sinC＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，所以sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝，所以＝．【點評】本題考查的知識要點：同角三角函數(shù)關系式的變換，正弦定理和三角形的面積，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題